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1、工程數學作業(yè)（一）答案 第 2 章 矩陣 （一）單項選擇題（每小題 2 分，共 20 分） ⒈設 ，則 （ D ?。? A. 4 B. － 4 C. 6 D. － 6 ⒉若 ，則 （ A ?。? A. B. － 1 C. D. 1 ⒊乘積矩陣 中元素 （ C ?。? A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ⒋設 均為 階可逆矩陣，則下列運算關系正確的是（　 B ）． A. B. C. D. ⒌設 均為 階方陣， 且 ，則下列等式正確的是（ D ?。? A. B. C. D. ⒍下列結論

2、正確的是（　 A ）． A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣 B. 若 均為 階對稱矩陣，則 也是對稱矩陣 C. 若 均為 階非零矩陣，則 也是非零矩陣 D. 若 均為 階非零矩陣，則 ⒎矩陣 的伴隨矩陣為（　 C ）． A. B. C. D. ⒏方陣 可逆的充分必要條件是（ B 　）． A. B. C. D. ⒐設 均為 階可逆矩陣，則 （ D ?。? A. B. C. D. ⒑設 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ A 　）． A. B. C. D. （二）填

3、空題（每小題 2 分，共 20 分） ⒈ 7 ． ⒉ 是關于 的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數是 2 ． ⒊若 為 矩陣， 為 矩陣，切乘積 有意義，則 為 5 4 矩陣． ⒋二階矩陣 ． ⒌設 ，則 ⒍設 均為 3 階矩陣，且 ，則 72 ． ⒎設 均為 3 階矩陣，且 ，則 － 3 ． ⒏若 為正交矩陣，則 0 ． ⒐矩陣 的秩為 2 ． ⒑設 是兩個可逆矩陣，則 ． （三）解答題（每小題 8 分，共 48 分） ⒈設 ，求⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ． 答案：

4、 ⒉設 ，求 ． 解 ： ⒊已知 ，求滿足方程 中的 ． 解 ： ⒋寫出 4 階行列式 中元素 的代數余子式，并求其值． 答案 ： ⒌用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 解：（ 1 ） （ 2 ） ( 過程略 ) (3) ⒍求矩陣 的秩． 解 ： （四）證明題（每小題 4 分，共 12 分） ⒎對任意方陣 ，試證 是對稱矩陣． 證明： 是對稱矩陣 ⒏若 是 階方陣，且 ，試證 或 ． 證明 ： 是 階方陣，且 或

5、 ⒐若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣． 證明： 是正交矩陣 即 是正交矩陣 工程數學作業(yè)（第二次） 第 3 章 線性方程組 （一）單項選擇題 ( 每小題 2 分，共 16 分 ) ⒈用消元法得 的解 為（ C ?。? A. B. C. D. ⒉線性方程組 （ B ?。? A. 有無窮多解 B. 有唯一解 C. 無解 D. 只有零解 ⒊向量組 的秩為（　 A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 ⒋設向量組為 ，則（ B ?。┦菢O大無關組． A. B. C. D.

6、 ⒌ 與 分別代表一個線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（ D ）． A. 秩 秩 B. 秩 秩 C. 秩 秩 D. 秩 秩 ⒍若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（ A 　）． A. 可能無解 B. 有唯一解 C. 有無窮多解 D. 無解 ⒎以下結論正確的是（ D ?。? A. 方程個數小于未知量個數的線性方程組一定有解 B. 方程個數等于未知量個數的線性方程組一定有唯一解 C. 方程個數大于未知量個數的線性方程組一定有無窮多解 D. 齊次線性方程組一定有解 ⒏

7、若向量組 線性相關，則向量組內（ A ?。┛杀辉撓蛄拷M內其余向量線性表出． A. 至少有一個向量 B. 沒有一個向量 C. 至多有一個向量 D. 任何一個向量 9 ．設 A ，Ｂ為 階矩陣， 既是Ａ又是Ｂ的特征值， 既是Ａ又是Ｂ的屬于 的特征向量，則結論（　　）成立． Ａ． 是 AB 的特征值 Ｂ． 是 A+B 的特征值 Ｃ． 是 A － B 的特征值 Ｄ． 是 A+B 的屬于 的特征向量 10 ．設Ａ，Ｂ，Ｐ為 階矩陣，若等式（Ｃ?。┏闪?，則稱Ａ和Ｂ相似． Ａ． 　?。拢?　　?。茫?　　Ｄ． （二）填空題 ( 每小題 2 分，共 16 分 )

8、 ⒈當 １ 時，齊次線性方程組 有非零解． ⒉向量組 線性 相關 ． ⒊向量組 的秩是 ３ ． ⒋設齊次線性方程組 的系數行列式 ，則這個方程組有 無窮多 解，且系數列向量 是線性 相關 的． ⒌向量組 的極大線性無關組是 ． ⒍向量組 的秩與矩陣 的秩 相同 ． ⒎設線性方程組 中有 5 個未知量，且秩 ，則其基礎解系中線性無關的解向量有 ２ 個． ⒏設線性方程組 有解， 是它的一個特解，且 的基礎解系為 ，則 的通解為 ． 9 ．若 是Ａ的特征值，則 是方程 　　的根． 　 10 ．若

9、矩陣Ａ滿足 　，則稱Ａ為正交矩陣． （三）解答題 ( 第 1 小題 9 分，其余每小題 11 分 ) 1 ．用消元法解線性方程組 解： 　　 方程組解為 ２．設有線性方程組 為何值時，方程組有唯一解 ? 或有無窮多解 ? 解： ］ 當 且 時， ，方程組有唯一解 當 時， ，方程組有無窮多解 ３．判斷向量 能否由向量組 線性表出，若能，寫出一種表出方式．其中 解 ：向量 能否由向量組 線性表出，當且僅當方程組 有解 這里　 方程組無解 不能由向量 線性表出 ４．計算下列向量組的秩，并且（ 1 ）判斷該向量組是否線

10、性相關 解 ： 該向量組線性相關 ５．求齊次線性方程組 的一個基礎解系． 解： 方程組的一般解為 　　令 ，得基礎解系　 ６．求下列線性方程組的全部解． 解： 　　 方程組一般解為 令 ， ，這里 ， 為任意常數，得方程組通解 ７．試證：任一４維向量 都可由向量組 ， ， ， 線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式． 證明： 　 　 　 任一４維向量可唯一表示為 　　 ⒏試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組只有零解． 證明： 設 為含 個未知量的線性方程組

11、 　　　該方程組有解，即 從而 有唯一解當且僅當 而相應齊次線性方程組 只有零解的充分必要條件是 有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組 只有零解 9 ．設 是可逆矩陣Ａ的特征值，且 ，試證： 是矩陣 的特征值． 證明： 是可逆矩陣Ａ的特征值 　　　 存在向量 ，使 即 是矩陣 的特征值 10 ．用配方法將二次型 化為標準型． 解： 　令 ， ， ， 即 則將二次型化為標準型　 工程數學作業(yè)（第三次） 第 4 章 隨機事件與概率 （一）單項選擇題 ⒈ 為兩個事件，則（　 B ）成立． A.

12、B. C. D. ⒉如果（　 C ）成立，則事件 與 互為對立事件． A. B. C. 且 D. 與 互為對立事件 ⒊ 10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（ D 　）． A. B. C. D. 4. 對于事件 ，命題（ C ?。┦钦_的． A. 如果 互不相容，則 互不相容 B. 如果 ，則 C. 如果 對立，則 對立 D. 如果 相容，則 相容 ⒌某隨機試驗的成功率為 , 則在 3 次重復試驗中至少失敗 1 次的概率為（ D ?。? A

13、. B. C. D. 6. 設隨機變量 ，且 ，則參數 與 分別是（ A ?。? A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7. 設 為連續(xù)型隨機變量 的密度函數，則對任意的 ， （ A ?。? A. B. C. D. 8. 在下列函數中可以作為分布密度函數的是（ B ?。? A. B. C. D. 9. 設連續(xù)型隨機變量 的密度函數為 ，分布函數為 ，則對任意的區(qū)間 ，則 （　 D ）． A. B. C. D. 10. 設 為隨機變量， ，當（ C ?。r，有 ．

14、 A. B. C. D. （二）填空題 ⒈從數字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復數字的三位數，則這個三位數是偶數的概率為 ． 2. 已知 ，則當事件 互不相容時， 0.8 ， 0.3 ． 3. 為兩個事件，且 ，則 ． 4. 已知 ，則 ． 5. 若事件 相互獨立，且 ，則 ． 6. 已知 ，則當事件 相互獨立時， 0.65 ， 0.3 ． 7. 設隨機變量 ，則 的分布函數 ． 8. 若 ，則 6 ． 9. 若 ，則 ． 10. 稱為二維隨機變量 的 協(xié)方差 ． （三）解答題 1. 設 為三個事件，試

15、用 的運算分別表示下列事件： ⑴ 中至少有一個發(fā)生； ⑵ 中只有一個發(fā)生； ⑶ 中至多有一個發(fā)生； ⑷ 中至少有兩個發(fā)生； ⑸ 中不多于兩個發(fā)生； ⑹ 中只有 發(fā)生． 解 : (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 袋中有 3 個紅球， 2 個白球，現從中隨機抽取 2 個球，求下列事件的概率： ⑴ 2 球恰好同色； ⑵ 2 球中至少有 1 紅球． 解 : 設 = “ 2 球恰好同色”， = “ 2 球中至少有 1 紅球” 3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是 2% ，

16、如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3% ，求加工出來的零件是正品的概率． 解： 設 “第 i 道工序出正品”（ i=1,2 ） 4. 市場供應的熱水瓶中，甲廠產品占 50% ，乙廠產品占 30% ，丙廠產品占 20% ，甲、乙、 丙廠產品的合格率分別為 90%,85%,80% ，求買到一個熱水瓶是合格品的概率． 解： 設 5. 某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止．已知他每發(fā)命中的概率是 ，求所需設計次數 的概率分布． 解： ………… ………… 故 X 的概率分布是

17、 6. 設隨機變量 的概率分布為 試求 ． 解： 7. 設隨機變量 具有概率密度 試求 ． 解： 8. 設 ，求 ． 解： 9. 設 ，計算⑴ ；⑵ ． 解： 10. 設 是獨立同分布的隨機變量，已知 ，設 ，求 ． 解： 工程數學作業(yè)（第四次） 第 6 章 統(tǒng)計推斷 （一）單項選擇題 ⒈設 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則（ A ）是統(tǒng)計量． A. B. C. D. ⒉設 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（ D ）不

18、是 的無偏估計． A. B. C. D. （二）填空題 1 ．統(tǒng)計量就是 不含未知參數的樣本函數 ． 2 ．參數估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 ．常用的參數點估計有 矩估計法 和 最大似然估計 兩種方法． 3 ．比較估計量好壞的兩個重要標準是 無偏性 ， 有效性 ． 4 ．設 是來自正態(tài)總體 （ 已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗 ，需選取統(tǒng)計量 ． 5 ．假設檢驗中的顯著性水平 為 事件 （ u 為臨界值） 發(fā)生的概率． （三）解答題 1 ．設對總體 得到一個容量

19、為 10 的樣本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 試分別計算樣本均值 和樣本方差 ． 解： 2 ．設總體 的概率密度函數為 試分別用矩估計法和最大似然估計法估計參數 ． 解：提示教材第 214 頁例 3 矩估計： 最大似然估計： ， 3 ．測兩點之間的直線距離 5 次，測得距離的值為（單位： m ）： 108.5 109.0 110.0 110.5 112.0 測量值可以認為是服從正態(tài)分布 的，求 與 的估計值．并在⑴ ；⑵ 未知的情況下，分別求 的置信度為 0.9

20、5 的置信區(qū)間． 解： （ 1 ）當 時，由 1 － α ＝ 0.95 ， 查表得： 故所求置信區(qū)間為： （ 2 ）當 未知時，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信區(qū)間為： 4 ．設某產品的性能指標服從正態(tài)分布 ，從歷史資料已知 ，抽查 10 個樣品，求得均值為 17 ，取顯著性水平 ，問原假設 是否成立． 解： ， 由 ，查表得： 因為 > 1.96 ，所以拒絕 5 ．某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為 20.0 ，現換了新材料，從產品中隨機抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位： cm ）： 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（ ）． 解：由已知條件可求得： ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H 0