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1、 精品資料 第4講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的________條件． 解析　若α⊥β，因?yàn)棣痢搔拢絤，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時(shí)，因?yàn)閎⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β. 答案　充分不必要 2．(2014·紹興調(diào)研)設(shè)α，β為不重合的平面，m，n為

2、不重合的直線，則下列正確命題的序號是________． ①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α；②若m?α，n?β，m⊥n，則n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β. 解析　與α，β兩垂直平面的交線垂直的直線m，可與α平行或相交，故①錯(cuò)；對②，存在n∥α情況，故②錯(cuò)；對④，存在α∥β情況，故④錯(cuò)；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故③正確． 答案?、? 3．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任一點(diǎn)，則圖形中有________對線面垂直． 解析　由題可知PA⊥平面ABC，又因?yàn)锽C

3、⊥AC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，故有2對線面垂直． 答案　2 4．若M是線段AB的中點(diǎn)，A，B到平面α的距離分別是4 cm，6 cm，則M到平面α的距離為________． 解析　當(dāng)A，B在平面α同一側(cè)，點(diǎn)M到α距離為(4＋6)＝5(cm)；當(dāng)A，B在平面α兩側(cè)，點(diǎn)M到α距離為(6－4)＝1(cm)． 答案　5 cm或1 cm 5．(2014·鄭州模擬)已知平面α，β，γ和直線l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β. 其中正確的是________． 解析　如圖，由題意，β∩γ＝l，∴l(xiāng)?γ

4、，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l(xiāng)⊥α，即②正確；由β∩γ＝l，∴l(xiāng)?β，由l⊥α，得α⊥β，即④正確；而①③條件不充分，不能判斷． 答案　②④ 6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可) 解析　∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC) 7．設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n

5、是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(用代號表示)． 解析　逐一判斷．若①②③成立，則m與α的位置關(guān)系不確定，故①②③?④錯(cuò)誤；同理①②④?③也錯(cuò)誤；①③④?②與②③④?①均正確． 答案?、佗邰?②(或②③④?①) 8．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________． 解析　由題意知PA⊥平面A

6、BC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確． 答案?、佗冖? 二、解答題 9．(2013·北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面

7、ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD. 又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)， 所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E，

8、 ∴CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD 所以平面BEF⊥平面PCD. 10．(2013·泉州模擬)如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)． (1)求證：B1D1∥平面A1BD； (2)求證：MD⊥AC； (3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. (1)證明　由直四棱柱，得BB1∥DD1， 又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD. 而BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD. (2)證明　∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD

9、， ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D. 而MD?平面BB1D，∴MD⊥AC. (3)解　當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)， 平面DMC1⊥平面CC1D1D.證明如下， 取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示． ∵N是DC的中點(diǎn)，BD＝BC， ∴BN⊥DC.又∵DC＝平面ABCD∩平面DCC1D1， 而平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1.又可證得O是NN1的中點(diǎn)， ∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四邊形． ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM?平面

10、DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線______上． 解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上． 答案　AB 2．如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為________． ①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④異面直線PM與BD所成的角為45°

11、. 解析　∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥面ABC， ∴MN∥AC.同理BD∥QM. ∵M(jìn)N⊥QM，∴AC⊥BD，∴①是對的； ∵AC∥MN，∴AC∥面PQMN，故②對； ∵BD∥QM，∴PM與BD所成角即為∠PMQ， ∴PM與BD成45°角，故④對． 答案　③ 3．(2013·南通二模)如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)． 解析　由PA⊥平面ABC，

12、AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確． 答案　①④ 二、解答題 4．(2014·北京西城一模)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求證：A

13、C⊥平面FBC； (2)求四面體F-BCD的體積； (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論． (1)證明　在△ABC中，因?yàn)锳C＝，AB＝2，BC＝1，則AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，又因?yàn)锳C⊥FB，且FB∩BC＝B，所以AC⊥平面FBC. (2)解　因?yàn)锳C⊥平面FBC，所以AC⊥FC. 因?yàn)镃D⊥FC，且CD∩AC＝C，所以FC⊥平面ABCD. 則FC為四面體F-BCD的高， 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1， 所以△BCD的面積為S＝. 所以四面體F-BCD的體積為VFBCD＝S·FC＝. (3)解　線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)， 有EA∥平面FDM，證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN， 因?yàn)樗倪呅蜟DEF為正方形， 所以N為CE中點(diǎn)，所以EA∥MN. 因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM， 所以EA∥平面FDM， 所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM.