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1、 精品資料 學案20　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 導學目標： 1.會用向量數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應用． 自主梳理 1．(1)兩角和與差的余弦 cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)兩角和與差的正弦 sin(α＋β

2、)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)兩角和與差的正切 tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________. (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 其變形為： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α

3、tan β)． 2．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中角φ稱為輔助角． 自我檢測 1．cos 43cos 77＋sin 43cos 167的值為________． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan 2α＝________. 3．cos＋sin＝________. 4．(1＋tan 17)(1＋tan 18)(1＋tan 27)(1＋tan 28)的值是________． 5．已知cos＋sin α＝，則sin的值是________． 探究點一　給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值) 例1　求值： (1)[2s

4、in 50＋sin 10(1＋tan 10)]； (2)sin(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． 變式遷移1　求值：(1)； (2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)． 探究點二　給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值) 例2　已知0<β<<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值． 變式遷移2　(2010廣州高三二模)已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 探究點三　給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另

5、一角的值) 例3　已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值；　(2)求β的值． 變式遷移3　若sin A＝，sin B＝，且A、B均為鈍角，求A＋B的值． 轉化與化歸思想 例　(14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 【答題模板】 解　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2ab＋b2＝.[2分] 又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin

6、β)，∴a2＝b2＝1， ab＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分] 故cos(α－β)＝＝＝.[7分] (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π. ∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[9分] 又∵sin β＝－，－<β<0，∴cos β＝.[11分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝＋＝.[14分] 【突破思維障礙】 本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個等式條件|a－b|＝，必須從這個等式出發(fā)，利用向量知識化簡再結合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)

7、問中需要把未知角向已知角轉化再利用角的范圍來求，即將α變?yōu)?α－β)＋β. 本節(jié)主要應用轉化與化歸思想，即異角化同角．未知角向已知角轉化，非特殊角向特殊角轉化． 【易錯點剖析】 |a－b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯點，把未知角轉化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號也是易錯點． 1．轉化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換． 2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件． 3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運算結構的差異，尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉化． 4．基本技

8、巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知a∈(－，0)，sin α＝－，則tan(α＋)＝______________. 2．(2011鹽城模擬)已知cos(－α)＝，則sin2(α－)－cos(＋α)的值是________． 3．(2010東北育才中學一模)已知α、β均為銳角，且tan β＝，則tan(α＋β)＝________. 4．函數(shù)y＝sin(－x)＋cos(－x)的最大值為________． 5．求值：＝________. 6．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3

9、cos A＝1，則C的大小為________． 7．函數(shù)f(x)＝asin(x＋)＋3sin(x－)是偶函數(shù)，則a＝________. 8．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，且α、β∈，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(1)已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 10．(14分)(2010四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)

10、＝cos αcos β－sin αsin β；②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)已知△ABC的面積S＝，＝3，且cos B＝，求cos C. 11．(14分)(2010濟南高三三模)設函數(shù)f(x)＝ab，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，sin 2x)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)＝1－，且x∈，求x； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調增區(qū)間，并在給出的坐標系中畫出y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 答案 自主梳理 1．(1)cos αc

11、os β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β (2)sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β (3)　 自我檢測 1．－　2.－　3.　4.4　5.－ 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計算的角轉化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉化為弦，或把所有的弦都轉化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式．如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉化一下角或轉換一下名稱，就可以使用． 解

12、　(1)原式 ＝sin 80 ＝sin 80 ＝cos 10 ＝cos 10 ＝2cos 10 ＝cos 10＝2sin 60＝2＝. (2)原式＝sin[(θ＋45)＋30]＋cos(θ＋45)－cos[(θ＋45)－30] ＝sin(θ＋45)＋cos(θ＋45)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋45)－sin(θ＋45)＝0. 變式遷移1　解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2)原式＝tan[(－θ)＋(＋θ)][1－tan(－θ)tan(＋θ)]＋tan(－θ)tan(＋θ)＝. 例2　解題導引　對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)

13、值，關鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰保艚撬谙笙逈]有確定，則應分類討論．應注意公式的靈活運用，掌握其結構特征，還要學會拆角、拼角等技巧． 解　cos＝sin＝， ∵0<β<<α<，∴<＋α<π，<＋β<π. ∴cos＝－＝－， cos＝－＝－. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ＝sincos＋cossin ＝－＝－.∴sin(α＋β)＝. 變式遷移2　解　(1)由tan＝2，得＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝. (2) ＝ ＝＝ ＝－tan(α－β)＝－＝－＝. 例3　解題導引　(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取

14、函數(shù)時，遵循以下原則： ①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； ②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． (2)解這類問題的一般步驟： ①求角的某一個三角函數(shù)值； ②確定角的范圍； ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角． 解　(1)∵tan ＝， ∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝. 又0<α<<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos

15、 α＋cos(β－α)sin α ＝＋＝＝. 由<β<π得β＝π.(或求cos β＝－，得β＝π) 變式遷移3　解　∵A、B均為鈍角且sin A＝，sin B＝，∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－－＝.① 又∵

16、＝sin C＝，所以C＝或π. 如果C＝π，則0， 3cos A>1與4sin B＋3cos A＝1矛盾， 故C＝. 7．－3 解析　f(x)＝asin(x＋)＋3sin(x－) ＝asin x＋acos x＋(sin x－cos x)＝(a＋3)sin x＋(a－3)cos x，因為是偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，代入得：(a＋3)sin x＝0，所以a＝－3. 8.?。? 解析　 ∴tan(α＋β)＝＝， 又α、β∈， ∴α、β∈，－π<α＋β<0，α＋β＝－. 9．解　(1)∵β∈，cos β＝－， ∴sin β＝.…………………………

17、……………………………………………………(2分) 又∵0<α<，<β<π， ∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝， ∴cos(α＋β)＝－ ＝－ ＝－，………………………………………………………………(5分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝－＝.……………………………………………………………(7分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝，……………………………………………………(10分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝＝1.……………………………………………………(1

18、2分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0， ∴0<α<，<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.………………………………………………………(14分) 10．(1)①證明　如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4. 則P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))，…………………………………………………

19、………………(2分) 由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.………………………………………………………………………………………(4分) ②解　由①易得，cos＝sin α，sin＝cos α. sin(α＋β)＝cos＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋co

20、s αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解　由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c. 則S＝bcsin A＝，＝bccos A＝3>0， ∴A∈，cos A＝3sin A，…………………………………………………………(10分) 又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝，cos A＝， 由cos B＝，得sin B＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝.…………………………………………(12分) 故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－

21、cos(A＋B)＝－.……………………………………(14分) 11．解　(1)依題設得f(x)＝2cos2x＋sin 2x ＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1. 由2sin＋1＝1－，得sin＝－.……………………………………(3分) ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分) (2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ (k∈Z)， 即－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)， 得函數(shù)單調增區(qū)間為 (k∈Z)．……………………………………(10分) 列表： x 0 π y 2 3 2 0 －1 0 2 描點連線，得函數(shù)圖象如圖所示： ……………………………(14分)