《高考數學二輪復習 考前數學思想領航 一 函數與方程思想講學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學二輪復習 考前數學思想領航 一 函數與方程思想講學案 理（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 一、函數與方程思想 函數思想 方程思想 　　函數思想的實質是拋開所研究對象的非數學特征，用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立各變量之間固有的函數關系，通過函數形式，利用函數的有關性質，使問題得到解決 　　方程思想的實質就是將所求的量設成未知數，根據題中的等量關系，列方程(組)，通過解方程(組)或對方程(組)進行研究，以求得問題的解決 　　函數與方程思想在一定的條件下是可以相互轉化的，是相輔相成的．函數思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求解，研究運動中的等量關系 方法一　點坐標代入函數(方程)法 模型解法 點坐標代入函數(方程)法是指把點“

2、放到”函數圖象中去“入套”，通過構造方程求解參數的方法．此方法適用于已知函數或函數圖象，給出滿足條件的點坐標，求其中的參數問題．破解此類題的關鍵點： ①點代入函數，把所給點坐標代入已知函數的解析式中，得到關于參數的方程或不等式． ②解含參方程，求解關于參數的方程或不等式． ③檢驗得結論，得出參數的值或取值范圍，最后代入方程或不等式進行檢驗． 典例1　函數y＝ax (a>0，且a≠1)的反函數的圖象過點(，a)，則a的值為(　　) A．2 B．3 C．2或 D. 解析　因為函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數為y＝logax(a>0，且a≠1)，且y＝logax的圖象過點

3、(，a)， 所以a＝loga，所以aa＝， 所以a＝，檢驗易知當a＝時，函數有意義．故選D. 答案　D 思維升華　應用此方法的易錯點是忘記檢驗，在解出方程后，一定要回頭望，把所求的解代入原函數中檢驗是否有意義． 跟蹤演練1　函數y＝logax(a>0，且a≠1)的反函數的圖象過點(a，)，則a的值為_____． 答案　 解析　因為函數y＝logax(a>0，且a≠1)的反函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過點(a，)，所以＝aa， 即＝aa，所以a＝.經檢驗知a＝符合要求． 方法二　平面向量問題的函數(方程)法 模型解法 平面向量問題的函數(方程)法是把平面向量問題，

4、通過模、數量積等轉化為關于相應參數的函數(方程)問題，從而利用相關知識結合函數或方程思想來處理有關參數值問題．破解此類題的關鍵點： ①向量代數化，利用平面向量中的模、數量積等結合向量的位置關系、數量積公式等進行代數化，得到含有參數的函數(方程)． ②代數函數(方程)化，利用函數(方程)思想，結合相應的函數(方程)的性質求解問題． ③得出結論，根據條件建立相應的關系式，并得到對應的結論． 典例2　已知a，b，c為平面上的三個向量，又a，b是兩個相互垂直的單位向量，向量c滿足|c|＝3，ca＝2，cb＝1，則對于任意實數x，y，|c－xa－yb|的最小值為______． 解析　由題意可知

5、|a|＝|b|＝1， ab＝0，又|c|＝3，ca＝2，cb＝1， 所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xca－2ycb＋2xyab ＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4， 當且僅當x＝2，y＝1時，|c－xa－yb|＝4， 所以|c－xa－yb|的最小值為2. 答案　2 思維升華　平面向量中含函數(方程)的相關知識，對平面向量的模進行平方處理，把模問題轉化為數量積問題，再利用函數與方程思想來分析與處理，這是解決此類問題一種比較常見的思維方式． 跟蹤演練2　已知e1，e2是平面上兩相互垂直的單位向量，若平面向量b滿足|b|＝

6、2，be1＝1，be2＝1，則對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值為________． 答案　 解析　|b－(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e＋y2e－2xbe1－2ybe2＋2xye1e2＝22＋x2＋y2－2x－2y ＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2， 當且僅當x＝1，y＝1時，|b－(xe1＋ye2)|2取得最小值， 此時|b－(xe1＋ye2)|取得最小值. 方法三　不等式恰成立問題函數(方程)法 模型解法 含參不等式恰成立問題函數(方程)法是指通過構造函數，把恰成立問題轉化為函數的值域問題，從而得到關于參數的方程的方法．破解此類題的關鍵點：

7、①靈活轉化，即“關于x的不等式f(x)g(a)在區(qū)間D上恰成立”轉化為“函數y＝f(x)在D上的值域是(g(a)，＋∞)”． ②求函數值域，利用函數的單調性、導數、圖象等求函數的值域． ③得出結論，列出參數a所滿足的方程，通過解方程，求出a的值． 典例3　關于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立，則a的取值集合為________． 解析　關于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立?函數g(x)＝在上的值域為. 因為g′(x)＝， 令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，x∈，

8、 則φ′(x)＝x(ex－1)． 因為x≥，所以φ′(x)>0， 故φ(x)在上單調遞增， 所以φ(x)≥φ＝－>0. 因此g′(x)>0，故g(x)在上單調遞增， 則g(x)≥g＝＝2－， 所以a－＝2－，解得a＝2， 所以a的取值集合為{2}． 答案　{2} 思維升華　求解此類含參不等式恰成立問題時注意與含參不等式恒成立問題區(qū)分開，含參不等式恰成立問題一般轉化為求函數的值域，得參數的方程；而含參不等式恒成立問題一般轉化為最值問題． 跟蹤演練3　關于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立，則a的取值集合為__________． 答案　{－1,3} 解

9、析　關于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立?函數f(x)＝x＋在(2，＋∞)上的值域為(a2－2a＋1，＋∞)． 由f(x)＝x＋，x∈(2，＋∞)， 可得f′(x)＝1－＝>0， 所以f(x)＝x＋在(2，＋∞)上為單調遞增函數， 所以f(x)>f(2)＝4. 又關于x的不等式x＋>a2－2a＋1在(2，＋∞)上恰成立，所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3. 方法四　解析幾何問題的函數(方程)法 模型解法 解析幾何問題的函數(方程)法是解決解析幾何問題中比較常見的一種方法，通過函數(方程)法把解析幾何問題代數化，利用函數或方程進行求解，其關鍵是

10、根據題意，構造恰當的函數或建立相應的方程解決問題．破解此類題的關鍵點： ①代數化，把直線、圓、圓錐曲線以及直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系等轉化為代數問題，構造函數解析式或方程． ②函數(方程)應用，利用函數的相關性質或方程思想來求解含有參數的解析幾何問題． ③得出結論，結合解析幾何中的限制條件和函數(方程)的結論得出最終結論． 典例4　已知直線l過定點S(4,0)，與＋＝1(x≠2)交于P，Q兩點，點P關于x軸的對稱點為P′，連接P′Q交x軸于點T，當△PQT的面積最大時，直線l的方程為_____． 解析　設直線l的方程為x＝ky＋4(k≠0)， 聯立 消去x得(3k2＋4)

11、y2＋24ky＋36＝0， Δ＝576k2－436(3k2＋4)＝144(k2－4)>0，即k2>4. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P′(x1，－y1)． 由根與系數的關系，得 直線P′Q的方程為y＝(x－x1)－y1， 令y＝0，得x＝ ＝ ＝， 將①②代入上式得x＝1， 即T(1,0)，所以|ST|＝3， 所以S△PQT＝|S△STQ－S△STP| ＝|ST||y1－y2|＝ ＝ ＝＝ ＝≤， 當且僅當k2＝，即k＝時取等號． 故所求直線l的方程為x＝y(tǒng)＋4或x＝－y＋4. 答案　x＝y(tǒng)＋4或x＝－y＋4 思維升華　直線與圓錐曲線的綜合問

12、題，通常借助根的判別式和根與系數的關系進行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應用．解析幾何問題的方程(函數)法可以拓展解決解析幾何問題的思維，通過代數運算、方程判定等解決解析幾何中的位置關系、參數取值等問題． 跟蹤演練4　橢圓C1：＋＝1和圓C2：x2＋(y＋1)2＝r2 (r>0)，若兩條曲線沒有公共點，則r的取值范圍是______________． 答案　(0,1)∪ 解析　方法一　聯立C1和C2的方程，消去x， 得到關于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0， ① 方程①可變形為r2＝－y2＋2y＋10， 把r2＝－y2＋2y＋10看作關于y的函數． 由橢圓C1可知，－2≤

13、y≤2， 因此，求使圓C2與橢圓C1有公共點的r的集合，等價于在定義域為y∈[－2,2]的情況下，求函數r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域． 由f(－2)＝1，f(2)＝9，f＝， 可得f(y)的值域是r2∈，即r∈， 它的補集就是圓C2與橢圓C1沒有公共點的r的集合，因此，兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是(0,1)∪. 方法二　聯立C1和C2的方程消去x，得到關于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0.① 兩條曲線沒有公共點，等價于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么沒有實數根，要么有兩個根y1，y2?[－2,2]． 若沒有實數根，則Δ＝4－4(10－r2)<0， 解得r>或r<－. 若兩個根y1，y2?[－2,2]，設φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其圖象的對稱軸方程為y＝∈[－2,2]． 則又r>0，解得0