《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.1函數(shù)及其表示》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.1函數(shù)及其表示（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析： 2.1函數(shù)及其表示 一、求函數(shù)的定義域、值域 1、確定函數(shù)的定義域的原則 （1）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用列表法給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)x的集合; （2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時，函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合； （3）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)的集合； （4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的定義域由實際問題的意義確定。 2、確定函數(shù)定義域的依據(jù) （1）若f(x)是整式，則定義域為全體實數(shù)； （2）若f(x)是分式，則定義域為使分式的分母不

2、為零的x取值的集合； （3）當(dāng)f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式取非負(fù)的x取值的集合； （4）當(dāng)f(x)是非正數(shù)指數(shù)冪時，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值的集合； （5）若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))定義域由不等式a≤g(x)≤b解出; (6)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]時的值域。 3、求簡單函數(shù)值域的方法 (1)觀察法；(2)圖象觀察法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)均值不等式法；(6)換元法. 4、例題解析 〖例1〗(2012大連模擬)求函數(shù)的定義域; (2

3、)已知函數(shù)f(2x)的定義域是［-1,1］，求f(x)的定義域； (3)求下列函數(shù)的值域. ①y=x2+2x,x∈［0,3］, ②y=log3x+logx3-1, ③ 分析：(1)根據(jù)解析式，構(gòu)建使解析式有意義的不等式組求解即可； 2 / 23 (2)要明確2x與f(x)中x的含義，從而構(gòu)建不等式求解; (3)根據(jù)解析式的特點(diǎn)，分別選用①圖象觀察法；②均值不等式法；③單調(diào)性法求值域. 解答：(1)要使該函數(shù)有意義， 需要則有： 解得:-3＜x＜0或2＜x＜3, 所以所求函數(shù)的定義域為 (-3,0)∪(2,3). (2)∵f(2x)的定義域為［-1，1］， 即-1

4、≤x≤1, 故f(x)的定義域為［］. (3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的圖象如圖所示, 由圖象知：0≤y≤32+23=15, 所以函數(shù)y=x2+2x，x∈［0,3］的值域為［0,15］. ②,定義域為(0,1)∪(1,+∞)， 當(dāng)0＜x＜1時， 當(dāng)x＞1時， 綜上可知，其值域為(-∞,-3］∪［1,+∞). ③因為x2-1≥-1，又y=2x在R上為增函數(shù), ∴≥2-1=. 故值域為［,+∞). 【規(guī)律方法】求函數(shù)定義域的方法 (1) 求具體函數(shù)y=f(x)的定義域： (2) (2)求抽象函數(shù)的定義域： ①若已知函數(shù)f(x)的定

5、義域為［a,b］，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為［a,b］，則f(x)的定義域為g(x)在x∈［a,b］時的值域. 提醒：定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式. 〖例2〗設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ A ） . B. C. D. 解析 由已知，函數(shù)先增后減再增 當(dāng)，令 解得。 當(dāng)， 故 ，解得 【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運(yùn)用以及一元二次不等式的求解 〖例3〗試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）

6、f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)； （2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)； （3）由于當(dāng)n∈N*時，2n1為奇數(shù)， ∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)； （4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x≥0}，

7、而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)； （5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù) 注：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。 〖例4〗求下列函數(shù)的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9） 解：（1）（配方法）， ∴的值域為 改題：求函數(shù)，的值域 解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增 ∴當(dāng)時，原函數(shù)有最小值為

8、；當(dāng)時，原函數(shù)有最大值為 ∴函數(shù)，的值域為 （2）求復(fù)合函數(shù)的值域： 設(shè)（），則原函數(shù)可化為 又∵， ∴，故， ∴的值域為 （3）（法一）反函數(shù)法： 的反函數(shù)為，其定義域為， ∴原函數(shù)的值域為 （法二）分離變量法：， ∵，∴， ∴函數(shù)的值域為 （4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則， ∴原函數(shù)可化為，∴， ∴原函數(shù)值域為 注：總結(jié)型值域， 變形：或 （5）三角換元法： ∵，∴設(shè)， 則 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域為 （6）數(shù)形結(jié)合法：， ∴，∴函數(shù)值域為 （7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為 由得： ① ①當(dāng)即時

9、，①即，∴ ②當(dāng)即時，∵時方程恒有實根， ∴△， ∴且， ∴原函數(shù)的值域為 （8）， ∵，∴， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立 ∴， ∴原函數(shù)的值域為 （9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：， ∴（其中）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域為 注：上面討論的是用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，掌握這些方法對于以后的復(fù)習(xí)中求解綜合性的題目時是非常有用的。 二、分段函數(shù)及實際應(yīng)用題 1、相關(guān)鏈接 （1）解決分段函數(shù)的基本原則是分段進(jìn)行，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用這一段的解析式來解決； （2）對于實際應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題意確定好分段點(diǎn)

10、，在每一段上分析出其解析式，然后再寫成分段函數(shù)； （3）對于分段函數(shù)的最值問題，一般是將每一段上的最值分別求出，其中的最大者就是整個函數(shù)的最大值，其中的最小者就是整個函數(shù)的最小值。 2．例題解析 〖例1〗我國是水資源相對匱乏的國家，為鼓勵節(jié)約用水，某市打算制定一項水費(fèi)措施，規(guī)定每季度每人用水不超過5噸時，每噸水費(fèi)的價格(基本消費(fèi)價)為1.3元，若超過5噸而不超過6噸時，超過部分的水費(fèi)加收200%，若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費(fèi)加收400%，如果某人本季度實際用水量為x(x≤7)噸，試計算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi). 思路分析：計算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi)，應(yīng)看他的用水量x在何范

11、圍內(nèi)，不同的范圍，繳納的水費(fèi)不同；可采用分段函數(shù)來表示. 解答：設(shè)y表示本季度應(yīng)繳納的水費(fèi)(元)， 當(dāng)0＜x≤5時，y=1.3x； 當(dāng)5＜x≤6時，應(yīng)將x分成兩部分：5與(x-5)分別計算，第一部分為基本消費(fèi)1.35，第二部分由基本消費(fèi)與加價消費(fèi)組成,即 1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5， 此時y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-13， 當(dāng)6＜x≤7時，同理y=6.5x-28.6 綜上可知：. 〖例2〗某出版公司為一本暢銷書定價如下： 這里的n∈N*表示購書的數(shù)量，C(n)是訂購n本書所付的錢數(shù)(單位：元).若一本書的成本價是5元，現(xiàn)

12、有甲、乙兩人來買書，每人至少買1本，兩人共買60本，問出版公司最少能賺多少錢？最多能賺多少錢？ 思路分析：分析題意知，先弄清分段點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；列出買書的費(fèi)用函數(shù)，在每一段上求最值，比較大小再求出整個函數(shù)的最值. 解析：設(shè)甲買n本書，則乙買(60-n)本書(不妨設(shè)甲 買的書少于乙買的書)，則n≤30,n∈N* ①當(dāng)1≤n≤11且n∈N*時，49≤60-n≤59，出版公司賺的 錢數(shù)f(n)=12n+10(60-n)-560=2n+300； ②當(dāng)12≤n≤24且n∈N*時，36≤60-n≤48，出版公司賺的 錢數(shù)f(n)=12n+11(60-n)-560=n+360; ③當(dāng)

13、25≤n≤30且n∈N*時，30≤60-n≤35，出版公司賺的 錢數(shù)f(n)=1160-560=360； 當(dāng)1≤n≤11且n∈N*時，302≤f(n)≤322； 當(dāng)12≤n≤24且n∈N*時，372≤f(n)≤384； 當(dāng)25≤n≤30且n∈N*時，f(n)=360. 故出版公司最少能賺302元，最多能賺384元. 三、求函數(shù)的解析式 1、函數(shù)的解析式的求法 函數(shù)解析式的求法 (1)湊配法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式,此時要注意g(x)的范圍; (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的

14、類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f()或f(-x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x). 2、例題解析 （1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求； （4）已知滿足，求； 解：（1）配湊法：∵， ∴（或）； （2）換元法：令（），則， ∴，； （3）待定系數(shù)法：設(shè)， 則， ∴，， ∴； （4）方程組法： ① 把①中的換成，得 ②， ①②

15、得 ∴。 提醒：因為函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是使表達(dá)式有意義的x的取值，一定要注明函數(shù)的定義域，否則會導(dǎo)致錯誤. 四、函數(shù)的綜合應(yīng)用 〖例1〗 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對于一切實數(shù)x滿足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x) （1）若f(5)=9,求：f(－5); （2）已知x∈ [2,7]時，f(x)=(x－2)2，求當(dāng)x∈[16,20]時，函數(shù)g(x)=2x－f(x)的表達(dá)式，并求出g(x)的最大值和最小值； （3）若f(x)=0的一根是0，記f(x)=0在區(qū)間[－1000,1000]上的根

16、數(shù)為N，求N的最小值。 解 （1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的圖像關(guān)于直線x=2,x=7對稱。 ∴ f(x)=f[(x－2)+2] =f[2－(x－2)]=f(4－x) =f[7－(3+x)]=f(7+(3+x)) =f(x+10) ∴f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。 ∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9 （2）當(dāng)x∈[16,17],x－10∈[6,7] ∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2 當(dāng)x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－

17、20)∈[4,7 ∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)] =f(24－x)=(x－22)2 ∴g(x)= ∵x∈ [16,17]時，g(x)最大值為16，最小值為9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36 ∴g(x)的最大值為36，最小值為9。 （3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個解。 而在[－1000，1000上有200個周期，至少有400個解。又f(1000)=0 所以最少有401個解。且這401個解的和為－200。 注 題中（2）可根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、函數(shù)的周期性，通

18、過作圖得到 f(x)= 一般地：當(dāng)x∈[－3，2]時，4－x∈[2,7] ∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2 ∴當(dāng)x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2 故當(dāng)x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7][ ∴f(x)= (x－10k－2)2(k∈z) ∴f(x)= (x－10k－2)2 x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z） 〖例2〗 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x≥0,y≥0)，記y+3x－x2的最大值是M(a)，試求 （1）M(a)的表達(dá)式；（2）M(a)的最小值。 解 將代數(shù)式y(tǒng)+3x－x2表示為一個字

19、母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M(a)。 （1）設(shè)S(x)=y+3x－x2,將y=2－ax代入消去y，得： S(x)=2－ax+3x－x2 =－x2+(3－a)x+2 =－[x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0) ∵y≥0 ∴2－ax≥0 而a>0 ∴0≤x≤ 下面分三種情況求M(a) (i)當(dāng)0<3－a<(a>0)，即 時 解得 00)即 時， 解得：1≤a≤2，這時 M(a)=S()=2－a+3－

20、 =－+ (iii)當(dāng)3－a≤0；即a≥3時 M(a)=S(0)=2 綜上所述得： M（a）= （2）下面分情況探討M(a)的最小值。 當(dāng)02 當(dāng)1≤a≤2時 M(a)=－+=－2(－)2+ ∵1≤a≤2≤≤1 ∴當(dāng)=時，M(a)取小值，即 M(a)≥M（2）= 當(dāng)a≥3時，M(a)=2 經(jīng)過比較上述各類中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。 注：解題經(jīng)驗的積累，有利于解題思路的挖掘，對參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)3－a是否在定義域區(qū)間[0，]內(nèi)，這樣就引出三種討論情況，找出解題的方案。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！