13、x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[自主解答] (1)證明:記F(x)=sin x-x,
則F′(x)=cos x-.
當(dāng)x∈時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)在上是增函數(shù);
當(dāng)x∈時(shí),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)在上是減函數(shù).
又F(0)=0,F(xiàn)(1)>0,所以當(dāng)x∈[0,1]時(shí),F(xiàn)(x)≥0,即sin x≥x.
記H(x)=sin x-x,
則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H′(x)=cos x-1<0,
所以,H(x)在[0,1]上是減函數(shù),
則H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.
綜上,x≤sin x≤x,x∈[0,1].
(2)因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí),
ax+x2
14、++2(x+2)cos x-4
=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2
≤(a+2)x+x2+-4(x+2)2
=(a+2)x,
所以,當(dāng)a≤-2時(shí),
不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對(duì)x∈[0,1]恒成立.
下面證明,當(dāng)a>-2時(shí),
不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對(duì)x∈[0,1]不恒成立.
因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí),
ax+x2++2(x+2)cos x-4
=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2
≥(a+2)x+x2+-4(x+2)2
=(a+2)x-x2-
≥(a+2)x-x2
=-x.
所以存在x0∈(0,1)滿足a
15、x0+x++2(x0+2)cos x0-4>0,
即當(dāng)a>-2時(shí),
不等式ax+x2++2(x+2)cos x-4≤0對(duì)x∈[0,1]不恒成立.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].
導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.①證明f(x)g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(
16、x),如果F′(x)>0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時(shí)若F(a)≥0,由增函數(shù)的定義可知,x∈(a,b)時(shí),有F(x)>0,即證明了f(x)>g(x).
(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,
17、c,d的值;
(2)若x≥-2時(shí),f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.
(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0)≥0,即k≥1.
令F′(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.
18、
(ⅰ)若1≤k<e2,則-2<x1≤0,從而當(dāng)x∈(-2,x1)時(shí),F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+∞)上單調(diào)遞增,故F(x)在[-2,
+∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故當(dāng)x≥-2時(shí),F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(ⅱ)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x>-2時(shí),F(xiàn)′(x)>0,即F(x)在
(-2,+∞)上單調(diào)遞增.而F(-2)=0,故當(dāng)x≥-2時(shí),F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(
19、ⅲ)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當(dāng)x≥-2時(shí),f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
綜上,k的取值范圍是[1,e2].
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)構(gòu)造——構(gòu)造函數(shù)解決問題
把所求問題通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)解決的問題,這是用導(dǎo)數(shù)解決問題時(shí)常用的方法.
2個(gè)轉(zhuǎn)化——不等式問題中的兩個(gè)轉(zhuǎn)化
(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理.
3個(gè)注意點(diǎn)——利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)注意的三點(diǎn)
(1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示,還要注意確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍.
(2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實(shí)際意義,不符合實(shí)際的值應(yīng)舍去.
(3)如果目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).