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1、 精品資料 學(xué)案23　正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題． 自主梳理 1．仰角和俯角 與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角．(如圖所示) 2．方位角 一般指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角45，是指北偏東45，即東北方向． 3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示) ①北偏東α即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ②北偏西α即由

2、指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ③南偏西等其他方向角類似． 4．坡角 坡面與水平面的夾角．(如圖所示) 5．坡比 坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝＝tan α(i為坡比，α為坡角)． 6．解題的基本思路 運(yùn)用正、余弦定理處理實(shí)際測量中的距離、高度、角度等問題，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，要解決好，就要把握如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，也就是如何把握一個(gè)抽象、概括的問題，即建立數(shù)學(xué)模型． 自我檢測 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的大小關(guān)系是________． 2．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C

3、的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的________方向． 3．如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是________(填序號(hào))． ①α，a，b；②α，β，a；③a，b，γ；④α，β，b. 4．在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為________m. 5．(2010全國Ⅱ)△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD. 探究點(diǎn)一　與距離有關(guān)的問題 例1　(2010陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方

4、向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？ 變式遷移1　某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D，此時(shí)測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？ 探究點(diǎn)二　與高度有關(guān)的問題 例2　如圖所示，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D

5、，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 變式遷移2　某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高． 探究點(diǎn)三　三角形中的最值問題 例3　(2010江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據(jù)此算出H的值； (2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到

6、電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)，α－β最大？ 變式遷移3　如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值． 一、解三角形的一般步驟 1．分析題意，準(zhǔn)確理解題意． 分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等． 2．根據(jù)題意畫出示意圖． 3．將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余

7、弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解．演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答． 4．檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍． 二、應(yīng)用舉例中常見幾種題型 測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為________． 2．(2011泰州模擬)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為________m.

8、3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為________． 4．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為________． 5．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是________海里/小時(shí)． 6．一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為______k

9、m . 7．(2010臺(tái)州一模)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以________米/秒的速度勻速升旗． 8．線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始________h后，兩車的距離最?。? 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2009遼寧)如圖，A、B、C

10、、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)． 10．(14分)如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里

11、．問乙船每小時(shí)航行多少海里？ 11．(14分)(2009福建)如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120. (1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離； (2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？ 答案 自我檢測 1．α＝β　2.北偏西10　3.①　4. 5．解　由cos∠ADC＝＞0知B＜， 由已知得cos B＝，

12、sin∠ADC＝， 從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝－＝. 由正弦定理得，＝， 所以AD＝＝＝25. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)． 解　由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB中，由正弦定理，得

13、＝， ∴DB＝＝ ＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60， BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos ∠DBC＝300＋1 200－21020＝900，∴CD＝30(海里)， ∴需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． 故救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)． 變式遷移1　解　如圖所示， 易知∠CAD＝25＋35＝60，在△BCD中， cos B＝＝， 所以sin B＝. 在△ABC中，AC＝＝24， 由BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos A， 得AB2－24AB－385＝0， 解得AB＝

14、35，AB＝－11(舍)， 所以AD＝AB－BD＝15. 故此人在D處距A還有15千米． 例2　解題導(dǎo)引　在測量高度時(shí)，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解．注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識(shí)． 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝， 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝. 變式遷移2　解　由題意可知， 在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30，∠DBC＝135， 由正弦定理得， ＝， ∴BD＝＝20. 過B作BE⊥CD于E，顯然當(dāng)人在E處時(shí)，

15、測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30. 在Rt△BED中， 又∵∠BDE＝180－135－30＝15. ∴BE＝DBsin 15＝20＝10(－1)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan 30＝(3－)(米)． 故所求的塔高為(3－)米． 例3　解題導(dǎo)引　平面幾何圖形中研究或求有關(guān)長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題．而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決．在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函數(shù)思想． 解　(1)由AB＝，BD＝

16、，AD＝及AB＋BD＝AD， 得＋＝， 解得H＝＝＝124(m)． 因此，算出的電視塔的高度H是124 m. (2)由題設(shè)知d＝AB，得tan α＝. 由AB＝AD－BD＝－， 得tan β＝. 所以tan(α－β)＝ ＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)d＝， 即d＝＝＝55時(shí)， 上式取等號(hào)，所以當(dāng)d＝55時(shí)，tan(α－β)最大． 因?yàn)?<β<α<，則0<α－β<， 所以當(dāng)d＝55時(shí)，α－β最大． 變式遷移3　解　設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為y， 則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcos θ＝5－4cos θ. ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12

17、sin θ＋(5－4cos θ) ＝2sin(θ－)＋. ∴當(dāng)θ－＝，即θ＝時(shí)，ymax＝2＋. 所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋. 課后練習(xí)區(qū) 1.　2.50　3. 4.或2 解析　如圖所示， 設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝， ∠ABC＝30， 由正弦定理＝， 得∠CAB＝60或120， 當(dāng)∠CAB＝60時(shí)，∠ACB＝90，AB＝2； 當(dāng)∠CAB＝120時(shí)，∠ACB＝30，AB＝. 5．10 解析　如圖， 依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，可得AB＝5，于是這

18、只船的速度是 ＝10(海里/小時(shí))． 6．30 解析　依題意有AB＝154＝60(km)， ∠MAB＝30，∠AMB＝45，在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 7．0.6 解析　在△BCD中，∠BDC＝45，∠CBD＝30， CD＝10， 由正弦定理，得BC＝＝20(米)； 在Rt△ABC中，AB＝BCsin 60＝20＝30(米)． 所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)． 8. 解　如圖所示： 設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t. 因?yàn)锳B＝200，所以BD＝200－80t， 問題就是求

19、DE最小時(shí)t的值． 由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos 60 ＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)50t ＝12900t2－42000t＋40000.∴當(dāng)t＝時(shí)，DE最小． 9．解　在△ACD中，∠DAC＝30， ∠ADC＝60－∠DAC＝30， 所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD＝180－60－60＝60， 所以△ABC≌△CBD， 所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC中，＝， 即AB＝＝，…………………………

20、………………………………(10分) 所以BD＝≈0.33(km)． 故B、D的距離約為0.33 km.……………………………………………………………(14分) 10．解　如圖， 連結(jié)A1B2，由題意知， A1B1＝20，A2B2＝10， A1A2＝30＝10.…………………………………………………………………(2分) 又∵∠B2A2A1＝180－120＝60， ∴△A1A2B2是等邊三角形，………………………………………………………………(6分) ∠B1A1B2＝105－60＝45. ……………………………………………………………(8分) 在△A1B2B1中，由余弦定理

21、得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45 ＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10(海里)．…………………………………………………………………(12分) 因此乙船的速度大小為60＝30(海里/小時(shí))．………………………………(14分) 11．解　方法一　(1)依題意，有A＝2，＝3， 又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.………………………………………………………(3分) 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2sin＝3，∴M(4,3)． 又P(8,0)，∴MP＝＝5.…………………………………………………………(5分) (2)如圖， 連結(jié)MP，在△MNP

22、中，∠MNP＝120，MP＝5. 設(shè)∠PMN＝θ， 則0<θ<60. 由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60－θ)，……………………………………………(8分) ∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60－θ) ＝ ＝sin(θ＋60)．……………………………………………………………………(12分) ∵0<θ<60， ∴當(dāng)θ＝30時(shí)，折線段賽道MNP最長． 即將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí)， 折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分) 方法二　(1)同方法一． (2)連結(jié)MP. 在△MNP中，∠MNP＝120.MP＝5， 由余弦定理得， MN2＋NP2－2MNNPcos∠MNP＝MP2.…………………………………………………(8分) 即MN2＋NP2＋MNNP＝25. 故(MN＋NP)2－25＝MNNP≤2，…………………………………………(10分) 從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤. 當(dāng)且僅當(dāng)MN＝NP時(shí)等號(hào)成立． 即設(shè)計(jì)為MN＝NP時(shí)， 折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分)