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1、 精品資料 第6講 曲線與方程 一、填空題 1．△ABC的頂點A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上， 則頂點C的軌跡方程是________．[來 答案 －＝1(x>3) 2． 點P到點(1,1)和到直線x＋2y＝3的距離相等，則點P的軌跡方程為________． 答案 2x－y－1＝0 3．已知一條曲線在y軸的右方，它上面的每一點到點A(4,0) 的距離減去該點到y(tǒng)軸的距離之差都是4，則這條曲線的方程是________． 解析 由題意，曲線上每一點P到點A(4,0)與到直線l：x＝－4距離

2、相等，所以曲線是 拋物線，方程為y2＝16x. 答案 y2＝16x 4． 過點P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點， 則AB中點M的軌跡方程為________． 答案 x＋y－1＝0 5． 有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B，若△ABP為 正三角形，則點P的軌跡為________． 答案 雙曲線 6．設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為________． 解析　M為AQ垂直平分線上一點，則AM＝MQ，∴MC

3、＋MA＝MC＋MQ＝CQ＝5， 由橢圓的定義知，M的軌跡為橢圓． ∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. 答案　＋＝1 7．若△ABC的頂點A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． 解析　如圖AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6. 根據雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． 答案　－＝1(x>3) 8．方程|y|－1＝表示的曲線是________． 解析　原方程等價于 ? ?或 答案　兩個半圓

4、 9．已知P是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的任意一點，F1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，＝＋，則動點Q的軌跡方程是______________． 解析　由＝＋， 又＋＝＝2＝－2， 設Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝， 即P點坐標為，又P在橢圓上， 則有＋＝1，即＋＝1(a＞b＞0)． 答案?。?(a＞b＞0) 10.已知兩條直線l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交，且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24，則圓心的軌跡方程是____________． 解析　設動圓的圓心為M(x，y)，半徑為r，點M到

5、直線l1，l2的距離分別為d1和d2. 由弦心距、半徑、半弦長間的關系得， 即 消去r得動點M滿足的幾何關系為d－d＝25， 即－＝25. 化簡得(x＋1)2－y2＝65. 此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程． 答案　(x＋1)2－y2＝65 二、解答題 11. 如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|. (1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度． 解　(1)設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(xP，yP)． 由已知，得∵點P在圓上，∴x2＋2＝

6、25， 即點M的軌跡C的方程為＋＝1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)． 設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長度為AB＝＝＝ ＝. 12．拋物線C：y＝x2在點P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，＝.當點P在C上移動時，點M的軌跡為D. (1)求曲線D的方程； (2)設直線l與曲線D的另一個交點為N，曲線D在點M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點Q，證明：PQ平行于x軸． 解　(1)對y＝x2，求導，得

7、y′＝2x. 設點P(x0，x)(x0≠0)，則直線l方程為 y－x＝2x0(x－x0)， 在l方程中分別令y＝0，x＝0，得A、B(0，－x)． 設M(x，y)，＝ 即＝(－x，－x－y)， 由此得x0＝3x，x＝－3y， 消去x0，得曲線D的方程為y＝－3x2(x≠0)． (2)將y＝－3x2代入直線l方程，并整理得 3x2＋2x0x－x＝0， 由(1)知，M，設N(x1，－3x)，則x1＝－， x1＝－x0.對y＝－3x2求導，得y′＝－6x， 于是直線m、n的方程分別為 y＋＝－2x0和y＋3x＝6x0(x＋x0)， 即y＝－2x0x＋和y＝6x0x＋3x，

8、 由此得點Q縱坐標為x，故PQ平行于x軸． 13．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1,1)，P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA. (1)求點P的軌跡C的方程； (2)若Q是軌跡C上異于點P的一點，且＝λ，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由． 解　(1)設點P(x，y)為所求軌跡上的任意一點， 則由kOP＋kOA＝kPA，得＋＝，整理，得 軌跡C的方程為y＝x2(x≠0且x≠－1)． (2)設P(x1，x)，Q(x2，x)， 由＝λ，可

9、知直線PQ∥OA，則kPQ＝kOA， 故＝，即x2＝－x1－1， 直線OP方程為：y＝x1x. ① 直線QA的斜率為：＝－x1－2. ∴直線QA方程為：y－1＝(－x1－2)(x＋1)， 即y＝－(x1＋2)x－x1－1. ② 聯立①②，得x＝－，∴點M的橫坐標為定值－. 由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM， ∵PQ∥OA，∴OP＝2OM， 由＝2，得x1＝1，∴P的坐標為(1,1)． ∴存在點P滿足S△PQA＝2S△PAM，P的坐標為(1,1). 14．有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩

10、地之一購得商品后， 回運的費用是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍，已知A、B兩地間的距離 為10千米，顧客選A或選B購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低， 求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民 應如何選擇購貨地點． 解 如圖所示，以AB所確定的直線為x軸，AB中點O為坐標原點建立平面直角坐標 系，則A(－5,0)，B(5,0)．設某地P的坐標為(x，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設A地的運費為3a元/千米，B地的運費為a元/千米． ∴價格＋xA地運費≤價格＋xB地運費， 即3a≤a. ∵a>0，∴3≤. 兩邊平方，得9(x＋5)2＋9y2≤(x－5)2＋y2， 即2＋y2≤2. ∴以點C為圓心，為半徑的圓是這兩地購貨的分界線；圓C內居民從A地購貨便宜；圓C外的居民從B地購貨便宜；圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等，可隨意從A、B兩地之一購貨．