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1、 新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分綜合測試 北師大版選修2-2 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．把區(qū)間[a，b](a

2、dx C. f(x)dx－adx D． f(x)dx－bdx [答案]　B [解析]　由定積分的幾何意義可知，S＝－ f(x)dx. 3．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，在對稱區(qū)間[－a，a]上的積分f(x)dx，由定積分的幾何意義得f(x)dx的值為(　　) A．0 B．2f(x)dx C. f(x)dx D．f(x)dx [答案]　B 4．下列等式不成立的是(　　) A．[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx B.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a C.f(x)g(x)dx＝f(x)dxg(x)dx D.sinxdx＝sinx

3、dx＋sinxdx [答案]　C [解析]　由定積分的性質(zhì)知選項A、B、D正確，故選C. 5．設(shè)物體以速度v(t)＝3t2＋t(單位v：m/s，t：s)做直線運動，則它在0～4 s內(nèi)所走的路程s為(　　) A．70 m B．72 m C．75 m D．80 m [答案]　B [解析]　所走的路程為(3t2＋t)dt＝(t3＋t2)|＝(43＋42)－0＝72(m)． 6．從如圖所示的正方形OABC區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為(　　) A． B． C. D． [答案]　B [解析]　陰影部分的面積為S＝(－x2)dx＝(x－x3)|

4、＝－＝，而正方形OABC的面積為1，故點M取自陰影部分的概率為. 7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，則S30等于(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 [答案]　A [解析]　S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12 又{an}為等差數(shù)列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20. ∴S30＝3(S20－S10)＝3(17－12)＝15. 8．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為(　　) A．S1

5、 D．S32.7，∴S3>3>S1>S2.故選B. 9．若y＝(sint＋costsint)dt，則y的最大值是(　　) A．1 B．2 C．－ D．0 [答案]　B [解析]　先將sintcost化簡為sin2t. y＝dt ＝|＝－cosx－cos2x＋＝ －cos2x－cosx＋＝－(cosx＋1)2＋2. 當cosx＝－1時，ymax＝2. 10.|x2－4|dx等于(　　) A． B

6、． C. D． [答案]　C [解析]　令f(x)＝|x2－4|＝ ∴|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx ＝(4x－x3)|＋(x3－4x)| ＝. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下，沿與力F相同的方向從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為________J. [答案]　46 [解析]　W＝F(x)dx＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x|＋(x2＋4x)|＝46(J)． 12．拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(1,0)和點B(3,0)處的切線所圍成的圖形面積

7、為________． [答案]　 [解析]　由y′＝－2x＋4，得在點A，B處切線的斜率分別為2和－2. 則兩直線方程分別為y＝2x－2和y＝－2x＋6. 由得記點C(2,2)． 所以S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx ＝22－＝2－＝. 13．(2014山東省菏澤市期中)函數(shù)y＝x2與y＝kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分的面積為，則k＝________. [答案]　3 [解析]　由解得或 由題意得，(kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3. 14．設(shè)a>0.若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝______

8、_. [答案]　 [解析]　本題考查了定積分求解封閉圖形的面積．S＝ dx＝x|＝a＝a2，解得a＝.掌握定積分的計算方法即可． 15．由曲線y＝，直線x＝1及x軸所圍成的封閉圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________． [答案]　 [解析]　y＝與x＝1相交于(1,1)點，則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為πxdx＝x2|＝. 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．求下列定積分： (1) dx(a>0)； (2)(t＋2)dx. [解析]　(1)由＝ 得dx＝xdx＋ (－x)dx ＝x2|－x2|＝a2， (2)

9、(t＋2)dx＝(tx＋2x)| ＝(2t＋4)－(t＋2)＝t＋2. 17．一個物體做變速直線運動，速度v(m/s)與時間t(s)的關(guān)系如圖所示，求該物體在s至6 s間運動的路程． [分析] 　從題圖可知，物體在t∈[0,1]時做加速運動，在t∈[1,3)時做勻速運動；在3≤t≤6時也做加速運動，但加速度不同于t∈[0,1)時，即0≤t≤6時，v(t)是一個分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出路程． [解析]　可知物體的速度函數(shù)為 v(t)＝ ∴由變速直線運動的路程公式，可得： ∴物體在s至6 s間的運動路程為m. 18．計算由直線y＝0和曲線y＝x2－6x＋5圍成的平

10、面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．(π≈3.14，精確到0.01) [解析]　由題意，所圍成的平面圖形如圖中的陰影部分，則繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 V＝π(x2－6x＋5)2dx ＝π(x2－6x＋5)2dx ＝π(x4－12x3＋46x2－60x＋25)dx ＝π(x5－3x4＋x3－30x2＋25x)| ≈107.18. 19.求正弦曲線y＝sin x與余弦曲線y＝cos x在x＝－到x＝之間圍成的圖形的面積． [解析]　 如圖畫出y＝sin x與y＝cos x在[－，]上的圖像，它們共產(chǎn)生三個交點，分別為(－，－)，(，)，(，－)． 在(－，)上

11、，cos x>sin x，在(，)上，sin x>cos x. 20．用定積分表示曲線y＝x2，x＝k，x＝k＋2及y＝0所圍成的圖形的面積，并確定k取何值時，使所圍圖形的面積為最?。? [分析] 　畫出草圖，求出區(qū)間上的定積分，再求函數(shù)最值． [解析]　如圖． ∴s＝∫x2dx＝＝－ ＝ ＝(3k2＋6k＋4)＝2＝2(k＋1)2＋. ∴當k＝－1時，S最?。? 21.設(shè)f(x)是二次函數(shù)，其圖象過點(0,1)，且在點(－2，f(－2))處的切線方程為2x＋y＋3＝0. (1)求f(x)的表達式； (2)求f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積； (3)若直線x＝

12、－t(0