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1、 精品資料 第八章　章末檢測 (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2010山東)在空間中，下列命題正確的是(　　) A．平行直線的平行投影重合 B．平行于同一直線的兩個平面平行 C．垂直于同一平面的兩個平面平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行 2．(2011聊城模擬)設(shè)m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題： ①?β∥γ； ②?m⊥β； ③?α⊥β； ④?m∥α. 其中真命題的序號是(　　) A．①④ B．②③ C．

2、①③ D．②④ 3．(2010福建) 如圖，若Ω是長方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺 4．正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 5．(2011廣東)如圖所示，某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為(　　)

3、 A．6 B．9 C．12 D．18 6．(2011舟山月考)若一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比為(　　) A. B. C. D. 7. 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為(　　) A. B. C. D. 8．(2011四川)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，

4、l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 9．(2011臨沂模擬)某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積的最大值為(　　) A. B. C. D. 10．設(shè)P是60的二面角α—l—β內(nèi)一點，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B分別為垂足，PA＝4，PB＝2，則AB的長是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 11．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形的邊長是a，D，E分別是BB1，CC1上的點，且EC＝BC＝2BD，則平面ADE與平面ABC的夾角的大小為(　　) A．30 B．45 C．60 D．

5、90 12．(2011麗水月考) 如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′等于(　　) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．如圖，是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖△A′O′B′，則△AOB的面積是________． 14. 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，N分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則點

6、M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1. 15．(2011上海)若圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________． 16．(2011陽江月考)正四棱錐S—ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)有一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5、圓心角為的扇形，在這個圓錐中內(nèi)接一個高為x的圓柱． (1)求圓錐的體積； (2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

7、18．(12分)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿對角線AC折疊，使面ABC與面ADC垂直，求B、D間的距離． 19．(12分)(2011陜西)如圖，在△ABC中，∠ABC＝60，∠BAC＝90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90. (1)證明：平面ADB⊥平面BDC； (2)設(shè)E為BC的中點，求與夾角的余弦值． 20．(12分)(2011廣州模擬) 如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A1A＝A

8、B＝2. (1)求證：BC⊥平面AA1C； (2)求三棱錐A1—ABC的體積的最大值． 21．(12分)(2011重慶)如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30. (1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面體ABCD的體積． (2)若二面角C－AB－D為60，求異面直線AD與BC所成角的余弦值． 22．(12分)(2011北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BA

9、D＝60. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值； (3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長． 第八章　章末檢測 1．D　2.C　3.D　4.A 5．B　[由三視圖可還原幾何體的直觀圖如圖所示． 此幾何體可通過分割和補(bǔ)形的方法拼湊成一個長和寬均為3，高為的平行六面體，所求體積V＝33＝9.] 6．A　7.B 8．B　[當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時，l1也可能與l3相交或異面，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱

10、柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D不正確．] 9．D　10.C　11.B　12.A 13．16　14.M∈線段FH　15.π　16.30 17．解　(1)因為圓錐側(cè)面展開圖的半徑為5，所以圓錐的母線長為5.設(shè)圓錐的底面半徑為r， 則2πr＝5，解得r＝3.(2分) 所以圓錐的高為4. 從而圓錐的體積V＝πr24＝12π.(4分) (2)右圖為軸截面圖，這個圖為等腰三角形中內(nèi)接一個矩形． 設(shè)圓柱的底面半徑為a， 則＝，從而a＝3－x.(6分) 圓柱的側(cè)面積S(x)＝2π(3－x)x ＝π(4

11、x－x2)＝π[4－(x－2)2](0

12、 同方法一，過E作FB的平行線交AB于P點，以E為坐標(biāo)原點，以EP、EC、ED所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則由方法一知DE＝FB＝，EF＝.(4分) ∴D，B.(6分) ∴||＝＝. (12分) 19．(1)證明　∵折起前AD是BC邊上的高， ∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.(2分) 又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.(4分) ∵AD?平面ABD， ∴平面ADB⊥平面BDC.(6分) (2)解　由∠BDC＝90及(1)，知DA，DB，DC兩兩垂直．不妨設(shè)DB＝1，以D為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空

13、間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，，0)，(9分) ∴＝(，，－)，＝(1,0,0)，(10分) ∴與夾角的余弦值為cos〈，〉＝＝＝.(12分) 20．(1)證明　∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴AA1⊥BC.(4分) ∵AA1∩AC＝A，AA1?平面AA1C， AC?平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C.(5分) (2)解　設(shè)AC＝x，在Rt△ABC中， BC＝＝ (0

14、1＝ACBCAA1 ＝x (0

15、.(6分) (2)解　方法一　如圖①，設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點，連接FG，F(xiàn)H，HG，則FG∥AD，GH∥BC，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角．(7分) 設(shè)E為邊AB的中點，連接EF，則EF∥BC， 由AB⊥BC，知EF⊥AB. 又由(1)有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB. 所以∠DEF為二面角C－AB－D的平面角．由題設(shè)知∠DEF＝60.(9分) 設(shè)AD＝a，則DF＝ADsin∠CAD＝. 在Rt△DEF中，EF＝DFcot∠DEF＝＝a， 從而GH＝BC＝EF＝a. 因為Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD＝AD＝a， 從而，在Rt

16、△BDF中，F(xiàn)H＝BD＝.(10分) 又FG＝AD＝，從而在△FGH中，因FG＝FH， 由余弦定理得cos∠FGH＝＝＝. 因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為.(12分) ② 方法二　如圖②，過F作FM⊥AC，交AB于M.已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M兩兩垂直，以F為原點，射線FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系F－xyz.(7分) 不妨設(shè)AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30，易知點A，C，D的坐標(biāo)分別為A(0，－，0)，C(0，，0)，D(0,0,1)，則＝(0，，1)． 顯然向量k＝(0,0,1)是平面A

17、BC的法向量． 已知二面角C－AB－D為60，故可取平面ABD的單位法向量n＝(l，m，n)，使得〈n，k〉＝60，從而n＝. 由n⊥，有m＋n＝0，從而m＝－. 由l2＋m2＋n2＝1，得l＝. 設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y,0)，由⊥，n⊥，取l＝，有 解得或(舍去)． 易知l＝－與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去． 因此點B的坐標(biāo)為(，，0)．(10分) 所以＝(，－，0)，從而cos〈，〉＝＝＝－. 故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為.(12分) 22．(1)證明　因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PA

18、C.(3分) (2)解　設(shè)AC∩BD＝O， 因為∠BAD＝60，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．(6分) 所以＝(1，，－2)， ＝(0,2，0)． 設(shè)PB與AC所成角為θ，則 cos θ＝＝＝.(6分) (3)解　由(2)知＝(－1，，0)． 設(shè)P(0，－，t)(t>0)，則＝(－1，－，t)． 設(shè)平面PBC的法向量m＝(x，y，z)， 則m＝0，m＝0. 所以 令y＝，則x＝3，z＝.所以m＝(3，，)． 同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)． (10分) 因為平面PBC⊥平面PDC， 所以mn＝0，即－6＋＝0， 解得t＝.所以PA＝.(12分)