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1、 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷） 數(shù)學(xué)（理科） 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的. （1） 已知集合A=，則 (A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 解析：,答案選(C) (2) 若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 (A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(A) （3）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像 (A)向左平移個單位 (B) 向右平移個單位 (C)向左平移個單位

2、 (D) 向右平移個單位 解析：，只需將函數(shù)的圖像向右平移個單位答案選(B) (4)已知菱形ABCD的邊長為，，則 (A) (B) (C) (D) 解析：由菱形ABCD的邊長為，可知， ，答案選(D) （5）不等式的解集是 (A) (B) (C) (D) 解析：當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，解得，則；當(dāng)時，不成立.綜上，答案選(A) （6）已知滿足約束條件若的最大值為4，則 (A) (B) (C) (D) 解析：由得，借助圖形可知：當(dāng)，即時在時有最大值0

3、，不符合題意；當(dāng)，即時在時有最大值，不滿足；當(dāng)，即時在時有最大值，不滿足；當(dāng)，即時在時有最大值，滿足；答案選(B) 7.在梯形中，,,.將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 (A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(C) 8.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為 （附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則, .） (A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(B) （9）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光

4、線所在的直線的斜率為 (A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 解析：關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)反射光線所在直線為即，則，解得或，答案選(D) （10）設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 解析：由可知，則或，解得，答案選(C) 二、 填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分. （11）觀察下列各式： 照此規(guī)律，當(dāng)時， . 解析：.具體證明過程可以是： （12）若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為 . 解析：“”是真

5、命題，則，于是實數(shù)的最小值為1. 是 否 開始 n=1，T=1 n<3 n=n+1 輸出T 結(jié)束 （13）執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為 . 解析：. （14）已知函數(shù)的定義域 和值域都是，則 . 解析：當(dāng)時，無解； 當(dāng)時，解得， 則. (15)平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為 . 解析：的漸近線為，則 的焦點(diǎn)，則，即 3、 解答題：本大題共6小題，共75分. （16） （本小題滿分12分）設(shè) （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為若求面積

6、的最大值. 解：（Ⅰ）由 由得， 則的遞增區(qū)間為； 由得， 則的遞增區(qū)間為. （Ⅱ）在銳角中，,,而 F D E A G B H C 由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，， 故面積的最大值為. （17） （本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中， 分別為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； T F D E A G B H C （Ⅱ）若平面, 求平面與平面所成角（銳角）的大小. 解：（Ⅰ）證明：連接DG，DC，設(shè)DC與GF交于點(diǎn)T. 在三棱臺中，則 而G是AC的中點(diǎn)，DF//AC，則, 所以四邊形是平行四邊形,T是DC的中點(diǎn)，DG//F

7、C. 又在,H是BC的中點(diǎn)，則TH//DB， z x y F D E A G B H C 又平面，平面，故平面； （Ⅱ）由平面,可得平面而 則,于是兩兩垂直， 以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè),則, ， 則平面的一個法向量為， 設(shè)平面的法向量為，則,即， 取，則，， ，故平面與平面所成角（銳角）的大小為. （18） （本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和. 解：（Ⅰ）由可得， 而，則 （Ⅱ）由及可得 . 19（本小題滿分

8、12分）若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）. 在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分. （Ⅰ）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”； （Ⅱ）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X的所有取值為-1,0,1. 甲得

9、分X的分布列為： X 0 -1 1 P (20) (本小題滿分13分)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C上. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓，P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q. （ⅰ）求的值；（ⅱ）求面積最大值. 解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為可知，而則，左、右焦點(diǎn)分別是, 圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點(diǎn)，在橢圓C上，則， 整理得，解得（舍去） 故橢圓C的方程為. （Ⅱ）（?。E圓E的方程為， 設(shè)點(diǎn)，滿足，

10、射線， 代入可得點(diǎn)，于是. （ⅱ）點(diǎn)到直線距離等于原點(diǎn)O到直線距離的3倍： ，得，整理得 ，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪? 而直線與橢圓C：有交點(diǎn)P，則 有解，即有解， 其判別式，即，則上述不成立，等號不成立， 設(shè)，則在為增函數(shù)， 于是當(dāng)時，故面積最大值為12. （21） （本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中. （Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由； （Ⅱ）若，成立，求的取值范圍. 解：（Ⅰ），定義域為 ， 設(shè)， 當(dāng)時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn). 當(dāng)時，， 若時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn). 若時，設(shè)的兩個不相等的實數(shù)根，且， 且，而，則， 所以當(dāng)

11、單調(diào)遞增； 當(dāng)單調(diào)遞減； 當(dāng)單調(diào)遞增. 因此此時函數(shù)有兩個極值點(diǎn)； 當(dāng)時，但，， 所以當(dāng)單調(diào)遞増； 當(dāng)單調(diào)遞減. 所以函數(shù)只有一個極值點(diǎn)。 綜上可知當(dāng)時的無極值點(diǎn)；當(dāng)時有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，的有兩個極值點(diǎn). （Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時在單調(diào)遞增，而， 則當(dāng)時，，符合題意； 當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，而， 則當(dāng)時，，符合題意； 當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而， 則當(dāng)時，，不符合題意； 當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時， 于是，當(dāng)時， 此時，不符合題意. 綜上所述，的取值范圍是. 另解：（Ⅰ），定義域為 ， 當(dāng)時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn). 設(shè)

12、， 當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù). 若，即時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn). 若，即或， 而當(dāng)時此時方程在只有一個實數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點(diǎn)； 當(dāng)時方程在都有兩個不相等的實數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點(diǎn)； 綜上可知當(dāng)時的極值點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)時的極值點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)時，的極值點(diǎn)個數(shù)為2. （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，都有成立. 即 當(dāng)時，恒成立； 當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，；由均有成立。 故當(dāng)時，，，則只需； 當(dāng)時，，則需，即.綜上可知對于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是. 另解：設(shè)函數(shù)，，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可， 于是只需，成立， 當(dāng)時，令，， 則；當(dāng)時；當(dāng)，， 令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則,于是. 又當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而， 則當(dāng)時，，不符合題意； 當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時， 于是，當(dāng)時， 此時，不符合題意. 綜上所述，的取值范圍是. 評析：求解此類問題往往從三個角度求解：一是直接求解，通過對參數(shù)的討論來研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步確定參數(shù)的取值范圍；二是分離參數(shù)法，求相應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍以達(dá)到解決問題的目的；三是憑借函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，然后對參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗證其不符合題意，即可確定所求.