《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 考點專練6導(dǎo)數(shù)、定積分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 考點專練6導(dǎo)數(shù)、定積分（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 考點6 導(dǎo)數(shù)、定積分 1.（20xx ·海南高考理科·T3）曲線在點處的切線方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導(dǎo)數(shù)的運算法則進行求解. 【思路點撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程. 【規(guī)范解答】選A.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A. 2.（20xx·山東高考文科·Ｔ8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ）

2、(A) 13萬件 (B) 11萬件 (C) 9萬件 (D) 7萬件 【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力. 【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】選C.,令得或（舍去），當(dāng)時；當(dāng)時， 故當(dāng)時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C. 3.（20xx·山東高考理科·Ｔ7）由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（ ） （A） (B) (C) (D)

3、 【命題立意】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積,考查了考生的想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】先求出曲線y=,y=的交點坐標(biāo)，再利用定積分求面積. 【規(guī)范解答】選A.由題意得: 曲線y=,y=的交點坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)，故所求封閉圖形的面積為,故選A. 4.（20xx·遼寧高考理科·Ｔ10）已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ） (A)[0,) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與

4、斜率. 【思路點撥】先求導(dǎo)數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求的范圍. 【規(guī)范解答】選D. ，，，，，，，，，，，，，，， 5.（20xx·湖南高考理科·Ｔ4）等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】考查積分的概念和基本運算. 【思路點撥】記住的原函數(shù). 【規(guī)范解答】選D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 【方法技巧】關(guān)鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù). 6.（20xx·江蘇高考·Ｔ8）函數(shù)y=x2(x&g

5、t;0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo) 為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是___________. 【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內(nèi)容. 【思路點撥】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標(biāo). 【規(guī)范解答】由y=x2(x>0)得，， 所以函數(shù)y=x2(x>0)在點(ak,ak2)處的切線方程為： 當(dāng)時，解得， 所以. 【答案】21 7.（20xx·江蘇高考·Ｔ１

6、4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是____ ____. 【命題立意】 本題考查函數(shù)中的建模在實際問題中的應(yīng)用，以及等價轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】可設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，然后用分別表示梯形的周長和面積，從而將S用x表示出來，利用函數(shù)的觀點解決. 【規(guī)范解答】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為， 則： 方法一：利用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值. ， ， 當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增； 故當(dāng)時，S取最小值是. 方法二：利用函數(shù)的方法求最小值 令，則： 故當(dāng)時，S取最小值是. 【答案】 【方法技巧】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一

7、，高考不但在填空題中考查，還會在應(yīng)用題、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合解答題中考查.高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法. 8.（20xx·陜西高考理科·Ｔ１3）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M（x,y）,則點M取自陰影部分的概率為 . 【命題立意】本題考查積分、幾何概型概率的簡單運算，屬送分題. 【思路點撥】由積分求出陰影部分的面積即可求解. 【規(guī)范解答】陰影部分的面積為所以點M取自陰影部分的概率為. 【答案】 9．（20xx ·海南高考理科·T13）設(shè)y=f(x)為

8、區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù),…,和,…,,由此得到N個點（i=1,2,…,N）,再數(shù)出其中滿足（i=1,2,…,N）的點數(shù)，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為 . 【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計算公式. 【思路點撥】由隨機模擬想到幾何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進行求解. 【規(guī)范解答】由題意可知，所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個邊長為1的正方形，而滿足≤的點落在y=f(x)、以及、圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計算公式可知的

9、近似值為. 【答案】 10.（20xx·北京高考理科·Ｔ１8）已知函數(shù)()=ln(1+)-+， (≥0). (1)當(dāng)=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程； (2)求()的單調(diào)區(qū)間. 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間.解決本題時一個易錯點是忽視定義域. 【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間. 【規(guī)范解答】（1）當(dāng)時，， 由于，， 所以曲線在點處的切線方程為 , 即 . （2），.

10、當(dāng)時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時，由，得，， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是. 當(dāng)時，，得，. 所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 【方法技巧】 （1）過的切線方程為. （2）求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論的正負(fù). 11.（20xx·安徽高考文科·Ｔ20）設(shè)函數(shù)，，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查考生運算 能力、綜合分

11、析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力. 【思路點撥】對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)的符號情況，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值. 【規(guī)范解答】, + - 0 + 極大值 極小值 , . 【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決函數(shù)單調(diào)性、極值問題的常用方法， 簡單易行，具體操作流程如下： （1）求導(dǎo)數(shù)； （2）求方程的全部實根； （3）列表，檢查在方程的根左、右的值的符號； （4）判斷單調(diào)區(qū)間和極值. 12.（20xx·北京高考文科·Ｔ１8） 設(shè)函數(shù)，，且方程的兩個根分別為1，4. （1）當(dāng)a=3且曲

12、線過原點時，求的解析式； （2）若在無極值點，求a的取值范圍. 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識. 【思路點撥】(1)由的兩個根及過原點，可解出； （2）是開口向上的二次函數(shù)，無極值點，則恒成立. 【規(guī)范解答】由 得 , 因為的兩個根分別為1,4，所以（*） （1）當(dāng)時，（*）式為 解得, 又因為曲線過原點，所以, 故. （2）由于a>0,所以在（-∞，+∞）內(nèi)無極值點等價于在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立. 由（*）式得. 又, 解 得 即的取值范圍為 【方法技巧】（1）當(dāng)在的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)時，為極大值點；當(dāng)在的左側(cè)為負(fù)

13、，右側(cè)為正時，為極小值點. （2）二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決. （ɑ≠0）恒大于0，則；（ɑ≠0）恒小于0，則； 13.（20xx·安徽高考理科·Ｔ17）設(shè)為實數(shù)，函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)且時，. 【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明不等式， 考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力. 【思路點撥】(1)先分析的導(dǎo)數(shù)的符號情況，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值； (2) 設(shè)，把問題轉(zhuǎn)化為：求證：當(dāng)且時，. 【規(guī)范解答】（1），, 令，得，

14、 極小值 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，取得極小值為. （2）設(shè)，, 由（1）問可知，恒成立， 當(dāng)時，則0恒成立，所以在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，， 即當(dāng)且時，. 【方法技巧】1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)單調(diào)性問題的常用方法，簡單易行； 2、證明不等式問題，如證，通常令，轉(zhuǎn)化為證明：. 14.（20xx·天津高考文科·Ｔ20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程； （2）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍. 【命題立意

15、】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法. 【思路點撥】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值. 【規(guī)范解答】（1）當(dāng)a=1時，f（x）=，f（2）=3；f′(x)=, f′(2)=6. 所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9. （2）f′(x)=.令f′(x)=0，解得x=0或x=. 以下分兩種情況討論： 若，當(dāng)x變化時，f′(x)，f（x）的變化情況如下表： x 0 f′(x) + 0 - f(x) 極大值

16、 當(dāng)?shù)葍r于 解不等式組得-5<a<5.因此. 若a>2，則.當(dāng)x變化時，f′(x),f（x）的變化情況如下表： x 0 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 當(dāng)時，f（x）>0等價于即 解不等式組得或.因此2<a<5. 綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5. 15.（20xx·山東高考文科·Ｔ21）已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； （2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性. 【命題立意】本題主要考查導(dǎo)

17、數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想. 【思路點撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇. 【規(guī)范解答】（1） 當(dāng) 所以 , 因此， ,即曲線 又 所以曲線 （2）因為,所以 , ,令 當(dāng)時，所以 當(dāng)時，>0，此時，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，<0，此時，函數(shù)單調(diào)遞增. 當(dāng)時，由， 即 ，解得. ① 當(dāng)時， ， 恒成立，此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減; ② 當(dāng)時， ， 時，,此時,函數(shù)單

18、調(diào)遞減， 時，<0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增， 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減， ③ 當(dāng)時，由于, 時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減， 時，<0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增. 綜上所述： 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù) 在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在上單調(diào)遞減. 【方法技巧】1、分類討論的原因 (1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出； (2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)等； (3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問

19、題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變； (4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能. 2、分類討論的原則 (1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)； (2)對討論對象分類時要不重復(fù)、不遺漏； (3)當(dāng)討論的對象不止一種時，應(yīng)分層次進行. 3、分類討論的一般步驟 (1)明確討論對象，確定對象的范圍； (2)確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進行合理分類，做到不重不漏； (3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果； (4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論. 16. （20xx·陜西高考文科·Ｔ2１）已知函數(shù) （1）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線

20、，求的值及該切線的方程； （2）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時，求其最小值的解析式； （3）對（2）中的，證明：當(dāng)時， 【命題立意】本題將導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】曲線與在交點處有相同的切線交點坐標(biāo)的值及該切線的方程；利用導(dǎo)數(shù)法求的最小值的解析式利用單調(diào)性證明（3）. 【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點的坐標(biāo)為（e2,e），切線的斜率為 所以切線的方程為 （2）由已知條件知 ①當(dāng)>0時，令,解得

21、=, 所以當(dāng)0 < < 時，，h(x)在（0，）上遞減； 當(dāng)x>時，，在上遞增. 所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點. ②當(dāng)a ≤ 0時，在（0，+∞）遞增，無最小值. 故 （3）由（2）知 由 由 所以 所以 又 所以當(dāng)時， 17.（20xx·陜西高考理科·Ｔ2１）已知函數(shù) （1）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程； （2）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時，求其最小值的解析式； （3）對（2）中的和任意的，證明： 【命題立意】本題將

22、導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】曲線與在交點處有相同的切線交點坐標(biāo)的值及該切線的方程；由利用導(dǎo)數(shù)法求的最小值的解析式利用基本不等式證明（3）. 【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點的坐標(biāo)為（e2,e），切線的斜率為 所以切線的方程為 （2）由已知條件知 ①當(dāng)>0時，令,解得=, 所以當(dāng)0 < < 時，，h(x)在（0，）上遞減； 當(dāng)x>時，，在上遞增. 所以x=是在（0， +∞

23、 ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點. ②當(dāng)a≤0時，在（0，+∞）遞增，無最小值. 故 （3）由（2）知 綜上可得： 【方法技巧】不等式的證明方法 1．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點． 2．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入

24、手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析法綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的． 18.（20xx·湖南高考理科·Ｔ4）已知函數(shù)對任意的，恒有. （1）證明：當(dāng)時，； （2）若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值. 【命題立意】以二次函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)，不等式的證明，消元等知識.考查了等價轉(zhuǎn)化的思想. 【思路點撥】（1）在對任意的，恒有下可以得到b,c的關(guān)系，目標(biāo)是證明當(dāng)時，，其實是尋找條件和目標(biāo)的關(guān)系，連接的紐帶是b和c的關(guān)系.（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最

25、值，而且是二元函數(shù)的最值的求法，沒有等式的條件下常常用整體消元. 【規(guī)范解答】（1）易知f′(x)=2x+b.由題設(shè)，對任意的x恒成立，所以(b-2)2-4(c-b)≤0,從而c≥ 于是c≥1，且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0. 故當(dāng)x≥0時，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0. 即當(dāng)x≥0時，. (2)由（1）知，c＞|b|時，有M≥ 當(dāng)c=|b|時，由（1）知，b=±2,c=2.此時f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0, 從而f(c)-f(b)≤0，M無最小值.綜上所述，M的最小值為. 【方法技巧】求最值是高

26、考中重點也是難點.解題的思路是，首先看變量的個數(shù)，如果是三個變量常有三條路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為二元再轉(zhuǎn)化為一元，三是有時利用幾何背景解題.如果是兩個變量常常有三條路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，三是如果條件是不等式，常常也可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃.如果是一個變量，常用方法：基本函數(shù)模型，單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法. 19.（20xx·遼寧高考文科·Ｔ21） 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)a≤-2，證明：對任意x1,x2(0,+∞)，|f(x1)-f(x2

27、)|≥4|x1-x2|. 【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運算推理能力. 【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性， （2）轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,通過g(x)的單調(diào)性證明. 【規(guī)范解答】 【方法技巧】1.討論函數(shù)的單調(diào)性要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏. 2、直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題. 20.（20xx·遼寧高考理科·Ｔ21）已知函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （

28、2）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍. 【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運算能力. 【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性， （2）轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,分離參數(shù)，求a的范圍. 【規(guī)范解答】 【方法技巧】 討論函數(shù)的單調(diào)性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏. 求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0等. 直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題. 21.（20x

29、x·天津高考理科·Ｔ2１）已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時，. （3）如果，且，證明. 【命題立意】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力. 【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題. 【規(guī)范解答】（1）f′，令f′(x)=0,解得x=1， 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表 x () 1 () f′(x) + 0 - f(x) 極大值 所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù).

30、 函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=. （2）由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x), 令F(x)=f(x)-g(x),即, 于是, 當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而′(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù). 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (3)① 若 ②若 根據(jù)①②得 由（2）可知，>,又=，所以>,從而>.因為，所以，又由（1）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以>,即>2. 22.（20xx·江蘇高考

31、83;Ｔ20）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì). (1)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù). (i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定設(shè)為實數(shù)， ，，且， 若||<||，求的取值范圍. 【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力. 【思路點撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意. (2)利用(1)的結(jié)論求解. 【規(guī)范解答】 （1）(i)， ∵時，恒成立， ∴函數(shù)具有性

32、質(zhì). (ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同. 當(dāng)時，，，故此時在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當(dāng)x>1時，所以此時在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增. 綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，在上遞減；在上遞增. （方法二）當(dāng)時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而, 當(dāng)時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增. 綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上遞增；

33、 當(dāng)時，在上遞減；在上遞增. (2)（方法一）由題意，得： 又對任意的都有>0， 所以對任意的都有，在上遞增. 又. 當(dāng)時，，且， 若，∴，（不合題意）. 綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）. （方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立.所以，當(dāng)時，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增. ①當(dāng)時，有， ，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、， 從而有||<||，符合題設(shè). ②當(dāng)時，， ，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設(shè)不符. ③當(dāng)時，同理可得，進而得||≥||，與題設(shè)不符. 因此綜合①、②、③得所

34、求的的取值范圍是（0，1） 23.（20xx·浙江高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)（-b）<b). （1）當(dāng)a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程. （2）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，， 證明：存在實數(shù)，使得 按某種順序排列后得等差數(shù)列，并求 【命題立意】本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】（1）先求出再代入點斜式方程；（2）先找到，觀察它們之間的關(guān)系，從而確定在等差數(shù)列中的位置. 【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1,b=2時，, 因為(x)=(x

35、-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0, 所以f(x)在點（2,0）處的切線方程為y=x-2. （2）因為（x）＝3（x－a）（x－），由于a<b.故a<. 所以f（x）的兩個極值點為x＝a,x＝. 不妨設(shè)x1＝a，x2＝， 因為x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零點， 故x3＝b. 又因為－a＝2（b－），所以成等差數(shù)列. 所以4＝（a＋）＝， 所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4＝. 【方法技巧】（1）函數(shù)在處的切線方程為； （2）在函數(shù)的極值點處. 24.（20xx·廣東高考文科·Ｔ21）已知曲線，點是曲線上

36、的點. （1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標(biāo)； （2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求點的坐標(biāo)； （3）設(shè)與為兩個給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點的坐標(biāo)， 證明：. 【命題立意】本題為一道綜合題，主要考查解析幾何、導(dǎo)數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用. 【思路點撥】(1)利用導(dǎo)數(shù)求解；（2）利用不等式的性質(zhì)求解；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【規(guī)范解答】（1） ， ， 切線的方程為：， 即：， 令，得 ， . （2）設(shè)原點到的距離為，則 ， , 所以 ，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時，

37、所以， . （3） 要證成立， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立. 當(dāng)時，左邊=1，右邊，不等式成立. 假設(shè)時，不等式成立，即成立, 當(dāng)時， ， , 當(dāng)時，有成立， 綜上，成立， 又 、，且 < , 所以，原不等式成立. 25.（20xx·浙江高考理科·Ｔ22）已知是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù)，，是的一個極大值點． (1)求的取值范圍； (2)設(shè)是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由． 【命題立意】本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運

38、算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】（1）利用函數(shù)取得極大值的條件，求的范圍；（2）可先求出，利用等差 數(shù)列的相關(guān)知識來求.由于的排列有多種情況，因此要注意討論. 【規(guī)范解答】（1）f′(x)=ex(x-a) 令 于是，假設(shè) ①當(dāng)x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意. ②當(dāng)x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1<a<x2. 即，即 所以，所以的取值范圍是. （2）由（1）可知，假設(shè)存在及滿足題意，解方程得 ，. ①當(dāng)時，則或，于是，

39、 即.此時 或-. ②當(dāng)或時， (i)若，則， 于是，即，于是或（舍）. 此時. ②若，則， 于是（舍）或. 此時， 綜上所述，存在b滿足題意， 當(dāng)b=-a-3時， ； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，. 【方法技巧】1、函數(shù)在處取得極大值的條件是，在的左側(cè)，在的右側(cè)； 2、由于本題的的3個極值點間存在關(guān)系x1<a<x2，，所以可能有四種情況：或或或.討論時要做到不重不漏. 26.（20xx·福建高考文科·Ｔ22）已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2. (1)求實數(shù)a,b的值； (2)設(shè)g（x）=f(

40、x)+是[]上的增函數(shù). ①求實數(shù)m的最大值； ②當(dāng)m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合的思想. 【思路點撥】第一步利用切線方程列出兩個方程求解a,b的值；第二步（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，把單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進而轉(zhuǎn)化為求最值的問題進行解決；（2）利用函數(shù)圖像的中心對稱，得兩個封閉圖形的面積總是相等的.

41、【規(guī)范解答】(1)由，及題設(shè)得 （2）①由得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，設(shè)，，，即不等式在上恒成立. 當(dāng)時，不等式在上恒成立； 當(dāng)時，不等式，，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；因此，，又，故， 綜上所述，m的最大值為3； ②由①得，其圖像關(guān)于點成中心對稱. 證明如下：， 因此，上式表明，若點為函數(shù)的圖像上的任意一點，則點也一定在函數(shù)的圖像上，而線段的中點恒為，由此即知函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱. 這也表明，存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉的圖形，則這兩個封閉的圖形的面積總相等. 【方法技巧】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷年高考中主要集中在切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算，利用函數(shù)

42、判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，以及與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相聯(lián)系的綜合題目，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用. 27.（20xx·山東高考理科·Ｔ22）已知函數(shù). (1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性； （2）設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在， 使，求實數(shù)的取值范圍. 【命題立意】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了

43、學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇； （2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù). 【規(guī)范解答】（1）因為， 所以，， 令，. ①當(dāng)時，，， 所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增. ②當(dāng)時，由， 即 ，解得 , 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減； 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞

44、增； 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減. (iii)當(dāng)時，由于, 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減； 時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增 綜上所述： 當(dāng)時，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減； 函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減； 函數(shù)在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在上單調(diào)遞減. （2）因為，由（1）知，，當(dāng)時，，

45、 函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在 （0 , 2）上的最小值為， 由于“對任意，存在，使”等價于 “在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值” 【方法技巧】1、分類討論的原因 (1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出； (2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)等； (3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變； (4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀

46、不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能. 2、分類討論的原則 (1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)； (2)對討論對象分類時要不重復(fù)、不遺漏； (3)當(dāng)討論的對象不止一種時，應(yīng)分層次進行. 3、分類討論的一般步驟 (1)明確討論對象，確定對象的范圍； (2)確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進行合理分類，做到不重不漏； (3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果； (4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論. 28.（20xx ·海南高考理科·T21）設(shè)函數(shù)=. （1)若,求的單調(diào)區(qū)間; （2）若當(dāng)時，求的取值范圍. 【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值問題， 【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)求出函

47、數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后再利用單調(diào)性求參數(shù)的取值. 【規(guī)范解答】（1) 時，. 當(dāng)時，；當(dāng)時，， 故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為. （2）. 由（1)知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立， 故， 從而當(dāng)，即時，，而， 于是，當(dāng)時. 由可得，從而，當(dāng)時， 故當(dāng)時，，而，所以當(dāng)時，， 綜上可知，實數(shù)的取值范圍為. 【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性，列出參數(shù)需滿足的不等式（組）進行相關(guān)的計算. 29.（20xx·福建高考理科·Ｔ20）(1)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C. ①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； ②證明：若對于

48、任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）)處的切線交于另一點P2（x2,f(x2)）.曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3 （x3,f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值. （2）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(1) ②的正確命題，并予以證明. 【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想. 【思路點撥】第一步（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解

49、切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關(guān)命題，并利用平移的方法進行證明. 【規(guī)范解答】（1) ①，令得到，令得，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為）和(；單調(diào)遞減區(qū)間為； ②，，，因此 過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重復(fù)上面的計算，可得和，又，，因此有. （2）命題:若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(1) ②的命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另外一點，線段、與曲線所圍成圖形的面積為，則. 證明:對于曲線，無論如何平移，其要求面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，，，，因此過點的切線方程為： 化簡：得到 所以同樣運用(1)中的方法便可以得到， 所以. 【方法技巧】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要考查切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解不等式等知識聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用.