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1、 精品資料 8.1　直線的方程 1． 直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 ①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0. ②傾斜角的范圍為[0，180)． (2)直線的斜率 ①定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90的直線斜率不存在． ②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式 經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直線的斜率

2、公式為k＝. 2． 直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x軸的直線 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1 (x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 3． 過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2時(shí)，直線垂直于x軸，方程為x＝x1； (2)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1

3、； (3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2時(shí)，直線即為y軸，方程為x＝0； (4)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0時(shí)，直線即為x軸，方程為y＝0. 4． 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則，此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置． (　√　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率． (　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (

4、4)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α. (　　) (5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等． (　　) (6)經(jīng)過定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示． (　　) (7)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用＋＝1表示． (　　) (8)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　√　) 2． 如果AC<0，且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過 (　　) A．第一象限 B．第二象

5、限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限． 3． 若直線斜率的絕對值等于1，則直線的傾斜角為______________． 答案　45或135 解析　由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又傾斜角α∈[0，180)，∴α ＝45或135. 4． 直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)．則直線l的傾斜角的取值范圍為____________． 答案　∪ 解析　直線l的斜率k＝＝1－m2≤1. 若l

6、的傾斜角為α，則tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪. 5． 過點(diǎn)M(3，－4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為____________． 答案　x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 解析?、偃糁本€過原點(diǎn)，則k＝－， ∴y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直線不過原點(diǎn)． 設(shè)＋＝1，即x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0. 題型一　直線的傾斜角與斜率 例1　經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________，________. 思維啟迪　本題考查

7、斜率求解公式以及k與α的函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是在求傾斜角時(shí)要對其分銳角、鈍角的討論． 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π) 解析　如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點(diǎn)，則 kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時(shí)，傾斜角α為鈍角，k＝0時(shí)， α＝0，k>0時(shí)，α為銳角． 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 又當(dāng)0≤k≤1時(shí)，0≤α≤； 當(dāng)－1≤k<0時(shí)，≤α<π. 故傾斜角α的取值范圍為α∈[0，]∪[，π)． 思維升華　直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論

8、．由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈(－∞，0)． 　(1)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為 (　　) A. B．－ C．－ D. (2)直線xcos α＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是 (　　) A.∪ B.∪ C. D. 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)， 則有，解得a＝－5，b＝－3， 從而可知直線l的斜率為＝－. (2)由xcos

9、 α＋y＋2＝0得直線斜率k＝－cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤. 設(shè)直線的傾斜角為θ，則－≤tan θ≤. 結(jié)合正切函數(shù)在∪上的圖象可知， 0≤θ≤或≤θ<π. 題型二　求直線的方程 例2　根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(diǎn)(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(diǎn)(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12； (3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5. 思維啟迪　本題考查直線方程的三種形式，解題關(guān)鍵在于設(shè)出正確的方程形式． 解　(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式． 設(shè)傾斜角為α，則sin α＝(0<α<π)， 從而

10、cos α＝，則k＝tan α＝. 故所求直線方程為y＝(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為＋＝1， 又直線過點(diǎn)(－3,4)， 從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k， 則所求直線方程為y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由點(diǎn)線距離公式，得＝5，解得k＝. 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0. 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 思維升華　

11、在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線．故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況． 　求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍． 解　(1)設(shè)直線l在x、y軸上的截距均為a， 若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0

12、，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0. 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α ，則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 題型三　直線方程的綜合應(yīng)用 例3　已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B 兩點(diǎn)，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程． 思維啟迪　先求出AB所在的直線方程，再求出A

13、，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)， 表示出△ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值． 解　方法一　設(shè)直線方程為＋＝1 (a>0，b>0)， 點(diǎn)P(3,2)代入得＋＝1≥2 ，得ab≥24， 從而S△AOB＝ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號成立，這時(shí)k＝－＝－，從而所求直線方程為2x＋3y－12＝0. 方法二　依題意知，直線l的斜率k存在且k<0. 則直線l的方程為y－2＝k(x－3) (k<0)， 且有A，B(0,2－3k)， ∴S△ABO＝(2－3k) ＝ ≥ ＝(12＋12)＝12. 當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝，即k＝－時(shí)，等號成立． 即△ABO的面積的最小值為12. 故所求直線的方程為2

14、x＋3y－12＝0. 思維升華　直線方程綜合問題的兩大類型及解法 (1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決． (2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)(如方程解的個(gè)數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決． 　已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程． (1

15、)證明　直線l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令，解得， ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)． (2)解　由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有，解之得k>0； 當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0. (3)解　由l的方程，得A，B(0,1＋2k)． 依題意得 解得k>0. ∵S＝|OA||OB|＝|1＋2k| ＝＝≥(22＋4)＝4， “＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0. 分類討論思想在求直線方程中的應(yīng)用 典

16、例：(4分)與點(diǎn)M(4,3)的距離為5，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為________． 思維啟迪　解答本題應(yīng)抓住直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，分類設(shè)出直線的方程求解． 規(guī)范解答 解析　當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1， 即x＋y－a＝0， ∵點(diǎn)M(4,3)與所求直線的距離為5， ∴＝5， ∴a＝75. ∴所求直線方程為x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0. 當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為y＝kx， 即kx－y＝0. 同理可得＝5，∴k＝－. ∴所求直線方程為y＝－x，即4x＋3y＝0. 綜上所述，所求直線方程為 x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0或

17、4x＋3y＝0. 答案　x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0或4x＋3y＝0 溫馨提醒　在選用直線方程時(shí)常易忽視的情況有 (1)選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況； (2)選用截距式時(shí)，忽視截距為零的情況； (3)選用兩點(diǎn)式時(shí)忽視與坐標(biāo)軸垂直的情況. 方法與技巧 1． 要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：k＝，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1≠x2)時(shí)，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率．當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90. 2． 求斜率可用k＝tan α(α≠90)，其中α為傾斜角，由此可見傾斜角

18、與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”． 3． 求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法． 失誤與防范 1． 求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率． 2． 根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性． 3． 利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量為(－B，A)不可記錯(cuò)，但同時(shí)注意方向向量是不唯一的． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 如圖中的直線l1、l2、l3的斜率

19、分別為k1、k2、k3，則 (　　) A．k1α3，所以0

20、斜率為(　　) A. B．－ C．0 D．1＋ 答案　A 解析　直線PQ的斜率為－，則直線PQ的傾斜角為120，所求直線的傾斜角為60，tan 60＝. 4． 兩條直線l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是 (　　) 答案　A 解析　化為截距式＋＝1，＋＝1. 假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A項(xiàng)符合． 5． 設(shè)直線l的方程為x＋ycos θ＋3＝0 (θ∈R)，則直線l的傾斜角α的范圍是 (　　) A．[0，π) B. C. D.∪ 答案　C 解析　當(dāng)cos θ＝0時(shí)，方程變?yōu)閤＋3＝0，其傾

21、斜角為； 當(dāng)cos θ≠0時(shí)，由直線方程可得斜率k＝－. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)， ∴α∈∪. 綜上知，傾斜角的范圍是，故選C. 二、填空題 6． 直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ中點(diǎn)是(1，－1)，則l的斜率是________． 答案?。? 解析　設(shè)P(m,1)，則Q(2－m，－3)， ∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)， ∴k＝＝－. 7． 直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45，則a的

22、取值范圍是________________． 答案　(－∞，－)∪(0，＋∞) 解析　當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的傾斜角為90，符合要求； 當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l的斜率為－，只要－>1或者－<0即可， 解得－10. 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－)∪(0，＋∞)． 8． 若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為________． 答案　16 解析　根據(jù)A(a,0)、B(0，b)確定直線的方程為＋＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0. 根據(jù)基本

23、不等式ab＝－2(a＋b)≥4，從而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號．即ab的最小值為16. 三、解答題 9． 已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程： (1)過定點(diǎn)A(－3,4)；(2)斜率為. 解　(1)設(shè)直線l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,3k＋4， 由已知，得(3k＋4)＝6， 解得k1＝－或k2＝－. 故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是 y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b， 由已知，得

24、|－6bb|＝6，∴b＝1. ∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10．如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P(1,0) 作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好 落在直線y＝x上時(shí)，求直線AB的方程． 解　由題意可得kOA＝tan 45＝1，kOB＝tan(180－30)＝－， 所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 設(shè)A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中點(diǎn)C， 由點(diǎn)C在y＝x上，且A、P、B三點(diǎn)共線得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)，

25、 即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1． 直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來位置，那么l的斜率為 (　　) A．－ B．－3 C. D．3 答案　A 解析　結(jié)合圖形可知選A. 2． 直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn) (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立， ∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3， 定點(diǎn)為(－，－3)．

26、 3． 經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)的直線的兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為 (　　) A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0 答案　B 解析　方法一　直線過點(diǎn)P(1,4)，代入選項(xiàng)，排除A、D， 又在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正，排除C. 方法二　設(shè)所求直線方程為＋＝1(a>0，b>0)， 將(1,4)代入得＋＝1， a＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋(＋)≥9， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝3，b＝6時(shí)，截距之和最小， ∴直線方程為＋＝1，即2x＋y－6＝0. 4． 已知A(3,0)，B(0,4)，直

27、線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是________． 答案　3 解析　直線AB的方程為＋＝1， 設(shè)P(x，y)，則x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，xy取最大值3. 5． 設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________． 答案　[－2,2] 解析　b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)b分別取得 最小值和最大值． ∴b的取值范圍是[－2,2]． 6． 直線l過點(diǎn)P(1,4)

28、，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A、B兩 點(diǎn)． (1)當(dāng)|PA||PB|最小時(shí)，求l的方程； (2)當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求l的方程． 解　依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)． 設(shè)l：y－4＝k(x－1)(k<0)． 令y＝0，可得A(1－，0)； 令x＝0，可得B(0,4－k)． (1)|PA||PB|＝ ＝－(1＋k2)＝－4(＋k)≥8.(注意k<0) ∴當(dāng)且僅當(dāng)＝k且k<0即k＝－1時(shí)， |PA||PB|取最小值． 這時(shí)l的方程為x＋y－5＝0. (2)|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋)≥9. ∴當(dāng)且僅當(dāng)k＝且k<0，即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值． 這時(shí)l的方程為2x＋y－6＝0.