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1、第5講 找規(guī)律(一) 　　這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。 　　按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，… (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，… (4) 1，1，2，3，5，8，13。 　　一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。 　　數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。 　　許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是

2、講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。 　　數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)an＝n。 　　數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)2，或第n項(xiàng) 　　數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。 　　數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即 　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， 　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。 　　常見的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類： 　　第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。 　　第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到

3、規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。 　　第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。 例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)4，7，10，13，( )，… (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，… (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，… (6)2，6，12，20，( )，( )，… 解：通過對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn) (1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。 (2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-1

4、2=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48，36。 (3)的規(guī)律是：前項(xiàng)3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54，162。 (4)的規(guī)律是：前項(xiàng)5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5，1。 (5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為 　　1=11， 4=22， 9=33， 16=44， 　　所以應(yīng)填55=25。 (6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為 　　2=12，6=23，12=34，20=45， 　　所以，應(yīng)填 56=30， 67=42。 　　說明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n； (3)an＝23n-1；(4)an＝55-n；(5)

5、an＝n2；(6)an＝n(n+1)。 　　這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項(xiàng)等于3100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng)，當(dāng)然沒有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。 例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。 解：通過對(duì)各數(shù)列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。 (1)把數(shù)列每?jī)身?xiàng)分為一組，

6、1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。 (2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。 (3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填( 17+27=)44。 (4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(832=)256。 例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 解：(1

7、)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2，4，6，…其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)?后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 　　a5=8+30=38。 (2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，…按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。 (3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)2+1，所以 　　a6=2a5+1＝247+1＝95， 　　a7＝2a6+1＝295+1=191。 例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適

8、的數(shù)： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 解：(1)數(shù)列的第1，3，5，…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12，17， 22，…其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2，4，6，…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15，30，45，…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27，60。 (2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2，5，8，…中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8，6，4，… 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。 練習(xí)5 　　 　　按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。 　　1.

9、56，49，42，35，( )。 　　2.11， 15， 19， 23，( )，… 　　3.3，6，12，24，( )。 　　4.2，3，5，9，17，( )，… 　　5.1，3，4，7，11，( )。 　　6.1，3，7，13，21，( )。 　　7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 　　8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 　　9.2，5，10，17，26，( )。 　　10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 　　11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。 (1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？ (2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？