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1、 精品資料 第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù) 第1講　函數(shù)及其表示 一、填空題 1．設(shè)f(2x－1)＝2x－1，則f(x)的定義域是________． 解析 ∵x∈R，∴2x>0，∴2x－1>－1，∴f(x)的定義域是(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞) 2．設(shè)集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B為函數(shù)y＝lg(x－1)的定義域， 則A∩B＝________. 解析 利用集合的運算求解． 由題意知：B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}， 又∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1

2、案 {x|1

3、4，所以B＝[0,4]，所以A∩B＝[0,3]． 答案　[0,3] 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(－4))＝________. 解析 “分段”求值．f(f(－4))＝f＝f(16)＝4. 答案 4 7．函數(shù)y＝的定義域為________． 解析 由題意可知1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤1，∴解得－2

4、義運算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是________． 解析　 當(dāng)(x2－2)－(x－1)≤1時，－1≤x≤2，所以f(x)＝f(x)的圖象如圖所示． y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，即方程f(x)＝c恰有兩個解，由圖象可知當(dāng)c∈(－2，－1]∪(1,2]時滿足條件． 答案　(－2，－1]∪(1,2] 10．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝2x2＋1，值域為{3,19}的“孿生函數(shù)”共有_______

5、_個． 解析　若y＝3，則由2x2＋1＝3，得x＝1； 若y＝19，則由2x2＋1＝19，得x＝3. 所以函數(shù)f(x)定義域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9個孿生函數(shù)． 答案　9 二、解答題 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求關(guān)于x的方程f(x)＝x的解． 解 當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c，因為f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3， ∴， 解得， ∴f(x)＝ 當(dāng)x≤0時，由f(x)＝x得，x

6、2＋2x－2＝x，得x＝－2或x＝1.由x＝1>0，所以舍去． 當(dāng)x>0時，由f(x)＝x得x＝2， 所以方程f(x)＝x的解為－2、2. 12．已知f(x)＝解不等式f(x)>－1. 解 當(dāng)x>0時，ln>－1，即ln x<1，故0－1，即x<－1，故不等式的解集是 (－∞，－1)∪(0，e)． 13．據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)． (1

7、)當(dāng)t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 解　(1)由圖象可知；當(dāng)t＝4時，v＝34＝12， 所以s＝412＝24. (2)當(dāng)0≤t≤10時，s＝t3t＝t2； 當(dāng)10＜t≤20時，s＝1030＋30(t－10)＝30t－150； 當(dāng)20＜t≤35時，s＝1030＋1030＋(t－20)30－(t－20)2(t－20)＝－t2＋70t－550. 綜上可知s＝ (3)當(dāng)t∈[0,10]時，sm

8、ax＝102＝150＜650. 當(dāng)t∈(10,20]時，smax＝3020－150＝450＜650. 當(dāng)t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40,20＜t≤35，故t＝30， 所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 8．已知函數(shù)f(x)＝－，常數(shù)a＞0. (1)設(shè)mn＞0，證明：函數(shù)f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增； (2)設(shè)0＜m＜n且f(x)的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍． (1)證明　任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，則 f(x1)－f(x2)＝. 因為x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0， 即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增． (2)解　因為f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增， f(x)的定義域、值域都是[m，n]?f(m)＝m，f(n)＝n， 即m，n是方程－＝x的兩個不等的正根 ?a2x2－(2a2＋a)x＋1＝0有兩個不等的正根． 所以Δ＝(2a2＋a)2－4a2＞0，＞0?a＞. 即常數(shù)a的取值范圍是.