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1、 精品資料 學案30　數(shù)列的通項與求和 導學目標： 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題． 自主梳理 1．求數(shù)列的通項 (1)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系： an＝ (2)當已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (3)當已知數(shù)列{an}

2、中，滿足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項an，常利用恒等式an＝a1···…·. (4)作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項． (5)歸納、猜想、證明法． 2．求數(shù)列的前n項的和 (1)公式法 ①等差數(shù)列前n項和Sn＝____________＝________________，推導方法：____________； ②等比數(shù)列前n項和Sn＝ 推導方法：乘公比，錯位相減法． ③常見數(shù)列的前n項和： a．1＋2＋3

3、＋…＋n＝________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________； d．12＋22＋32＋…＋n2＝________； e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________. (2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列． (3)拆項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和． 常見的拆項公式有： ①＝－； ②＝； ③＝－. (4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和． (5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導． 自

4、我檢測 1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項的乘積為Tn＝3n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項的和為________． 2．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q＝________. 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，故bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________. 4．(2010·天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log2 (n∈N*)，設{an}的前n項的和為Sn，則使Sn<－5成立的自然數(shù)n的最小值為________． 5．(2010·北京海淀期

5、末練習)設關于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S100的值為________． 6．數(shù)列1,4，7，10，…前10項的和為________． 探究點一　求通項公式 例1　已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項公式． 變式遷移1　設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 探究點二　裂項相消法求和 例2　已知數(shù)列{an}，Sn是其前n

6、項和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 變式遷移2　求數(shù)列1，，，…，，…的前n項和． 探究點三　錯位相減法求和 例3　已知數(shù)列{an}是首項、公比都為q (q>0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an (n∈N*)． (1)當q＝5時，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn； (2)當q＝時，若bn<bn＋1，求n的最小值． 變式遷移3　求和Sn＝＋＋＋…＋.

7、 分類討論思想 例　(5分)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x，當x∈[n，n＋1](n∈N*)時，f(x)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個數(shù)為g(n)，an＝(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝______________________. 答案　(－1)n－1 解析　當x∈[n，n＋1](n∈N*)時，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域為[n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2. 當n為偶數(shù)時，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[

8、(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－·＝－； 當n為奇數(shù)時，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an ＝Sn－1＋an＝－＋n2＝， ∴Sn＝(－1)n－1. 【突破思維障礙】 在利用并項轉化求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論，但最終的結果卻往往可以用一個公式來表示． 1．求數(shù)列的通項：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項； (2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項來求通項； (3)可化歸為使用累加法、累積法； (4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法； (5)求出數(shù)列的

9、前幾項，然后歸納、猜想、證明． 2．數(shù)列求和的方法： 一般的數(shù)列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數(shù)列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和． 3．求和時應注意的問題： (1)直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程． (2)注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎上或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·廣東)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1且a4與2a7的等差中項為，則S

10、5＝________. 2．有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則＝________. 3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且＝ (n≥2)，則此數(shù)列的第10項為________． 4．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5＝________. 5．(2011·南京模擬)數(shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項和Sn>1 020，那么n的最小值是________． 6．(2010·東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則

11、log4S10＝__________. 7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，則該數(shù)列前26項的和為________． 8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝____________. 二、解答題(共42分) 9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點的橫坐標構成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)設函數(shù)f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成數(shù)列{bn

12、}，試求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 10．(14分)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6. (1)求c的值及數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明＋＋…＋<. 11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1) (n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式bn； (3)若cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 答案 自主梳理

13、1．(4)n＝1或n≥2 自我檢測 1．22　2.　3.15　4.8　5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點． 2．利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值．同時對兩種數(shù)列的性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質，可降低題目的思維難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解． 解　(1)由已知得，解得a2＝2. 設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2， 可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7， 即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝

14、2，q2＝. 由題意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1. (2)由(1)得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數(shù)列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝·ln 2. 故Tn＝ln 2. 變式遷移1　4 解析　設a1，a2，a3，a4的公差為d，則a1＋2d＝4，又0<a1<2，所以1<d<2.易知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，故(1)正確；a2＝a3－d∈(2,3)，所以b2＝2a2>4，故(2)正確；a4＝a3

15、＋d>5，所以b4＝2a4>32，故(3)正確；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正確． 例2　解題導引　這是一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關系式求通項an，觀察Tn特點，求出Tn.由an再求bn從而求Sn，最后利用不等式知識求出m. 解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋， ∴{an}是以為公差的等差數(shù)列． 又a1＝1，∴an＝n＋. (2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－(a2＋a4＋…＋a2n)

16、＝－· ＝－(2n2＋3n)． (3)當n≥2時，bn＝＝ ＝， 又b1＝3＝×，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝× ＝＝， ∵Sn<對一切n∈N*成立． 即<， 又∵＝遞增， 且<.∴≥， 即m≥2 010.∴最小正整數(shù)m＝2 010. 變式遷移2　解　(1)設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q. 依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8. ∴a2＋a4＝20.∴ 解之，得或 又{an}單調(diào)遞增，∴　∴an＝2n. (2)bn＝2n·log2n＝－n

17、3;2n， ∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.① ∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.② ∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2. 由Sn＋(n＋m)an＋1<0， 即2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0對任意正整數(shù)n恒成立， ∴m·2n＋1<2－2n＋1對任意

18、正整數(shù)n，m<－1恒成立． ∵－1>－1，∴m≤－1， 即m的取值范圍是(－∞，－1]． 例3　解　依題意，第1個月月余款為 a1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2個月月底余款為a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300， 依此類推下去，設第n個月月底的余款為an元， 第n＋1個月月底的余款為an＋1元，則an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300. 下面構造一等比數(shù)列． 設＝1.18，則an＋1＋x＝

19、1.18an＋1.18x， ∴an＋1＝1.18an＋0.18x.∴0.18x＝－300. ∴x＝－，即＝1.18. ∴數(shù)列{an－}是一個等比數(shù)列，公比為1.18，首項a1－＝11 500－＝. ∴an－＝×1.18n－1， ∴a12－＝×1.1811， ∴a12＝＋×1.1811≈62 396.6(元)， 即到年底該職工共有資金62 396.6元． 純收入有a12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)． 變式遷移3　解　(1)設中低價房的面積形成的數(shù)列為{an}， 由題意可知{an}是等差數(shù)

20、列，其中a1＝250，d＝50， 則an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200， Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n， 令25n2＋225n≥4 750， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10. ∴到2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米． (2)設新建住房面積形成數(shù)列{bn}， 由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1＝400，q＝1.08， 則bn＝400·(1.08)n－1. 由題意可知an>0.85bn， 即50n＋200>400·(1.08)n－1

21、83;0.85. 當n＝5時，a5<0.85b5， 當n＝6時，a6>0.85b6， ∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6. ∴到2016年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 課后練習區(qū) 1．3＋2　2.②　3.991 4．7 解析　設至少需要n秒鐘，則1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴n≥7. 5．64 解析　依題意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4，a6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32

22、，a11＝1×25＝32，又因為an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 6．3 解析　該題是數(shù)列知識與函數(shù)知識的綜合． an＝5·2n－2－4·n－1＝5·2－， 顯然當n＝2時，an取得最小值，當n＝1時，an取得最大值，此時x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 7．21 解析　y′＝(x2)′＝2x，則過點(ak，a)的切線斜率為2ak，則切線方程為y－a＝2ak(x－ak)， 令y＝0，得－a＝2ak(x－ak)， ∴x＝ak，即ak＋1＝ak. 故{an}是a1＝16，q＝的等比數(shù)列， 即an＝16×()

23、n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 8．107 解析　由數(shù)表知，第一行1個奇數(shù)，第3行3個奇數(shù)，第5行5個奇數(shù)，第61行61個奇數(shù)，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝＝961個奇數(shù)．而2 009是第1 005個奇數(shù)，故應是第63行第44個數(shù)，即i＋j＝63＋44＝107. 9．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.…………………………………………………(1分) a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－； 又數(shù)列{an}成等比數(shù)列，a1＝＝＝－＝－c， ∴c＝1；………………………

24、……………………………………………………………(2分) 公比q＝＝，an＝－×n－1 ＝－2×n，n∈N*；……………………………………………………………………(3分) ∵Sn－Sn－1＝ ＝＋(n>2)，……………………………………………………………………(4分) 又bn>0，>0，∴－＝1. 數(shù)列{}構成一個首項為1、公差為1的等差數(shù)列， ＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.…………………………………………………………(6分) 當n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又當n＝1時，也適合上式， ∴

25、bn＝2n－1，n∈N*.………………………………………………………………………(8分) (2)Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＝.……………………………………………(12分) 由Tn＝>，得n>， ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)為112.…………………………………………………(14分) 10．解　設乙企業(yè)仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)至第n個月所帶來的總收益為An(萬元)，技術改造后生產(chǎn)至第n個月所帶來的總收益為Bn(萬元)．依題意得 An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)] ＝43n－n2，………………………………………………………………………………(5分)

26、 當n≥5時，Bn＝＋ 164(n－5)－400＝81n－594，………………………………………………………(10分) ∴當n≥5時，Bn－An＝n2＋38n－594， 令n2＋38n－594>0，即(n＋19)2>955，解得n≥12， ∴至少經(jīng)過12個月，改造后的乙企業(yè)的累計總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收益．……………………………………………………………………………………………(14分) 11．(1)解　令x＝n，y＝1， 得到f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，…………………………………………………………(2分) ∴{f(n)}是首項為，公

27、比為的等比數(shù)列， 即f(n)＝()n.………………………………………………………………………………(5分) (2)證明　記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∵an＝n·f(n)＝n·()n，……………………………………………………………………(6分) ∴Sn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Sn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 兩式相減得Sn＝＋()2＋…＋()n－n×()n＋1， 整理得Sn＝2－()n－1－n()n<2. ∴a1＋a2＋a3＋…＋an<2.………………………………………………………………(9分) (3)解　∵f(n)＝()n，而bn＝(9－n) ＝(9－n)＝.…………………………………………………………………(11分) 當n≤8時，bn>0；當n＝9時，bn＝0； 當n>9時，bn<0， ∴n＝8或9時，Sn取到最大值．………………………………………………………(14分)