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1、 精品資料 第3章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案13　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝C (C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù)．熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c，xm (m為有理數(shù))，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導(dǎo)數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)． 自主梳理 1．函數(shù)

2、f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為_(kāi)_______________________． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，比值＝____________________無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)． (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是過(guò)曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))的____________． (3)導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)s＝s(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s′(t

3、0)，是物體的運(yùn)動(dòng)方程s＝s(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v，即v＝__________；v＝v(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)v′(t0)，是物體的運(yùn)動(dòng)方程v＝v(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a，即a＝____________. 3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，就說(shuō)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作y′或f′(x)． 4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C(C為常數(shù)) f′(x)＝____ f(x)＝xα (α為常數(shù)) f′(x)＝______ (α為常數(shù)

4、) f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝______(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax (a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝____________； (2)[f(x)g(x)]′＝________________； (3)′＝____

5、____________________ [g(x)≠0]． 6．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y′x＝y(tǒng)′u·a. 自我檢測(cè) 1．(2011·中山期末統(tǒng)一考試)已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝t2＋(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t＝2時(shí)的速度為_(kāi)_______． 2．設(shè)y＝x2·ex，則y′＝______________. 3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 4．(2010·臨汾二模)若函數(shù)f(x)＝

6、ex＋ae－x的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________． 5．(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)＝f′()cos x＋sin x，則f()＝________. 探究點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)； (2)f(x)＝. 變式遷移1　求函數(shù)y＝在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導(dǎo)函數(shù)． 探究點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝xex；(4)y＝tan

7、x. 變式遷移2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝. 探究點(diǎn)三　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例3　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(2x－3)5； (2)y＝； (3)y＝ln(2x＋5)． 變式遷移3　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝； (2)y＝sin； (3)y＝x. 探究點(diǎn)四　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例4　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程．

8、 變式遷移4　求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程． 1．準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個(gè)方面： (1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)． (2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線y＝x3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y＝0的兩側(cè)． 2．曲線的切線的求法： 若已知曲線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解． (1)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)的切線方程為y－y0＝f′

9、(x0)(x－x0)． (2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成： 第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))； 第二步：寫(xiě)出過(guò)P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1； 第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程． 3．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)

10、形式的要適當(dāng)變形． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋6x，當(dāng)Δx→0時(shí)，→常數(shù)A，則A＝________. 2．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時(shí)刻是__________． 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為_(kāi)_____________． 4．(2010·遼寧改編)已知點(diǎn)P在曲線y＝上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是____________． 5．(2009·福建)

11、若曲線f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 6．(2009·安徽改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為_(kāi)_____________． 7．已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是________(填上正確的序號(hào))． 8．(2011·南京模擬)若點(diǎn)P是曲線f(x)＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為_(kāi)_______． 二、解答題(共42分) 9．(12分)求下列函數(shù)在x＝x0處

12、的導(dǎo)數(shù)． (1)f(x)＝＋，x0＝2； (2)f(x)＝，x0＝1. 10．(14分)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的曲線y＝的切線方程． 11．(16分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心； (3)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 答案 自主梳理 1.　2.(1)　(2)切線的斜率　(3)s′(t0)　v′(

13、t0)　4.0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a　ex　　　5.(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(3) 自我檢測(cè) 1.　2.(2x＋x2)ex　3.3　4.ln 2　5.1 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)Δx，從而分子分母相約分． (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問(wèn)題常用的方法，有時(shí)用“分母有理化”，有時(shí)用“分子有理化”． (3)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為： ①求函數(shù)的增量Δy；

14、②求平均變化率；③化簡(jiǎn)取極限． 解　(1)＝＝ ＝＝ ＝＝， 從而，當(dāng)Δx→0時(shí)，→－，∴f′(1)＝－. (2)＝＝ ＝＝， 從而，當(dāng)Δx→0時(shí)，→－， ∴f′(x)＝－. 變式遷移1　解　∵Δy＝－ ＝＝， ∴＝. ∴Δx→0時(shí)，→.∴y′＝. 例2　解題導(dǎo)引　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式．對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形． 解　(1)∵y＝(1－)＝－＝， ∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (

15、2)y′＝′＝ ＝＝. (3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 變式遷移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ ＝＝. 例3　解題導(dǎo)引　(1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為： →→ (2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵

16、是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程． 解　(1)設(shè)u＝2x－3，則y＝(2x－3)5由y＝u5與u＝2x－3復(fù)合而成． ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4. (2)設(shè)u＝3－x，則y＝由y＝u與u＝3－x復(fù)合而成． ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝u－(－1)＝－u－＝－. (3)設(shè)u＝2x＋5，則y＝ln(2x＋5) 由y＝ln u與u＝2x＋5復(fù)合而成． ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝·2＝＝. 變式遷移3　解　(1)

17、設(shè)u＝1－3x，y＝u－4. 則y′＝y(tǒng)u′·ux′＝－4u－5·(－3)＝. (2)設(shè)u＝2x＋，則y＝sin u， ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝cos u·2＝2cos(2x＋)． (3)y′＝(x)′＝x′·＋x()′ ＝＋＝. 例4　解題導(dǎo)引　(1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異；過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)． (2)求函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可． (3)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)

18、坐標(biāo)來(lái)解決． 解　(1)∵y′＝x2，∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k＝4. ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率k＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋.∵點(diǎn)P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)設(shè)切點(diǎn)為(x0

19、，y0)，則 切線的斜率為k＝x＝1，解得x0＝±1， 故切點(diǎn)為，(－1,1)． 故所求切線方程為y－＝x－1和y－1＝x＋1， 即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 變式遷移4　解　f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線的斜率為k. (1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x. (2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①②得x0＝，k＝－. ∴所求曲線的切線方程為y＝－x. 綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過(guò)原點(diǎn)的切線方

20、程為 y＝2x或y＝－x. 課后練習(xí)區(qū) 1．3　2.1秒或2秒末　3.4x－y－3＝0　4. 5．a(chǎn)<0 解析　由題意可知該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，且f′(x)＝2ax＋.因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線，故此時(shí)斜率為0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2ax＋存在零點(diǎn)．令2ax＋＝0，即2ax2＋1＝0，即x2＝－，顯然只有a<0，方程2ax2＋1＝0才有正實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0. 6．[，2] 解析　∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x， ∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin， 又

21、θ∈.∴≤θ＋≤， ∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2. 7．④ 解析　由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說(shuō)明函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)遞減，故可排除①、③. 又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)在點(diǎn)x＝x0處相交，說(shuō)明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線斜率相同，故可排除②. 8. 解析　過(guò)點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線，且與曲線f(x)＝x2－ln x相切． 設(shè)P(x0，x－ln x0)，則有k＝f′(x0)＝2x0－. ∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，∴d＝＝，

22、即最小距離為. 9．解　(1)∵f′(x)＝′＝ ＝，∴f′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分) (2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′ ＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.………………………………………………………(12分) 10．解　設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)(x0≠0)，則y0＝. ∵切線過(guò)P(2,0)， ∴切線斜率為＝.…………………………………………………………(4分) 又y′＝()′＝－，∴k＝－.…………………………………………………………(6分) 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知－＝. 解得x0＝1.……………………………………

23、…………………………………………(10分) ∴y0＝＝1，∴M(1,1)．∴切線斜率為k＝－1， 故切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.………………………………………(14分) 11．(1)解　f′(x)＝a－，…………………………………………………………(2分) 于是解得或 因?yàn)閍，b∈Z，故f(x)＝x＋.…………………………………………………………(6分) (2)證明　已知函數(shù)y1＝x，y2＝都是奇函數(shù)， 所以函數(shù)g(x)＝x＋也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形．而f(x)＝x－1＋＋1. 可知，函數(shù)g(x)的圖象按向量a＝(1,1)平移，即得到

24、函數(shù)f(x)的圖象， 故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形．………………………………(10分) (3)證明　在曲線上任取一點(diǎn)， 由f′(x0)＝1－知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 y－＝(x－x0)．…………………………………………………(12分) 令x＝1，得y＝， 切線與直線x＝1的交點(diǎn)為； 令y＝x，得y＝2x0－1， 切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)； 直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)， 從而所圍三角形的面積為 |2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2. 所以，所圍三角形的面積為定值2.……………………………………………………(16分)