《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第一章 1.1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第一章 1.1（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 1.1　集合的概念與運(yùn)算 1．集合與元素 (1)集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見(jiàn)數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號(hào) N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的關(guān)系 (1)子集：對(duì)任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)． (3)空集：空集是任意一

2、個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的非空子集有2n－1個(gè)． (5)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B. 3．集合的運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 圖形 符號(hào) A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合的運(yùn)算性質(zhì) 并集的性質(zhì)： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性質(zhì)： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 補(bǔ)集的性質(zhì)： A∪(?UA

3、)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A. 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (　　) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． (　√　) (3)?＝{0}． (　　) (4)若A∩B＝A∩C，則B＝C. (　　) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，則M∩N＝N. (　√　) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，則?UP＝{2}．

4、(　√　) 2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，則A∩B等于________． 答案　{－1,0} 解析　∵－1,0∈B,1?B，∴A∩B＝{－1,0}． 3．已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是________． 答案　5 解析　x－y∈. 4．(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，則M∩N等于________． 答案　{0,1,2} 解析　化簡(jiǎn)集合M得M＝{x|－1

5、x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}， 因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對(duì)稱軸為x＝a>0，f(0)＝－1<0， 根據(jù)對(duì)稱性可知要使A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)， 則這個(gè)整數(shù)為2， 所以有f(2)≤0且f(3)>0， 即所以 即≤a<. 題型一　集合的基本概念 例1　(1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． (2)設(shè)a，b

6、∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. 思維啟迪　解決集合問(wèn)題首先要理解集合的含義，明確元素的特征，抓住集合的“三性”． 答案　(1)10　(2)2 解析　(1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y， 當(dāng)y＝1時(shí)，x可取2,3,4,5，有4個(gè)； 當(dāng)y＝2時(shí)，x可取3,4,5，有3個(gè)； 當(dāng)y＝3時(shí)，x可取4,5，有2個(gè)； 當(dāng)y＝4時(shí)，x可取5，有1個(gè)． 故共有1＋2＋3＋4＝10(個(gè))． (2)因?yàn)閧1，a＋b，a}＝，a≠0， 所以a＋b＝0，得＝－1， 所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 思維升華　(1)用描述法表示集合，首先

7、要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題． 　(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． (2)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　(1)2　(2)0或 解析　(1)集合A表示的是圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合B表示的是直線y＝x，據(jù)此畫(huà)出圖象，可得圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即A∩B的元素個(gè)數(shù)為2.

8、 (2)∵集合A的子集只有兩個(gè)，∴A中只有一個(gè)元素． 當(dāng)a＝0時(shí)，x＝符合要求． 當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－4a2＝0，∴a＝. 故a＝0或. 題型二　集合間的基本關(guān)系 例2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

9、析　(1)用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個(gè)數(shù)． 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}． 由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2. 當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖． 則，解得2

10、、Venn圖來(lái)直觀解決這類問(wèn)題． 　(1)設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個(gè)奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有________個(gè)． (2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 答案　(1)6　(2)4 解析　(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(個(gè))，集合{2}的所有子集共有2個(gè)，故滿足要求的集合M共有8－2＝6(個(gè))． (2)由log2x≤2，得04，即c＝4. 題型三

11、　集合的基本運(yùn)算 例3　(1)(2013湖北改編)已知全集為R，集合A＝，B＝，則A∩(?RB)等于________． (2)(2012天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 思維啟迪　集合的運(yùn)算問(wèn)題可先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合數(shù)軸或Venn圖計(jì)算． 答案　(1){x|0≤x<2或x>4}　(2)－1　1 解析　(1)A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4} ∴A∩(?RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ＝{x|0≤x<2或x>4}． (

12、2)先求出集合A，再根據(jù)集合的交集的特點(diǎn)求解． A＝{x|－50}，則A∩B＝________. (2)設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，則m的值是_

13、_______． 答案　(1){3}　(2)1或2 解析　(1)A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}， ∴A∩B＝{x∈Z|2

14、(－2)＝－3，且m＝(－1)(－2)＝2，由這兩式得m＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1和m＝2符合條件． ∴m＝1或2. 題型四　集合中的新定義問(wèn)題 例4　在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論： ①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”． 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是________． 思維啟迪　解答本題要充分理解[k]的意義，然后對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證． 答案　3 解析　因?yàn)? 014＝4

15、025＋4， 又因?yàn)閇4]＝{5n＋4|n∈Z}， 所以2 014∈[4]，故①正確； 因?yàn)椋?＝5(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正確； 因?yàn)樗械恼麛?shù)Z除以5可得的余數(shù)為0,1,2,3,4，所以③正確； 若a，b屬于同一“類”，則有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k， 所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]， 反過(guò)來(lái)，如果a－b∈[0]， 也可以得到a，b屬于同一“類”，故④正確． 故有3個(gè)結(jié)論正確． 思維升華　解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定

16、義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)． 　已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一個(gè)子集，當(dāng)x∈A時(shí)，若有x－1?A，且x＋1?A，則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”，那么S中無(wú)“孤立元素”的4個(gè)元素的子集共有________個(gè)． 答案　6 解析　由成對(duì)的相鄰元素組成的四元子集都沒(méi)有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，這樣的集合共有6個(gè)． 遺忘空集致誤 典例：(5分)若集合P

17、＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，則由a的可取值組成的集合為_(kāi)_________． 易錯(cuò)分析　從集合的關(guān)系看，S?P，則S＝?或S≠?，易遺忘S＝?的情況． 解析　P＝{－3,2}．當(dāng)a＝0時(shí)，S＝?，滿足S?P； 當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＋1＝0的解集為x＝－， 為滿足S?P可使－＝－3或－＝2， 即a＝或a＝－.故所求集合為. 答案　 溫馨提醒　(1)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容．解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征．(2)在解答本題時(shí)，存在兩個(gè)典型錯(cuò)誤．一是忽略對(duì)空集的討論，如a＝0時(shí)，S＝?；二是易忽略對(duì)字母的討論

18、．如－可以為－3或2.因此，在解答此類問(wèn)題時(shí)，一定要注意分類討論，避免漏解. 方法與技巧 1．集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無(wú)序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到．解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化． 2．對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)． 3．對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． 失誤與防范 1．集合問(wèn)題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合)，要對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真

19、子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏解． 3．解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心． 5．要注意A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩(?UB)＝?這五個(gè)關(guān)系式的等價(jià)性. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：25分鐘) 1．(2013重慶改編)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)等于________． 答案　{4} 解析　因?yàn)锳∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,

20、3,4}，所以?U(A∪B)＝{4}． 2．下列集合中表示同一集合的是________．(填序號(hào)) ①M(fèi)＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}； ②M＝{2,3}，N＝{3,2}； ③M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}； ④M＝{2,3}，N＝{(2,3)}． 答案　② 解析?、僦械募螹表示由點(diǎn)(3,2)所組成的單點(diǎn)集，集合N表示由點(diǎn)(2,3)所組成的單點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合．③中的集合M表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)組成的集合，集合N表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個(gè)集合．④中的集

21、合M有兩個(gè)元素，而集合N只含有一個(gè)元素，故集合M與N不是同一個(gè)集合．對(duì)②，由集合元素的無(wú)序性，可知M，N表示同一個(gè)集合． 3．(2013南京期末)已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?SA＝{3}，則實(shí)數(shù)a等于_ _______． 答案　0 解析　由題意，知?jiǎng)ta＝2. 4．設(shè)集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則(?ZM)∩N等于________． 答案　{－1,0,1} 解析　由已知，得?ZM＝{－2，－1,0,1}， N＝{－1,0,1,2,3}，所以(?ZM)∩N＝{－1,0,1}． 5．已知集合M＝{0,1,2,3,4

22、}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有________個(gè)． 答案　4 解析　∵M(jìn)＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}． ∴M∩N的子集共有22＝4個(gè)． 6．(2013遼寧改編)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，則A∩B等于________． 答案　(1,2] 解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 7． 設(shè)全集U為整數(shù)集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1

23、N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝ {x∈N|1≤x≤6}， 由題意，知題圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{1,2,3}， 所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7個(gè)． 8．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，則a＝__________. 答案　－1或2 解析　由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2. 9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A

24、∩B＝__________. 答案　{(0,1)，(－1,2)} 解析　A、B都表示點(diǎn)集，A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點(diǎn)組成的集合，代入驗(yàn)證即可． 10．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

25、5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是________． 答案　56 解析　集合S的個(gè)數(shù)為26－23＝64－8＝56. 2．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，則M∩N等于________． 答案　{x|x>1} 解析　由≥0，得 ∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}， M∩N＝{x|x>1}． 3．已知U＝{x∈Z|y＝ln}，M＝{x∈Z||x－4|≤1}，N＝{x∈N|∈Z}，則M∩(?UN)等于________． 答案　{4,5} 解析　集合U為函數(shù)y＝ln的定義域內(nèi)的整數(shù)集， 由

26、－1>0，即>0，解得01}，P＝{y|y＝，x>2}，則?UP＝________. 答案　 解析　∵U＝{y|

27、y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}， P＝{y|y＝，x>2}＝{y|00}，若A?B，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ _______． 答案　[1，＋∞) 解析　A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)， 因?yàn)锳?B，畫(huà)出數(shù)軸，如右圖所示，得c≥1. 6．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___

28、_____． 答案　(1，＋∞) 解析　由于集合B中的元素是指數(shù)函數(shù)y＝bx的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)，要使集合A∩B只有一個(gè)真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)與y＝a的圖象只能有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 7．已知M＝{(x，y)|＝a＋1}，N＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若M∩N＝?，則a的值為_(kāi)___________． 答案　1，－1，，－4 解析　集合M表示挖去點(diǎn)(2,3)的直線，集合N表示一條直線，因此由M∩N＝?知，點(diǎn)(2,3)在集合N所表示的直線上或兩直線平行，由此求得a的值為1，－1，，－

29、4. 8．對(duì)任意兩個(gè)集合M、N，定義：M－N＝{x|x∈M且x?N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，設(shè)M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，則M*N＝________. 答案　{y|y>3或－3≤y<0} 解析　∵M(jìn)＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}， N＝{y|y＝3sin x，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}， ∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}， ∴M*N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0} ＝{y|y>3或－3≤y<0}． 9．已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}， (1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(?RB)； (2)若A∩B＝{x|－1