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1、 第二講　填空題解題4技法 1．?dāng)?shù)學(xué)填空題的特點 填空題缺少可選擇的信息，故解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上．但填空題既不用說明理由，又無需書寫過程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時也適合于填空題． 填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為熟知的題目或基本題型．填空題不需過程，不設(shè)中間分值，更易失分，因而在解答過程中應(yīng)力求準(zhǔn)確無誤． 填空題雖題小，但跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題，突出訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活地運用知識的能力和基本運算能力，突出以圖助算、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計算能力．要想又快又準(zhǔn)地答好

2、填空題，除直接推理計算外，還要講究一些解題策略，盡量避開常規(guī)解法． 2．?dāng)?shù)學(xué)填空題的類型 根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型： 一是定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度和角度大小等．由于填空題和選擇題相比，缺少可選擇的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)． 二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定的數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的焦點坐標(biāo)、離心率等．近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題． 3．解數(shù)學(xué)填空題的原則 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對

3、正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格．《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”．為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意． 技法一 直 接 法 此類填空題的特點是必須根據(jù)題目中給出的條件，通過數(shù)學(xué)計算找出正確答案．解決此類問題需要直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等，通過巧妙變化，簡化計算過程．解題過程要靈活地運用相關(guān)的運算規(guī)律和技巧，合理轉(zhuǎn)化、巧妙處理已知條件． [例1]　若△ABC的三個內(nèi)角滿足sin2A＝sin2B＋si

4、n Bsin C＋sin2C，則∠A＝________. [思維流程] [解析]　由正弦定理＝＝， sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C可化為 a2＝b2＋bc＋c2，即b2＋c2－a2＝－bc， 故cos A＝＝－， 又因為∠A∈(0，π)，所以∠A＝. [答案]　 ——————————規(guī)律總結(jié)—————————————————— 直接法的運用技巧 直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，并注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，通過合理轉(zhuǎn)化將計算過程簡化，從而得到結(jié)果． 1．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的

5、奇函數(shù)，且對任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，當(dāng)x∈(－2,0)時，f(x)＝2x，則f(2 013)＝________. 解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)可知，f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－.由f(x)＝f(x＋4)可知，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 013)＝f(5034＋1)＝f(1)＝－. 答案：－ 技法二 特 殊 值 法 當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)?shù)奶厥庵?特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程和特殊模型等

6、)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在運用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例． [例2]　如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q，若＝λ，＝μ，則＋＝________. [思維流程] [解析]　由題意可知，＋的值與點P、Q的位置無關(guān)，而當(dāng)直線BC與直線PQ重合時，有λ＝μ＝1，所以＋＝2. [答案]　2 ——————————規(guī)律總結(jié)————————————————————— 應(yīng)用特殊值法的注意事項 求值或比較大小關(guān)系等問題均可運用特殊值法求解，但要注意此種方法僅限于所求值只有一種的填空題，對于開放性的問題或者多種答

7、案的填空題，則不能使用該種方法求解． 2．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________. 解析：法一：∵＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝＋2. 又AP⊥BD，∴＝0. 又∵＝||||cos∠BAP＝||2， ∴＝2||2＝29＝18. 法二：把平行四邊形ABCD看成正方形，則點P為對角線的交點，AC＝6，則＝18. 答案：18 技法三 圖 解 法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般比較明顯，如一次函數(shù)的斜率和

8、截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間的距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形，雖然作圖要花費一些時間，但只要認(rèn)真將圖形作完，解答過程就會簡便很多． [例3]　不等式－kx＋1≤0的解集非空，則k的取值范圍為________． [思維流程] [解析]　由－kx＋1≤0，得≤kx－1，設(shè)f(x)＝，g(x)＝kx－1，顯然函數(shù)f(x)和g(x)的定義域都為[－2,2]．令y＝，兩邊平方得x2＋y2＝4，故函數(shù)f(x)的圖像是以原點O為圓心，2為半徑的圓在x軸上及其上方的部分．而函數(shù)g(x)的圖像是直線l：y＝kx－1在[－2,2]內(nèi)的部分，該直線過點C(0，－1)，斜

9、率為k. 如圖，作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖像，不等式的解集非空，即直線l和半圓有公共點，可知k的幾何意義就是半圓上的點與點C(0，－1)連線的斜率． 由圖可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝＝－，kBC＝＝. 要使直線和半圓有公共點，則k≥或k≤－. 所以k的取值范圍為∪. [答案]　∪ ——————————規(guī)律總結(jié)—————————————————— 利用圖解法解決問題的步驟 圖解法就是將不等式變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的相對位置關(guān)系，直接根據(jù)圖形求解不等式的方法，主要應(yīng)用于求解不等式中含有兩類不同性質(zhì)的函數(shù)解析式的不等式問題．利用圖解法解決此類問題的基本步驟如下：

10、 第一步：歸類變形．根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行歸類，將不等式變形為f(x)>(<)g(x)或f(x)≥(≤)g(x)的形式． 第二步：構(gòu)造函數(shù)．根據(jù)變形后的不等式構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)． 第三步：作圖轉(zhuǎn)化．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別作出兩個函數(shù)的圖像． 第四步：寫出結(jié)論． 第五步：回顧反思．準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵，作函數(shù)圖像時，要注意函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性和周期性等性質(zhì)的應(yīng)用，此類問題多與解析幾何中的直線、圓、橢圓等相聯(lián)系，靈活利用幾何意義確定不等式的解集． 3．若直線y＝x＋m與曲線y＝－有且僅有一個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析

11、：由y＝－，得x2－y2＝4(y≤0)，它是雙曲線x2－y2＝4在x軸下方的部分曲線(包括與x軸的交點)，如圖所示，它的漸近線方程為y＝x(圖中虛線)，直線y＝x＋m與之平行，要使直線y＝x＋m與曲線y＝－有一個交點，把直線y＝x＋m由下向上平移，容易得m∈(－∞，－2]∪(0,2]． 答案：(－∞，－2]∪(0,2] 技法四 構(gòu) 造 法 用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡化推導(dǎo)與運算過程．構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)

12、模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的． [例4]　(20xx濟(jì)南模擬)已知三個互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n?γ，且直線m、n不重合，由下列三個條件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β. 能推得m∥n的條件是________． [思維流程] [解析]　構(gòu)建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優(yōu)先判斷條件②：取平面α為平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，則直線m為直線AD.因m∥γ，故可取平面γ為平面A′B′C′D′，因為n?γ且n∥β，故可取直線n為直線A′B′.則直線AD

13、與直線A′B′為異面直線，故m與n不平行．對于①：α、β?、谥衅矫?，取平面γ為平面BCC′B′，可取直線n為直線BC，故可推得m∥n；對于③：α，β?、谥衅矫?，取γ為平面AB′C′D，取值線n為直線B′C′故可推得結(jié)論． [答案]　①或③ ——————————規(guī)律總結(jié)——————————————————— 構(gòu)造法的應(yīng)用 構(gòu)造法實質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向．一般通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．在立體幾何中，補形構(gòu)造是最為常用的解題技巧．通過補形能將一般幾何體的有關(guān)問題在特殊的幾何體中求解，如將三棱

14、錐補成特殊的長方體等． 4.如圖，已知球O的面上有四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________． 解析：如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π. 答案：π 1．填空題的主要作用是考查考生的基礎(chǔ)知識、基本技能以及思維能力和分析問題、解決問題的能力．填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計算或推理過程，其結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式(數(shù))最簡． 2．填空題的主要特征是題目小、跨度大，知

15、識覆蓋面廣，形式靈活，突出考查考生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運用知識的能力．近年來填空題作為命題組改革實驗的一個窗口，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新題，如閱讀理解型、發(fā)散開放型、多項選擇型、實際應(yīng)用型等，這些題型的出現(xiàn)，使解填空題的要求更高、更嚴(yán)了． 3．填空題不同于選擇題，由于沒有非正確的選項干擾，因而不必?fù)?dān)心“上當(dāng)受騙”而誤入歧途．但填空題最容易犯的錯誤，要么答案不當(dāng)，要么答案不全． [填空題技法專練] 1．(20xx?？谀M)在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，則|－|＝________. 解析：依題意得|＋|2＝|－|2，(＋)2－(－)2＝4＝0，⊥，|－|＝||＝＝2. 答案：2

16、 2．已知函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos2x的定義域為，則函數(shù)f(x)的值域為________． 解析：f(x)＝(1＋tan x)cos2x＝sin＋，因為x∈，所以sin∈，所以f(x)的值域為. 答案： 3．(20xx濟(jì)南模擬)復(fù)數(shù)的虛部為________． 解析：∵＝＝1－i， ∴復(fù)數(shù)的虛部為－1. 答案：－1 4．已知點P(x，y)在直線x＋2y＝3上移動，當(dāng)2x＋4y取得最小值時，過點P引圓2＋2＝的切線，則此切線段的長度為________． 解析：由基本不等式得2x＋4y≥2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝時取得最小值，即P.由于點P與圓心C之間的距離|PC

17、|＝，故切線長＝＝＝. 答案： 5．如果一個棱柱的底面是正多邊形，并且側(cè)棱與底面垂直，這樣的棱柱叫做正棱柱．已知一個正六棱柱的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六棱柱的體積的最大值為________． 解析：設(shè)棱柱高為2x(00，b>0)的焦點F到一條漸近線的距離為|OF|，點O為坐標(biāo)原點，則此雙曲線的離心率為________． 解析：由題意知一焦點F(c,0)到直線y

18、＝x的距離為c，即＝b＝c，整理得b2＝c2－a2＝2，解得e＝＝2. 答案：2 7．在三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為、、，則三棱錐ABCD的外接球的體積為________． 解析：設(shè)AB、AC、AD的長分別為x、y、z，則xy＝，yz＝，xz＝，解得x＝，y＝1，z＝，把這個三棱錐補成一個長方體，這個三棱錐和補成的長方體具有共同的外接球，這個球的半徑等于＝，故這個球的體積是π3＝π. 答案：π 8．若銳角α，β，γ滿足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tan αtan βtan γ的最小值為________． 解

19、析：如圖，構(gòu)造長方體ABCDA1B1C1D1.設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 從而有tan αtan βtan γ＝≥＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，tan αtan βtan γ有最小值2. 答案：2 9．(20xx朝陽區(qū)統(tǒng)考)設(shè)直線x－my－1＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，則實數(shù)m的值是________． 解析：由條件可知，圓心(1,2)到直線x－my－1＝0的距離d＝＝1，即＝1，解之得m＝. 答案： 10．若直線x＝my－1與圓C：x2

20、＋y2＋mx＋ny＋p＝0交于A，B兩點，且A，B兩點關(guān)于直線y＝x對稱，則實數(shù)p的取值范圍為________． 解析：依題意，直線x＝my－1與直線y＝x垂直，則m＝－1，聯(lián)立得弦AB的中點坐標(biāo)為.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得2x2＋(1－n)x＋p－n＋1＝0，則x1＋x2＝－＝－2＝－1，即n＝－1.從而有2x2＋2x＋p＋2＝0，令Δ＝4－8(p＋2)>0，得p<－. 答案： 11．(20xx南昌模擬)下列命題中真命題的序號是________(填上所有正確的序號)． ①向量a與向量b共線，則存在實數(shù)λ使a＝λb(λ∈R)； ②a，b為單位向量，其夾角為θ，若|

21、a－b|>1，則<θ≤π； ③A，B，C，D是空間不共面的四點，若＝0，＝0，＝0，則△BCD一定是銳角三角形； ④向量，，滿足||＝||＋||，則與同向； ⑤若向量a∥b，b∥c，則a∥c. 解析：①錯誤，若b＝0，a≠0結(jié)論不成立；②正確，因為|a－b|2＝2－2cos θ>1，即cos θ<，解得<θ≤π；③正確，由已知可得四面體三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，則底面BCD易由三垂線定理證明三條高均在三角形內(nèi)部，即三角形BCD為銳角三角形；④錯誤，應(yīng)共線且反向；⑤錯誤，當(dāng)向量b＝0時結(jié)論不成立，因為零向量的方向是任意的，綜上可知，命題②③為真命題． 答案：②③ 12.如圖，

22、在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________． 解析：令OA＝6，OB＝4，OC＝2，分別取BC，CA，AB邊的中點D，E，F(xiàn)，則△OAD，△OBE，△OCF分別是滿足條件的截面三角形，且它們均為直角三角形，所以 S1＝6＝，S2＝4＝， S3＝2＝，滿足S3

23、＝sin x的圖像交于點P2，則線段P1P2的長為________． 解析：如圖所示，線段P1P2的長即為sin x的值，且其中的x滿足6cos x＝5tan x，解得sin x＝，即線段P1P2的長為. 答案： 14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________． 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33. 所以＝＋n－1，設(shè)f(x)＝＋x－1(x>0)，令f′(x)＝＋1>0，則f(x)在(，＋∞)上是單調(diào)遞增的，在(0，)上是單調(diào)遞減的，因為n∈

24、N*，所以當(dāng)n＝5或6時f(x)有最小值． 又因為＝，＝＝， 所以的最小值為＝. 答案： 15．定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．關(guān)于函數(shù)f(x)有下列結(jié)論： ①圖像關(guān)于直線x＝1對稱； ②最小正周期是2； ③在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)； ④在區(qū)間[－1,0]上是增函數(shù)． 其中正確結(jié)論的序號是________(把所有正確結(jié)論的序號都填上)． 解析：由f(x)＝f(2－x)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，故結(jié)論①正確；因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，圖像又關(guān)于直線x＝1對稱，故函數(shù)f(

25、x)必是一個周期函數(shù)，其最小正周期為4(1－0)＝4，故結(jié)論②不正確；因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是相同的，且f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以其在區(qū)間[－2，－1]上也是單調(diào)遞減函數(shù)，故結(jié)論③正確；因為函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，而函數(shù)在關(guān)于對稱軸對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是相反的，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，又由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,0]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故結(jié)論④正確． 答案：①③④ 16．(20xx深圳模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運動，設(shè)＝α＋β (α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 解析：以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有3β＝x，y＝α，因此z＝β＋α＝＋y，又由題意圓C的圓心坐標(biāo)為(1,1)，且直線BD的方程為x＋3y－3＝0，則圓心到直線的距離即為半徑R＝，因此圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝，當(dāng)直線z＝＋y與圓相切時，可得z＝1或z＝，又因點P在圓的內(nèi)部，故z＝β＋α＝＋y的取值范圍是. 答案：