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1、 精品資料 第5章　解三角形與平面向量 學(xué)案22　正弦定理和余弦定理 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． 自主梳理 1．三角形的有關(guān)性質(zhì) (1)在△ABC中，A＋B＋C＝____； (2)a＋b____c，a－b<c； (3)a>b?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面積公式：S△ABC＝ah＝absin C ＝acsin B＝____________________； (5

2、)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或______________?三角形為等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos . 2．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ________________＝2R a2＝____________， b2＝____________， c2＝____________ 變形 形式 ①a＝________， b＝________， c＝________； ②sin A＝________， sin B＝________， sin C＝________； ③a∶b∶c＝_

3、_______； ④＝ cos A＝____________________； cos B＝____________________； cos C＝____________________ 解決 的問題 ①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊． ②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角． ①已知三邊，求各角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角. 自我檢測 1．(2010·上海改編)若△ABC的三個內(nèi)角滿足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，則a∶b∶c＝________. 2．(2010·天津改編)在△ABC

4、中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A＝________. 3．(2010·煙臺一模)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面積為，則邊a的值為________． 4．(2010·山東)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________． 5．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 探究點(diǎn)一　正弦定理的應(yīng)用 例1　(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求

5、角A、C和邊c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求邊b和c. 變式遷移1　(1)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，則AB＝________； (2)在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，則B＝________. 探究點(diǎn)二　余弦定理的應(yīng)用 例2　已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大?。? (2)若c＝3a，求tan A的值． 變式遷移2　在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，B＝，b＝，a＋c

6、＝4，求a. 探究點(diǎn)三　正余弦定理的綜合應(yīng)用 例3　在△ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷該三角形的形狀． 變式遷移3　(2010·天津)在△ABC中，＝. (1)證明：B＝C； (2)若cos A＝－，求sin的值． 1．解斜三角形可以看成是三角變換的延續(xù)和應(yīng)用，用到三角變換的基本方法，同時它是對正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊

7、和角時，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍． 3．在解三角形中的三角變換問題時，要注意兩點(diǎn)：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法．“化繁為簡”“化異為同”是解此類問題的突破口． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·湖北改編)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B＝________. 2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則·＝________. 3．在△ABC中，sin2＝(a，

8、b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為________． 4．(2011·蘇州調(diào)研)在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為________． 5．(2010·湖南改編)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，c＝a，則a，b的大小關(guān)系為________． 6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀為______________． 7．(2010·廣東)已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則si

9、n C＝________. 8．(2010·福建龍巖高三一模)在銳角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，則∠BAC的大小為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos＝，·＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值． 10．(14分)(2010·陜西)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 11．(

10、14分)(2010·重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sin A的值； (2)求的值． 答案 自主梳理 1．(1)π　(2)>　(3)>　>　(4)bcsin A　(5)A＋B＝　2.＝＝　b2＋c2－2bccos A　a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C　2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C 　　　sin A∶sin B∶sin C　　　 自我檢測 1．5∶11∶13　2.30°　3.　4. 5．1 解析　方法一　由正弦

11、定理，有＝， ∴sin B＝.∵C為鈍角，∴B必為銳角，∴B＝， ∴A＝.∴a＝b＝1. 方法二　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得， 3＝a2＋a＋1，即a2＋a－2＝0， 解得a＝1，a＝－2(舍去)． 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對解的情況進(jìn)行判斷，這類問題往往有一解、兩解、無解三種情況．具體判斷方法如下：在△ABC中，已知a、b和A，求B.若A為銳角，①當(dāng)a≥b時，有一解；②當(dāng)a＝bsin A時，有一解；③當(dāng)bsin A<a<b時，有兩解；④當(dāng)a<bsin A時，無解．若

12、A為直角或鈍角，①當(dāng)a>b時，有一解；②當(dāng)a≤b時，無解． 解　(1)由正弦定理＝得，sin A＝. ∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°. 當(dāng)A＝60°時，C＝180°－45°－60°＝75°， c＝＝； 當(dāng)A＝120°時，C＝180°－45°－120°＝15°， c＝＝. 綜上，A＝60°，C＝75°，c＝， 或A＝120°，C＝15°，c＝. (2)∵B＝60°，C＝75&#

13、176;，∴A＝45°. 由正弦定理＝＝， 得b＝＝4，c＝＝4＋4. ∴b＝4，c＝4＋4. 變式遷移1　(1)　(2)60°或120° 解析　(1)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°， ∴A為銳角，∴sin A＝.又∵BC＝1. ∴根據(jù)正弦定理得AB＝＝. (2)由b>a，得B>A，由＝， 得sin B＝＝×＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°. 例2　解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac， ∴cos B＝＝.∵0<B<

14、;π，∴B＝. (2)方法一　將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a. 由余弦定理，得cos A＝＝. ∵0<A<π，∴sin A＝＝， ∴tan A＝＝. 方法二　將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac， 得b＝a.由正弦定理，得sin B＝sin A. 由(1)知，B＝，∴sin A＝. 又b＝a>a，∴B>A， ∴cos A＝＝.∴tan A＝＝. 方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A. ∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A， ∴sin(－A)＝3sin A， ∴sincos A－cossin A＝3sin A，

15、 ∴cos A＋sin A＝3sin A， ∴5sin A＝cos A，∴tan A＝＝. 變式遷移2　解　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac. 又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3， 聯(lián)立，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1. ∴a等于1或3. 例3　解題導(dǎo)引　利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系． 解　方法一　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B) ?a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]

16、， ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A， 由正弦定理，得sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A， ∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0， ∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π， 得2A＝2B或2A＝π－2B， 即△ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二　同方法一可得2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A， 由正、余弦定理，即得 a2b×＝b2a×， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

17、即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴三角形為等腰三角形或直角三角形． 變式遷移3　(1)證明　在△ABC中，由正弦定理及已知得 ＝.于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0.因?yàn)椋?lt;B－C<π，從而B－C＝0. 所以B＝C. (2)解　由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B， 故cos 2B＝－cos(π－2B)＝－cos A＝. 又0<2B<π，于是sin 2B＝＝. 從而sin 4B＝2sin 2Bcos 2B＝， cos 4B＝cos22B－sin22B＝－. 所以s

18、in＝sin 4Bcos ＋cos 4Bsin ＝. 課后練習(xí)區(qū) 1. 解析　根據(jù)正弦定理＝， 可得＝，解得sin B＝， 又因?yàn)閎<a，則B<A，故B為銳角， 所以cos B＝＝. 2. 解析　由余弦定理得，cos A＝＝＝，∴·＝3×2×＝. 3．直角三角形 解析　∵sin2＝＝， ∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理， 即△ABC為直角三角形． 4．45° 解析　∵BC>AC，∴A>B，所以角B是銳角， 由正弦定理得，＝， 即sin B＝＝＝，所以B＝45°. 5．

19、a>b 解析　因?yàn)镃＝120°，c＝a， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C,2a2＝a2＋b2－2ab. 所以a2－b2＝ab，a－b＝，因?yàn)閍>0，b>0， 所以a－b＝>0，所以a>b. 6．等邊三角形 解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B，∴ac＝a2＋c2－ac， ∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°， ∴△ABC為等邊三角形． 7．1 解析　由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°知，B＝60°. 由正弦定理知，＝，即sin A＝. 由a<b知，A<B，∴A＝30&

20、#176;， C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°， ∴sin C＝sin 90°＝1. 8. 解析　設(shè)∠BAD＝α，∠DAC＝β， 則tan α＝，tan β＝， ∴tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1. ∴∠BAC的大小為. 9．解　(1)因?yàn)閏os＝， 所以cos A＝2cos2－1＝，sin A＝.……………………………………………………(5分) 又由·＝3得bccos A＝3，所以bc＝5， 因此S△ABC＝bcsin A＝2.…………………………………………………………

21、………(9分) (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝20，所以a＝2.………(14分) 10．解　在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得， cos∠ADC＝ ＝＝－，…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD中，AD＝10，B＝45°， ∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝ ＝＝5.…………………………………………………………………………(14分) 11．解　(1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc， ∴b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得，cos A＝＝，……………………………………………(4分) 又0<A<π，故sin A＝＝.……………………………………………………(6分) (2)原式＝………………………………………………………(8分) ＝＝………………(11分) ＝＝－. 所以＝－.……………………………………………………(14分)