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1、 精品資料 學(xué)案75　不等式選講 (二)不等式的證明 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡單的不等式． 自主梳理 1．證明不等式的常用方法 (1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本思想是____與0比較大小或____與1比較大小． (2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或________，經(jīng)過推理論證，最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立． (3)分析法：從

2、待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的________條件，到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)． (4)反證法 ①反證法的定義 先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法． ②反證法的特點(diǎn) 先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾． (5)放縮法 ①定義：證明不等式時(shí)，通過把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞___

3、____或________以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立．這種方法 稱為放縮法． ②思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵． (6)數(shù)學(xué)歸納法 與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明． 自我檢測 1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，則M，N的大小關(guān)系為________． 2．設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為______________． 3．若a>0，b>0，給出下列四個(gè)不等式： ①a＋b＋≥2；②(a＋b)(＋)≥4；③≥a＋b；④a＋≥－2. 其中正確

4、的序號為______________． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明(1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)>(k>1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)乘上________．這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是________． 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明≥()n(a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，n∈N)時(shí)，假設(shè)n＝k命題成立之后，證明n＝k＋1命題也成立的關(guān)鍵是______________． 探究點(diǎn)一　比較法證明不等式 例1　已知a>0，b>0，求證：＋≥＋. 變式遷移1　(2011福建)設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M. ①求集合M； ②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。?

5、 探究點(diǎn)二　用綜合法證明不等式 例2　設(shè)a、b、c均為正數(shù)，求證： ＋＋≥＋＋. 變式遷移2　設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證： (x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. 探究點(diǎn)三　用分析法證明不等式 例3　已知a>b>0，求證：<－<. 變式遷移3　已知a>0，求證： －≥a＋－2. 探究點(diǎn)四　數(shù)學(xué)歸納法 例4　用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋>(n≥2)．

6、 變式遷移4　用數(shù)學(xué)歸納法證明

7、等于，另一個(gè)小于；三個(gè)都大于等于.如果從正面證明，將有7種情況需要證明，非常繁雜，可考慮用反證法證明． 【答題模板】 證明　(1)∵f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2， ∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.[2分] (2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于， 則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，[4分] 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝2， 與假設(shè)矛盾．[9分] ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.[10分] 【突破

8、思維障礙】 根據(jù)正難則反的證明原則，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個(gè)不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，所以用反證法證明只有一種情況，如果這一種情況不成立，則原命題成立． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 在證明(2)中如果不知道用反證法證，而是從正面分七種情況證明，往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤． 1．證明不等式的常用方法有六種，即比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法，重點(diǎn)是前四種方法． 2．比較法是證明不等式的一個(gè)最基本，最常用的方法．當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)，一般使用作差比較法；當(dāng)被證的不等式(或變形后)的兩端都是正

9、數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，一般使用作商比較法． 3．分析法執(zhí)果索因，利于思考；綜合法由因?qū)Ч?，宜于表達(dá)，適合人們的思維習(xí)慣，凡是能用分析法證明的不等式，一般可以用綜合法證明． 因此，我們做題時(shí)，通常先用分析法探求證題途徑，在解答問題時(shí)用綜合法書寫． 4．放縮法就是利用不等式的傳遞性的方法，即要證a>b，可以證a>c且c>b.其中c的確定是最困難的，要憑借對題意的分析和一定的解題經(jīng)驗(yàn)． 放縮法的常用措施：(1)舍去或加上一些項(xiàng)，如2＋>2；(2)將分子或分母放大(縮小)，如<，>，<，> (k∈N*且k>1)等． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共42分)

10、 1．已知a、b、m∈R＋且a>b，則與的大小關(guān)系為________． 2．設(shè)a∈R且a≠0，以下四個(gè)式子中恒大于1的個(gè)數(shù)是________． ①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋. 3．在下列不等式中，一定成立的是________(填序號)． ①48a<84b； ②aabb>abba； ③a3>a2－a＋1； ④(＋)m2<. 4．如圖所示，矩形OPAQ中，a1”“<”或“＝”) 5．已知P＝＋，Q＝＋，則P、Q的大小關(guān)系為________． 6．有一臺(tái)天平，兩臂

11、長略有差異，其他均精確．現(xiàn)將一物體A分別放在左、右托盤內(nèi)各稱一次，稱得的結(jié)果分別為a克和b克，關(guān)于物體A的質(zhì)量，有下列一些說法： (1)物體A的質(zhì)量是克； (2)物體A的質(zhì)量介于a克與b克之間； (3)物體A的質(zhì)量大于克； (4)物體A的質(zhì)量大于克． 其中正確的說法是________．(將滿足題意的所有序號填在題中橫線上) 7．設(shè)兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b滿足a3－b3＝a2－b2，則a＋b的取值范圍是________． 二、解答題(共48分) 8．(12分)若a＋b＝1，求證： ＋≤2. 9．(12分)(2009江蘇)設(shè)a≥b>0，求

12、證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 10．(12分)已知x，y，z均為正數(shù)，求證： ＋＋≥＋＋. 11．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>. 學(xué)案75　不等式選講 (二)不等式的證明 答案 自主梳理 1．(1)差　商　(2)定理　(3)充分　(5)①放大　縮小 自我檢測 1．M≥N 解析　∵M(jìn)－N＝a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2) ＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]

13、 ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)“＝”成立．∴M≥N. 2．a(chǎn)b≠1或a≠－2 解析　由x>y，得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，所以有ab≠1或a≠－2. 3．①②③④ 解析　∵a>0，b>0， ∴①a＋b＋≥2＋≥2 ＝2； ②(a＋b)(＋)≥4＝4； ③∵≥， ∴a2＋b2≥＝(a＋b) ≥(a＋b).∴≥a＋b； ④∵a>0，∵a＋>0，∴④恒成立． 4．(1＋)(1＋)…(1＋)　2k－1 解析　因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是(1＋)，最后一個(gè)是(1＋)，共有2k－

14、2k－1＝2k－1項(xiàng)． 5．兩邊同乘以 解析　要想辦法出現(xiàn)ak＋1＋bk＋1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的()k＋1. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式，可用作差或作商比較法，也可用分析法、綜合法． 證明　∵＋－(＋) ＝＝， 又＋>0，>0，(－)2≥0， ∴＋－(＋)≥0.故＋≥＋. 變式遷移1　解?、儆蓔2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00， 故ab＋1>a＋b. 例2　解題導(dǎo)引　本例不等

15、式中的a、b、c具有同等的地位，證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化，利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到要證明的結(jié)論． 證明　∵a、b、c均為正數(shù)， ∴≥≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立； 同理：≥≥， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號成立； ≥≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號成立． 三個(gè)不等式相加即得＋＋≥＋＋， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立． 變式遷移2　證明　x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知， x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥22x2＝8x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立)． 例3　解題導(dǎo)引　當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，已知條件信息量太少，已知與

16、待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法．分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個(gè)必要條件是否充分，這種“逆求”過程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問題、解決問題時(shí)常用的思考方法． 證明　欲證<－<， 只需證<<.∵a>b>0， ∴只需證<<， 即<1<.欲證<1， 只需證＋<2，即<.該式顯然成立． 欲證1<， 只需證2<＋，即<.該式顯然成立． ∴<1<成立，且以上各步均可逆． ∴<－<成立． 變式遷移3　證明　要證 －≥a＋－2， 只需證 ＋2≥a＋＋， ∵a>0，∴只需證2≥2， 從而

17、只要證2 ≥， 只要證4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 例4　解題導(dǎo)引　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n＝k＋1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用．在證明過程中，常常利用不等式的傳遞性對式子放縮，建立關(guān)系． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，>0，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)，原不等式成立． 即＋＋＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式對n≥2的所有的自然數(shù)都成立， 即＋＋＋…＋>(n≥2)．

18、 變式遷移4　證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立． 即 解析　∵－＝＝>0， ∴>. 2．1 解析　只有a2＋≥2>1. 3．④ 解析　取a＝b＝1，顯然有＝444＝16>1， ∴48>84，①不成立； ∵＝ab＝a－b， 當(dāng)a

19、a3－a2＋a－1＝(a－1)(a2＋1)， 當(dāng)a<1時(shí)，③不成立； ∵(＋)2＝7＋2，2＝(2＋)2＝7＋2， ∴＋<，又m2 5．P，所以(1)(3)錯(cuò)誤． 由放縮法易知必介于a，b之間，所以說法(2

20、)正確． 又<＝，所以說法(4)正確． 7．(1，) 解析　∵a3－b3＝a2－b2(a≠b)， ∴a2＋ab＋b2＝a＋b，∴(a＋b)2－ab＝a＋b， ∴ab＝(a＋b)2－(a＋b)，又∵0

21、9．證明　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) ＝(3a2－2b2)(a－b)．(8分) 因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，(10分) 從而(3a2－2b2)(a－b)≥0， 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(12分) 10．證明　因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)， 所以＋＝≥，(3分) 同理可得＋≥，＋≥，(6分) 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，以上三式等號都成立，將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋.(12分) 11．證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，>1，命題成立．(2分) (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即＋＋…＋>.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋>＋>＋(k＋1)＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．(10分) 綜合(1)(2)，得對一切正整數(shù)n，不等式都成立．(12分)