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1、 精品資料 第4講 直線與圓的位置關(guān)系 一、填空題 1．若直線l：ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1有兩個不同交點，則點P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是________． 解析 由題意得圓心(0,0)到直線ax＋by＝1的距離小于1，即d＝＜1，所以有＞1，∴點P在圓外． 答案 在圓外 2．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為________． 解析 設(shè)圓心C(x，y)，由題意得＝y(tǒng)＋1(y＞0)，化簡得x2＝8y－8. 答案 x2＝8y－8 3．若圓C：(x－h(huán))2＋(y－1

2、)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則h的最小值為________． 解析　h取最小值時，直線x＋y＋1＝0與圓O：(x－h(huán))2＋(y－1)2＝1相切且在直線x＋y＋1＝0向右上方，所以＝1，h＝－2±，所以hmin＝－2. 答案?。? 4．過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，則直線l的斜率為________． 解析　將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圓心為(1,1)，半徑r＝1.由弦長為得，弦心距為.設(shè)直線方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴＝，化簡得7k2－24k＋17＝0，∴k

3、＝1或k＝. 答案　1或 5．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數(shù)λ的值為________． 解析　由題意，得直線2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以＝，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7. 答案?。?或7 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________． 解析　畫圖可知，圓上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，該圓半徑為2即圓心O(0,0)到直線1

4、2x－5y＋c＝0的距離d＜1，即0＜＜1，∴－13＜c＜13. 答案　(－13,13) 7．從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為________． 解析 圓的方程整理為(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)， ∴sin∠APC＝，則cos∠APB＝cos2∠APC ＝1－2×2＝. 答案 8．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點C為(－2,3)， 則直線l的方程為________． 解析 圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a. 由圓

5、的幾何性質(zhì)可知圓心(－1,2)與點C(－2,3)的連線必垂直于l，∴kAB＝－＝1， ∴l(xiāng)的方程為x－y＋5＝0. 答案 x－y＋5＝0 9．已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25. (1)圓C的圓心到直線l的距離為________； (2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________． 解析　(1)圓C圓心坐標(biāo)為(0,0)、半徑r＝2，l：4x＋3y－25＝0，由點到直線的距離公式得d＝＝5. (2) 如圖所示，當(dāng)OM＝3時，上的點滿足到直線l的距離小于2.由平面幾何知識可求得∠AOB＝60°，故所求概率為的長度與圓周長之比，所以所求概

6、率為. 答案　(1)5　(2) 10．由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________． 解析 如圖所示，設(shè)直線上一點P，切點為Q ， 圓心為M，則|PQ|即為切線長，MQ為圓M的 半徑，長度為1， |PQ|＝＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離，設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2， ∴|PM|的最小值為2， ∴|PQ|＝≥＝. 答案 二、解答題 11．已知：圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)a為何值時，直線l與

7、圓C相切； (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點，且AB＝2時，求直線l的方程． 解　將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切， 則有＝2.解得a＝－. (2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， 得 解得a＝－7或a＝－1. 故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 12. 如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1∶2，過點H(0，t)的直線l與圓C相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O. (1

8、)求圓C的方程； (2)當(dāng)t＝1時，求出直線l的方程； (3)求直線OM的斜率k的取值范圍． 解　(1)因為位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(0,1)，所以圓心C在直線y＝1上． 設(shè)圓C與x軸的交點分別為A、B. 由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得∠ACB＝. 所以CA＝CB＝2.圓心C的坐標(biāo)為(－2,1)， 所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝4. (2)當(dāng)t＝1時，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝mx＋1. 由得或 不妨令M，N(0,1)． 因為以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過O(0,0)， 所以·＝·(0,1) ＝＝0，

9、解得m＝2±. 所以所求直線l方程為y＝(2＋)x＋1 或y＝(2－)x＋1. (3)設(shè)直線MO的方程為y＝kx. 由題意，知≤2，解得k≤. 同理，得－≤，解得k≤－或k＞0. 由(2)知，k＝0也滿足題意． 所以k的取值范圍是∪. 13．已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x－y－6＝0，A為直線l上一點． (1)若AM⊥直線l，過A作圓M的兩條切線，切點分別為P，Q，求∠PAQ的大?。? (2)若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC＝60°，求點A橫坐標(biāo)的取值范圍． 解 (1)圓M的圓心M(1,1)，半徑r＝2，直線l的斜率為－1，而

10、AM⊥l， ∴kAM＝1. ′∴直線AM的方程為y＝x. 由 解得 即A(3,3)． 如圖，連結(jié)MP， ∵∠PAM＝∠PAQ， sin∠PAM＝ ＝＝， ∴∠PAM＝45°，∴∠PAQ＝90°. (2)過A(a，b)作AD，AE，分別與圓M相切于D，E兩點，因為∠DAE≥∠BAC，所以要使圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC＝60°，只要做∠DAE≥60°. ∵AM平分∠DAE， ∴只要30°≤DAM<90°. 類似于第(1)題，只要≤sin∠DAM<1， 即≥且≥<1. 又a＋b－

11、6＝0，解得1≤a≤5， 即a的取值范圍是[1,5]． 14．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點A(1,0)． (1)若l1與圓相切，求l1的方程； (2)若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由． 解　(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線是x＝1，符合題意． ②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由題意知，圓心(3,4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即＝2，解得k＝.所求直線方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx－y－k＝0.由得N. 又直線CM與l1垂直，由 得M. 所以AM·AN＝ · ＝·＝6為定值，故AM·AN是定值，且為6.