《中考（數(shù)學）分類二 二次函數(shù)與線段有關的問題(含答案)-歷年真題?？肌⒅仉y點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考（數(shù)學）分類二 二次函數(shù)與線段有關的問題(含答案)-歷年真題?？肌⒅仉y點題型講練（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學專題 精心整理 類型一二次函數(shù)與線段問題 【典例1】已知拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x軸于點A(6，0)和點B(－1，0)，交y軸于點C． （1）求拋物線的解析式和頂點坐標； （2）如圖（1），點P是拋物線上位于直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點D，E，當PD＋PE取最大值時，求點P的坐標； （3）如圖（2），點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分△AMN的邊MN時，求點N的坐標． 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，頂點坐標為(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，) 【解析】 【分

2、析】 （1）將點A，B坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結論； （2）先求出OA=OC=6，進而得出∠OAC=45，進而判斷出PD=PE，即可得出當PE的長度最大時，PE+PD取最大值，設出點E坐標，表示出點P坐標，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出結論； （3）先判斷出NF∥x軸，進而求出點N的縱坐標，即可建立方程求解得出結論． 【詳解】 解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經過點A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋， ∴拋物線的解析式為y＝－x

3、2＋5x＋6，頂點坐標為（，）． （2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45． ∵PD平行于x軸，PE平行于y軸， ∴∠DPE＝90，∠PDE＝∠DAO＝45， ∴∠PED＝45， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴當PE的長度最大時，PE＋PD取最大值． 設直線AC的函數(shù)關系式為y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直線AC的解析式為y＝－x＋6． 設E（t，－t＋6）（0＜t＜6），

4、則P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴當t＝3時，PE最大，此時－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答圖，設直線AC與拋物線的對稱軸l的交點為F，連接NF． ∵點F在線段MN的垂直平分線AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y軸， ∴∠MFC＝∠OCA＝45， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90， ∴NF∥x軸． 由（2）知直線AC的解析式為y＝－x＋6， 當x＝時，y＝， ∴F（，）， ∴點N的縱坐標為． ∵點N在拋物線上， ∴－x2＋5x＋6

5、＝，解得，x1＝或x2＝， ∴點N的坐標為（，）或（，）． 【點睛】 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解一元二次方程，（2）中判斷出PD=PE，（3）中NF∥x軸是解本題的關鍵． 【典例2】如圖1-1，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果△PAC的周長最小，求點P的坐標． 圖1-1 【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當作河流，點A與點B對稱，連結BC，那么在△PBC中，PB＋PC總是大于BC的．如圖1-3，當點P落在BC上時，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周長也最?。?

6、 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 圖1-2 圖1-3 【典例3】如圖，拋物線與y軸交于點A，B是OA的中點．一個動點G從點B出發(fā)，先經過x軸上的點M，再經過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到點A．如果動點G走過的路程最短，請找出點M、N的位置，并求最短路程． 圖2-1 【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關于拋物線的對稱軸對稱的點A′，作點B關于x軸對稱的點B′，連結A′B′與x軸交于點M，與拋物線的對稱軸交于點N． 在Rt△AA′B′中，AA′

7、＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即點G走過的最短路程為10．根據(jù)相似比可以計算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)． 圖2-2 【典例4】如圖3-1，拋物線與y軸交于點A，頂點為B．點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標． 圖3-1 【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|PA－PB|的最小值與最大值． 由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．設P(x, 0)． 絕對值|PA－PB|的最小值當然是0了，此時PA＝PB，點P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）

8、．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此時P． 在△PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PA－PB|總是小于AB了．如圖3-3，當點P在BA的延長線上時，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此時P． 圖3-2 圖3-3 【典例5】如圖，拋物線的頂點為A（h，﹣1），與y軸交于點B（0，﹣），點F（2，1）為其對稱軸上的一個定點． （1）求這條拋物線的函數(shù)解析式； （2）已知直線l是過點C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d； （3）已知坐標平面內的點D

9、（4，3），請在拋物線上找一點Q，使△DFQ的周長最小，并求此時△DFQ周長的最小值及點Q的坐標． 【分析】（1）由題意拋物線的頂點A（2，﹣1），可以假設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，把點B坐標代入求出a即可． （2）由題意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解決問題． （3）如圖，過點Q作QH⊥直線l于H，過點D作DN⊥直線l于N．因為△DFQ的周長＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小時，△DFQ的周長最小，再根據(jù)垂線段最短解決問題即可． 【解答】（1）解：由題意拋物線的頂點A（2，﹣1），可以假設拋物線的解析式為y＝a（x﹣

10、2）2﹣1， ∵拋物線經過B（0，﹣）， ∴﹣＝4a﹣1， ∴a＝， ∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1． （2）證明：∵P（m，n）， ∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣， ∴P（m，m2﹣m﹣）， ∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+， ∵F（2，1）， ∴PF＝＝， ∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+， ∴d2＝PF2， ∴PF＝d． （3）如圖，過點Q作QH⊥直線l于H，過點D作DN⊥直線l于N． ∵△DFQ的周長＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2， ∴DQ+QF的值最小時，△DFQ的周長最小， ∵QF＝QH， ∴DQ+DF＝DQ+QH， 根據(jù)垂線段最短可知，當D，Q，H共線時，DQ+QH的值最小，此時點H與N重合，點Q在線段DN上， ∴DQ+QH的最小值為3， ∴△DFQ的周長的最小值為2+3，此時Q（4，﹣） 【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，兩點間距離公式，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型 初中數(shù)學中考備課必備