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1、 三、考前必懂的26個解題方法 1．解決集合問題要“四看” (1)看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解題時需分清是點集、數(shù)集還是其他集合． (2)看元素組成：集合是由元素組成的，從研究集合的元素入手是解集合問題的常用方法． (3)看能否化簡：有些集合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關系，可使問題變得簡捷． (4)看能否數(shù)形結(jié)合：常用的數(shù)形結(jié)合的形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖． 2．充分條件與必要條件的判斷方法 (1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?/ p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充

2、分條件)． (2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件． (3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題． 3．利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟 第一步：確定函數(shù)f(x)的定義域； 第二步：求f′(x)； 第三步：解方程f′(x)＝0在定義域內(nèi)的所有實數(shù)根； 第四步：將函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和各實數(shù)根按從小到大的順序排列起來，分成若干個小區(qū)間； 第五步：確定f′(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，由此確定每個區(qū)間的單調(diào)性． 4．求函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟 第

3、一步：求導數(shù)f′(x)； 第二步：求方程f′(x)＝0的根x0； 第三步：檢查f′(x)在x＝x0左右的符號： ①左正右負?f(x)在x＝x0處取極大值； ②左負右正?f(x)在x＝x0處取極小值． 5．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟 第一步：求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)； 第二步：將y＝f(x)的各極值與f(a)，f(b)進行比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值． 6．求解恒成立問題的主要方法 (1)分離參數(shù)法：當不等式中的參數(shù)(或關于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與其他變量完全分離開來，且分離后不等式另一邊的函數(shù)

4、(或代數(shù)式)的最值可求出時，應用分離參數(shù)法． (2)最值法：當不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值能夠較容易地求出時，可直接求出這個最值(最值中可能需用參數(shù)表示)，然后建立關于參數(shù)的不等式求解． (3)數(shù)形結(jié)合法：如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應的圖像、圖形較易畫出時，可通過圖像、圖形的位置關系建立不等式求得參數(shù)范圍． (4)更換主元法：在問題所涉及的幾個變量中，選擇一個最有利于問題解決的變量作為主元進行求解． 7．判斷函數(shù)f(ωx＋φ)的奇偶性的方法 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx

5、＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝tan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝(k∈Z)． 8．確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)解析式的方法 A＝，B＝，ω＝，求φ時，常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，可以根據(jù)圖像的升降找準第一個零點的位置，把第一個零點作為突破口． 9．三角函數(shù)恒等變換的基本策略 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α；α＝(α－β)＋β；β＝－；α可視為的倍角；

6、α可視為的半角等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． (5)公式的變形應用，如sin α＝cos αtan α，sin2α＝，cos2α＝，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1sin α＝2等． (6)化簡三角函數(shù)式： asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 10．數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式；③常用公式：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. (

7、2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和． (3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和． (4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的等比數(shù)列的和”求解． (5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有： ①＝－； ②＝； ③＜＝； －＝＜＜＝－； ④＝； ⑤＝－； ⑥an＝Sn－S

8、n－1(n≥2)． 11．數(shù)列的通項的求法 (1)公式法：①等差數(shù)列的通項公式；②等比數(shù)列的通項公式． (2)已知Sn(即a1＋a2＋…＋an＝Sn)求an，用作差法： an＝ (3)已知a1a2…an＝f(n)，求an，用作商法： an＝ (4)若an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)． (5)若＝f(n)，求an，用累乘法： an＝…a1＝f(n－1)f(n－2)…f(1)a1(n≥2)． (6)an＝kan－1＋b，an＝kan－1

9、＋bn(k，b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法，先將問題轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an. (7)形如an＝的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法求通項． 12．已知定值求極值的常考形式及應試方法 (1)已知x>0，y>0，若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2. (2)已知x>0，y>0，若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值s2. (3)已知a，b，x，y>0，若ax＋by＝1，則有 ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. 13．求解線性規(guī)劃問題 (1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域：設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：Ax＋By＋C＝0

10、，若Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C同號，則P，Q在直線l的同側(cè)；異號則在直線l的異側(cè)． (2)求解線性規(guī)劃問題的步驟：①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標函數(shù)；③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解． (3)可行域的確定：“線定界，點定域”，即先畫出與不等式對應的方程所表示的直線，然后代入特殊點的坐標，根據(jù)其符號確定不等式所表示的平面區(qū)域． (4)目標函數(shù)的幾何意義：z＝ax＋by的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在x軸上的截距的a倍，是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距的b倍；z＝表示的是可行域內(nèi)的點P(x，y)與點Q(a，b)連線的斜率；z＝(x－a

11、)2＋(y－b)2表示的是可行域內(nèi)的點P(x，y)與點Q(a，b)的距離的平方． (5)線性目標函數(shù)在線性可行域內(nèi)的最優(yōu)解(非整點解)一般在可行域的邊界或頂點處取得． 14．證明位置關系的方法 (1)線面平行：?a∥α，?a∥α，?a∥α. (2)線線平行：?a∥b，?a∥b，?a∥b，?b∥c. (3)面面平行：?α∥β，?α∥β，?α∥γ. (4)線線垂直：?a⊥b. (5)線面垂直：?l⊥α，?a⊥β，?a⊥β，?b⊥α. (6)面面垂直：?α⊥β，?α⊥β. 15．空間位置關系的轉(zhuǎn)化 16．平面法向量的求法 求平面法向量的步驟為： (1)設平面的法向量為n＝

12、(x，y，z)； (2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根據(jù)法向量的定義建立關于x，y，z的方程組 (4)解方程組，取其中的一個解，即得法向量的坐標． 17．用空間向量求空間角 (1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. (2)利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有兩種辦法：一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角

13、就是斜線和平面所成的角． (3)利用空間向量方法求二面角，也可以有兩種辦法：一是分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求，設二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 注意：利用空間向量方法求二面角時，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角． 18．直線與圓錐曲線的位置關系 可通過表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷．設直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線方程為f(x，y)＝0. 由消元， 如消去

14、y后得ax2＋bx＋c＝0. (1)若a＝0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合)． (2)若a≠0，設Δ＝b2－4ac. ①Δ＞0時，直線和圓錐曲線相交于不同的兩點； ②Δ＝0時，直線和圓錐曲線相切于一點； ③Δ＜0時，直線和圓錐曲線沒有公共點． 19．直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝ 或|P1P2|＝ . 20．解答排列組合問題的角度 解答排列組合應用題要從“分析”“分辨”“分類”“分步”的

15、角度入手． (1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”． (2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等． (3)“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決． (4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決． 21．解答關于二項式定理問題的五種方法 (1)常規(guī)問題通項分析法． (2)系數(shù)和差型賦值法． (3)近似問題截項法． (4)整除(或余數(shù))問題展開法． (5)最值問題不等式法． 22．用樣本估計總體 (1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊

16、中點的橫坐標． (2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標． (3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． 23．方差與標準差的計算 標準差的平方就是方差，方差的計算 (1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)簡化計算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或?qū)懗蓅2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． (3)簡化計算公式②s2＝(x′＋x′＋…＋x′)－′2 當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)同時減去一個與它

17、們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，即得上述公式． 24．復數(shù)的基本概念與運算問題的解題思路 (1)與復數(shù)的相關概念和復數(shù)的幾何意義有關的問題，一般是確定復數(shù)的實部和虛部，然后再根據(jù)實部、虛部所滿足的條件，列方程(組)求解． (2)與復數(shù)z的模|z|和共軛復數(shù)有關的問題，一般都要先設出復數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決． 25．用程序框圖描述算法應注意的問題 (1)讀懂程序框圖，弄清程序框圖的基本結(jié)構(gòu)． (2)含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序，要執(zhí)行完每一次循環(huán)，直至循環(huán)結(jié)束． 26．應用合情推理應注意的問題 (1)在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導類比對象的性質(zhì)．