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1、 第03節(jié) 三角恒等變換 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 簡單的三角恒等變換 ①掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公 式. ②掌握簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明. 20xx浙江文6；理6； 20xx浙江文4,18；理4，18； 20xx浙江文11,16；理11； 20xx浙江文11；理10，16； 20xx浙江14，18. 1.和（差）角公式； 2.二倍角公式； 3.和差倍半的三角函數(shù)公式的綜合應用. 4.備考重點： (1) 掌握和差倍半的三角函數(shù)公式； (2) 掌握三角函數(shù)恒

2、等變換的常用技巧. 【知識清單】 1. 兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 變形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)； . 函數(shù)

3、f(α)＝acos α＋bsin α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定． 對點練習： 【20xx廣西南寧二中、柳州高中9月聯(lián)考】若，且為第三象限角，則等于( ) A. 7 B. C. 1 D. 0 【答案】A 本題選擇A選項. 2. 二倍角公式的運用公式的應用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 變形公式： cos2α

4、＝，sin2α＝ 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 對點練習： 【20xx浙江，18】已知函數(shù)f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）． （Ⅰ）求的值． （Ⅱ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為． 【解析】 （Ⅱ）由與得 所以的最小正周期是 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得 解得 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是． 【考點深度剖析】 對于三角恒等變換，高考命題主要以公式的基本運用、計算為主，其中多以與角的范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識結合考查，在三角恒

5、等變換過程中，準確記憶公式、適當變換式子、有效選取公式是解決問題的關鍵． 【重點難點突破】 考點1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用 【1-1】【20xx江西省贛州厚德外國語學校上學期第一次測試】的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】故選D. 【1-2】【20xx河南省名校聯(lián)盟第一次段考】已知圓O：x2+y2=1，點A1213,513，B-35,45，記射線OA與x軸正半軸所夾的銳角為α，將點B繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)α角度得到點C，則點C的坐標為__________． 【答案】-5665,3365 【解析】設射線OB與x軸正半軸的夾

6、角為β，有已知有cosα=1213,sinα=513,cosβ=-35,sinβ=45，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-5665 ，且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3365 ，C點坐標為(-5665,3365) . 【1-3】已知：，，且，則=_______. 【答案】 【解析】， , 【領悟技法】 1．運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等． 2．應熟悉公式的逆用和變形應

7、用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應用后，才能真正掌握公式的應用． 提醒：在T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保證tan α，tan β，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用誘導公式化簡． 【觸類旁通】 【變式一】已知均為銳角，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． ∴ ==． 【變式二】已知函數(shù)的部分圖像如圖所示. （Ⅰ）求函數(shù))的解析式，并寫出的單調(diào)減區(qū)間； （Ⅱ）的

8、內(nèi)角分別是A,B,C.若,,求的值. 【解析】（Ⅰ）由圖象最高點得A=1， 由周期. 當時，，可得 ， 因為，所以． . 由圖象可得的單調(diào)減區(qū)間為. 考點2 二倍角公式的運用公式的應用 【 2-1】【20xx浙江ZDB聯(lián)盟一模】已知，

9、，則__________， __________． 【答案】 【解析】因為， ，所以 因為，所以，因此 . 【2-2】【江蘇省淮安市五?！恳阎?，則的值為 ． 【答案】 【2-3】已知，且，則的值為__________. 【答案】 【解析】因為，所以，，，又因為，所以. 【領悟技法】 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則： （1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； （2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式； （3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向． 【觸類

10、旁通】 【變式一】已知， （1）求的值； （2）求的值． 【變式二】已知，，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二倍角公式得，整理得， 因此，由于，，， ，故答案為A． 考點3 三角恒等式的證明 【3-1】求證：＝sin 2α. 【解析】∵左邊＝＝＝＝ ＝cos αsincos＝sin αcos α ＝sin 2α＝右邊． ∴原式成立． 【3-2】求證：＝－2cos (α＋β). 【3-3】已知，，且，.

11、證明：. 【解析】，即， ， ， ， 又，， ，，， . 【領悟技法】 1.三角恒等式的證明主要有兩種類型：絕對恒等式與條件恒等式． (1)證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，變更論證，通過三角恒等式變換，使等式的兩邊化異為同． (2)條件恒等式的證明則要認真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當途徑．常用代入法、消元法、兩頭湊等方法． （3）變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等． 2.變換技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝

12、(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝. （3）化簡技巧：切化弦、“1”的代換等 【觸類旁通】 【變式一】求證：. 【解析】左邊＝＋ 故原式得證． 【變式二】已知，證明：. 【解析】左邊 右邊. 故原命題成立. 考點4三角函數(shù)的綜合應用 【4-1】【20xx湖北省部分重點中學起點】設函數(shù)f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0,5π12]，則導數(shù)f ′(1)的取值范圍是________． 【答案】[2，2] 【4-2】【20xx浙江溫州二?！恳阎瘮?shù)f

13、(x)=3sinxcosx+cos2x． （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期； （2）若-π2<α<0，f(α)=56，求sin2α的值. 【答案】（1）π；（2）3-226. 【解析】試題解析： （1）f(x)=32sin2x+cos2x+12=sin(2x+π6)+12 ∴函數(shù)f(x)的最小正周期是π （2）f(α)=sin(2α+π6)+12=56 ∴sin(2α+π6)=13， -π2<α<0，∴-5π6<2α+π6<π6，又sin(2α+π6)>0. ∴0<2α+π6<π6 ∴cos(2α+π6)=223，

14、∴sin2α=sin((2α+π6)-π6)=32sin(2α+π6)-12cos(2α+π6)=3-226. 【4-3】【20xx江蘇海安上學期第一次測試】已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，x∈[0,π]. （1）若a//b，求x的值； （2）記f(x)=a?b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． 【答案】(1) x=5π6;(2) 當x=0時，f(x)取到最大值3；當x=5π6時，f(x)取到最小值-23.. 【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設條件a//b建立方程-3cosx=3sinx分析求解；（2）先運用向量的坐標形式的數(shù)量積公式建立函數(shù)fx=a?

15、b=3cosx-3sinx=23cos(x+π6)，然后借助余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行探求： 解：（1）因為a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，a//b， 所以-3cosx=3sinx. 若cosx=0，則sinx=0，與sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0. 于是tanx=-33. 又x∈[0,π]，所以x=5π6. 【領悟技法】 高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中．需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為的形式，再進一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)． 【觸類旁通】

16、【變式一】【20xx浙江湖州、衢州、麗水三市4月聯(lián)考】函數(shù)的部分圖象如圖所示,M為最高點,該圖象與y軸交于點,與x軸交于點B,C, 且的面積為． (Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ)若,求的值. 【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】試題分析： 試題解析： ( Ⅰ)因為, 所以周期，， 由,得, 因為,所以, 所以； (Ⅱ)由,得, 所以. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：若sin θ，cos θ是關于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值． 易錯分析：不注意挖隱含條件，角的取值范圍，處理好開方、平方關系，避免出現(xiàn)增解

17、與漏解的錯誤． 正確解析：由題意知：sin θ＋cos θ＝， 溫馨提醒：求解三角函數(shù)問題，應靈活運用公式，特別注意已知等式中角的取值范圍，涉及開方求值問題，注意正負號的選取. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數(shù)"

18、或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】在平面坐標系中，直線與圓相交于,（在第一象限）兩個不同的點，且則的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A ∴．