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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 1.2 類比推理 教學過程 一．問題情境 從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的. 這個推理過程是歸納推理嗎？ 二．數(shù)學活動 我們再看幾個類似的推理實例。 例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)： (1) a=bÞa+c=b+c;

2、 (1) a＞bÞa+c＞b+c; (2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc; (3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。 問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？ 例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比. 圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合. 球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長←→表面積 面積←→體積 圓的性質(zhì) 球的性質(zhì)

3、 圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心 ☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已

4、知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）． 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的一般步驟： ⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ⑶ 檢驗猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜想新結(jié)論 例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論: 試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論. 鞏固提高 1．(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)

5、2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 直角三角形  3個面兩兩垂直的四面體 ∠C＝9

6、0° 3個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c  ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4個面的面積S1，S2，S3和S 3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S 3．（2004，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________ 1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 2． 類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）