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1、 精品資料 第4講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 一、選擇題 1．若直線m?平面α，則條件甲：“直線l∥α”是條件乙：“l(fā)∥m”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　D 2．若直線a∥直線b，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是(　　) A．一定平行 B．不平行 C．平行或相交

2、 D．平行或在平面內(nèi) 解析 直線在平面內(nèi)的情況不能遺漏，所以正確選項(xiàng)為D. 答案　D 3．一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是 (　　)． A．l∥α B．l⊥α C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α 解析　l∥α?xí)r，直線l上任意點(diǎn)到α的距離都相等；l?α?xí)r，直線l上所有的點(diǎn)到α的距離都是0；l⊥α?xí)r，直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到α距離相等；l與α斜交時(shí)，也只能有兩個(gè)點(diǎn)到α距離相等． 答案　D 4．設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是

3、 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2 解析　對(duì)于選項(xiàng)A，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，由于l1與l2是相交直線，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它們也可以異面，故必要性不成立，故選B；對(duì)于選項(xiàng)C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，由n∥l2可轉(zhuǎn)化為n∥β，同選項(xiàng)C，故不符合題意，綜上選B. 答案　B 5．已知α1，α2，α3是三個(gè)相互平行的平面，平面α1，α2之間的距離為d1

4、，平面α2，α3之間的距離為d2.直線l與α1，α2，α3分別相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　如圖所示，由于α2∥α3，同時(shí)被第三個(gè)平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根據(jù)平行線截線段成比例易知選C. 答案　C 6．下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是(　　)． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 解析　對(duì)于圖

5、形①：平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行，即可得到AB∥平面MNP，對(duì)于圖形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，圖形②、③都不可以，故選C. 答案　C 二、填空題 7．過(guò)三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 解析　過(guò)三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條． 答案　6 8．α、β、γ是三個(gè)平面，a、b是兩條直線，有下列三個(gè)條件：①a∥

6、γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確的題號(hào)填上)． 解析　①中，a∥γ，a?β，b?β，β∩γ＝b?a∥b(線面平行的性質(zhì))．③中，b∥β，b?γ，a?γ，β∩γ＝a?a∥b(線面平行的性質(zhì))． 答案　①③ 9．若m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中真命題的序號(hào)是________． ①若m、n都平行于平面α，則m、n一定不是相交直線； ②若m、n都垂直于平面α，則m、n一定是平行直線； ③已知α、β互相平行，m、n互相平

7、行，若m∥α，則n∥β； ④若m、n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m、n互相平行． 解析?、贋榧倜}，②為真命題，在③中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，故是假命題，在④中，m、n也可能異面，故為假命題． 答案?、? 10．對(duì)于平面α與平面β，有下列條件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④l，m為兩條平行直線，且l∥α，m∥β；⑤l，m是異面直線，且l∥α，m∥α；l∥β，m∥β，則可判定平面α與平面β平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號(hào))． 解析　由面面平行的判定定理及性質(zhì)定理知，只有②⑤能判定α∥β. 答案　②⑤ 三、解答

8、題 11． 如圖，在四面體A－BCD中，F(xiàn)、E、H分別是棱AB、BD、AC的中點(diǎn)，G為DE的中點(diǎn)．證明：直線HG∥平面CEF. 證明　法一　如圖，連接BH，BH與CF交于K，連接EK. ∵F、H分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴K是△ABC的重心， ∴＝. 又據(jù)題設(shè)條件知，＝， ∴＝，∴EK∥GH. ∵EK?平面CEF，GH?平面CEF， ∴直線HG∥平面CEF. 法二　如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接GN、HN. ∵G為DE的中點(diǎn)，∴GN∥CE. ∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF. 連接FH，EN ∵F、E、H分別是棱AB、BD、AC的中點(diǎn)， ∴FH

9、綉B(tài)C，EN綉B(tài)C，∴FH綉EN， ∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF. ∵EF?平面CEF，HN?平面CEF， ∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N， ∴平面GHN∥平面CEF. ∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面CEF. 12． 如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點(diǎn)． (1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面； (2)求證：平面A1GH∥平面BED1F. 證明　(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2， ∴BG綉A1E，∴A1G綉B(tài)E. 又同理，C1

10、F綉B(tài)1G，∴四邊形C1FGB1是平行四邊形， ∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四邊形A1GFD1是平行四邊形． ∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB， 故E、B、F、D1四點(diǎn)共面． (2)∵H是B1C1的中點(diǎn)，∴B1H＝. 又B1G＝1，∴＝. 又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90， ∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG， ∴HG∥FB. 又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G， FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F. 13．一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：(其中M、N分別是AF、BC的中點(diǎn))． (1)求證：MN∥平面CDEF；

11、 (2)求多面體A－CDEF的體積． 解　由三視圖可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝. (1)證明：取BF的中點(diǎn)G，連接MG、NG，由M、N分別為AF、BC的中點(diǎn)可得，NG∥CF，MG∥EF， ∴平面MNG∥平面CDEF， 又MN?平面MNG， ∴MN∥平面CDEF. (2)取DE的中點(diǎn)H. ∵AD＝AE，∴AH⊥DE， 在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF， 平面ADE∩平面CDEF＝DE. ∴AH⊥平面CDEF. ∴多面體A－CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH＝.S矩形CDEF＝DEEF＝4，

12、∴棱錐A－CDEF的體積為V＝S矩形CDEFAH＝4＝. 14．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE. (1)求證：AE⊥BE； (2)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE. (1)證明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE， 又AE?平面ABE，則AE⊥BC. 又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ABE， ∴AE⊥BF， 又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE， 又BE?平面BCE，∴AE⊥BE. (2)解　在△ABE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn)，在△BEC中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn)，連接MN，則由比例關(guān)系易得CN＝CE. ∵M(jìn)G∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE， ∴MG∥平面ADE. 同理，GN∥平面ADE. 又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE. 又MN?平面MGN， ∴MN∥平面ADE. ∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).