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1、 精品資料 學(xué)案34　基本不等式及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題． 自主梳理 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：__________. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)取等號(hào)． 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥______ (a，b∈R)． (2)＋≥____(a，b同號(hào))． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)2____. 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為

2、__________，幾何平均數(shù)為_(kāi)_______，基本不等式可敘述為：____________________________________. 4．利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，x＋y有最____值是______(簡(jiǎn)記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，xy有最____值是________(簡(jiǎn)記：和定積最大)． 自我檢測(cè) 1．“a>b>0”是“ab<”的______________條件． 2．已知函數(shù)f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，

3、A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B、C的大小關(guān)系是______________． 3．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是________(填上正確的序號(hào))． ①y＝x＋； ②y＝sin x＋(0<x<π)； ③y＝ex＋4e－x； ④y＝log3x＋logx81. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋－1(x<0)，則f(x)最大值為_(kāi)_____________． 5．(2010·山東)若對(duì)任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)一　利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最

4、小值； (2)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值； (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 變式遷移1　(2011·重慶改編)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是________． 探究點(diǎn)二　基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用 例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1＋)(1＋)≥9. 變式遷移2　已知x>0，y>0，z>0. 求證：≥8. 探究點(diǎn)三　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3　

5、(2010·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)． (1)寫(xiě)出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式； (2)該樓房應(yīng)建造多少層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？ (注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝) 變式遷移3　某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2012年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算

6、，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完． (1)將2012年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)． (2)該企業(yè)2012年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？ (注：利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－生產(chǎn)成本－促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)費(fèi)用) 1．a(chǎn)2＋b2≥2

7、ab對(duì)a、b∈R都成立；≥成立的條件是a≥0，b≥0；＋≥2成立的條件是ab>0，即a，b同號(hào)． 2．利用基本不等式求最值必須滿(mǎn)足一正、二定、三相等三個(gè)條件，并且和為定值時(shí)，積有最大值，積為定值時(shí)，和有最小值． 3．使用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)不成立，應(yīng)改用單調(diào)性法．一般地函數(shù)y＝ax＋，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)a>0，b>0時(shí)函數(shù)在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，可作如下變形：y＝－來(lái)解決最值問(wèn)題．

8、 (滿(mǎn)分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為_(kāi)_______． 2．已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______． 3．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是______． 4．(2011·南京模擬)一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以a km/h的速度勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400 km，為了安全，兩列車(chē)之間的距離不得小于2 km，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要________h. 5．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax

9、＋by (a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為_(kāi)_______． 6．(2010·浙江)若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 7．(2011·江蘇，8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________． 8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為_(kāi)_____________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(1)已知0<x<，求x(4－3x)的最大值； (2)

10、點(diǎn)(x，y)在直線x＋2y＝3上移動(dòng)，求2x＋4y的最小值． 10．(14分)經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量y(千輛/小時(shí))與汽車(chē)的平均速度v(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系y＝(v>0)． (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)車(chē)流量y最大？最大車(chē)流量為多少？ (2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 11．(14分)某加工廠需定期購(gòu)買(mǎi)原材料，已知每千克原材料的價(jià)格為1.5元，每次購(gòu)買(mǎi)原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元，每千克原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元，該廠每天需要消

11、耗原材料400千克，每次購(gòu)買(mǎi)的原材料當(dāng)天即開(kāi)始使用(即有400千克不需要保管)． (1)設(shè)該廠每x天購(gòu)買(mǎi)一次原材料，試寫(xiě)出每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最小，并求出這個(gè)最小值． 學(xué)案34　基本不等式及其應(yīng)用 答案 自主梳理 1．(1)a≥0，b≥0　(2)a＝b　2.(1)2ab　(2)2　(4)≤ 3.　　兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)　4.(1)x＝y(tǒng)　小　2　(2)x＝y(tǒng)　大　 自我檢測(cè) 1．充分不必要　2.A≤B≤C　3.③　4.－2

12、－1 5．[，＋∞) 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化，使用基本不等式求最值時(shí)，給定的形式不一定能直接適合基本不等式，往往需要拆添項(xiàng)或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式)，構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解．基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件． 解　(1)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，上式等號(hào)成立，又＋＝1， ∴x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16. (2)∵x<，∴5－4x>0. y＝4x－2＋＝－＋

13、3 ≤－2 ＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝， 即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋ ＝10＋2≥10＋2×2× ＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號(hào)． 又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6. ∴當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)，x＋y取最小值18. 變式遷移1　 解析　∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時(shí)，“＝”成立)，故y＝＋的最小值為. 例2　解題導(dǎo)引　“1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用

14、到，也會(huì)給解決問(wèn)題提供簡(jiǎn)捷的方法． 在不等式證明時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法． 證明　方法一　因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋. 所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) ＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. 所以(1＋)(1＋)≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． 方法二　(1＋)(1＋)＝1＋＋＋ ＝1＋＋＝1＋，因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1， 所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8， 因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． 變式遷移2　證明　∵x>0

15、，y>0，z>0， ∴＋≥>0，＋≥>0， ＋≥>0. ∴ ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號(hào)成立． 所以(＋)(＋)(＋)≥8. 例3　解題導(dǎo)引　1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序?yàn)椋? →→→→ 2．在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意，設(shè)變量，一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)最值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值；(4)正確寫(xiě)出答案． 解　(1)依題意得 y＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)． (2)∵x>0，∴48x＋≥2＝

16、1 440， 當(dāng)且僅當(dāng)48x＝，即x＝15時(shí)取到“＝”， 此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1 440＝2 000(元)． 答　當(dāng)該樓房建造15層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2 000元． 變式遷移3　解　(1)由題意可設(shè)3－x＝， 將t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－. 當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)， ∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋固定費(fèi)用， ∴年生產(chǎn)成本為32x＋3＝32＋3. 當(dāng)銷(xiāo)售x(萬(wàn)件)時(shí)，年銷(xiāo)售收入為 ×150%＋t. 由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完，由年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－年生產(chǎn)成本－促銷(xiāo)費(fèi)，得年利潤(rùn)y＝ (t≥0)． (2)y＝＝

17、50－ ≤50－2＝50－2＝42(萬(wàn)元)， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝7時(shí)，ymax＝42， ∴當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大． 課后練習(xí)區(qū) 1．4 2．4 解析　不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9， ∴≥2或≤－4(舍去)．∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4. 3．4 解析　因?yàn)椋?≥2＋2 ＝2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝且 ＝， 即a＝b＝1時(shí)，取“＝”號(hào)． 4．8 解析　第一列貨車(chē)到達(dá)B市的時(shí)間為 h，由于兩列貨車(chē)的間距不得小于2 km，所以第17列貨車(chē)到達(dá)時(shí)間為＋＝＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝100 km/h時(shí)成立，所以最快需要8 h.

18、 5. 解析　 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax＋by＝z (a>0，b>0)過(guò)直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(diǎn)(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by (a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝·＝＋≥＋2＝(a＝b＝時(shí)，取“＝”)． 6．18 解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”)， 即()2－2－6≥0， ∴(－3)·(＋)≥0. 又∵>0，∴≥3，即xy≥18. 故xy的最小值為18.

19、7．4 解析　過(guò)原點(diǎn)的直線與f(x)＝交于P、Q兩點(diǎn)，則直線的斜率k>0，設(shè)直線方程為y＝kx，由得或 ∴P(，)，Q(－，－)或P(－，－)，Q(，)． ∴PQ＝ ＝2≥4. 8．(－∞，2－1) 解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2， ∴k＋1<2，k<2－1. 9．解　(1)∵0<x<，∴0<3x<4. ∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤2＝，(5分) 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝時(shí)，“＝”成立． ∴當(dāng)x＝時(shí)，x(4－3x)的最大值為.(

20、7分) (2)已知點(diǎn)(x，y)在直線x＋2y＝3上移動(dòng)，∴x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4. (12分) 當(dāng)且僅當(dāng)即x＝，y＝時(shí)，“＝”成立． ∴當(dāng)x＝，y＝時(shí)，2x＋4y的最小值為4. (14分) 10．解　(1)y＝＝≤ ＝≈11.08.(6分) 當(dāng)v＝，即v＝40千米/小時(shí)時(shí)，車(chē)流量最大，最大值為11.08千輛/小時(shí)．(9分) (2)據(jù)題意有≥10，(11分) 化簡(jiǎn)得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0， 所以25≤v≤64. 所以汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi)． (14分) 11．解　(1)每次購(gòu)買(mǎi)原材料

21、后，當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費(fèi)，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次購(gòu)買(mǎi)原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天． ∴每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用 y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)] ＝6x2－6x.(6分) (2)由(1)可知，購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總費(fèi)用為6x2－6x＋600＋1.5×400x， ∴購(gòu)買(mǎi)一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用為 y＝(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝＋6x＋594.(9分) ∴y≥2＋594＝714，(12分) 當(dāng)且僅當(dāng)＝6x，即x＝10時(shí)，取等號(hào)． ∴該廠10天購(gòu)買(mǎi)一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用y最小，且最小為714元．(14分)