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1、 《平面與平面垂直的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計 周順鵬 教材分析 （1） 教材的地位和作用：《平面與平面垂直的性質(zhì)》選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》數(shù)學(xué)第二冊（人教A版）第三節(jié)第4課時，平面與平面垂直問題是平面與平面的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點，求解的關(guān)鍵是根據(jù)線與面之間的互化關(guān)系，借助創(chuàng)設(shè)輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關(guān)系把問題解決。通過對有關(guān)概念和定理的概括、證明和應(yīng)用，使學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”的觀點，提高學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力，這些都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 （2） 從知識體系看，“平面與平面垂直的性質(zhì)”是線面垂直與面面垂直內(nèi)容的延續(xù)，不僅可以

2、加深利用線面垂直證線線垂直，也可以實現(xiàn)面面垂直的證明。因此，我們可以說線面垂直關(guān)系是線線垂直關(guān)系的紐帶，通過線面垂直可以實現(xiàn)線線垂直和面面垂直的相互轉(zhuǎn)化。 一． 學(xué)情分析： （1） 學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)：在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已掌握了線線垂直、線面垂直及面面垂直的概念，判定定理，及線面垂直的性質(zhì)定理，學(xué)生已具備了對空間幾何圖形的一定水平層次的想象能力和一定的邏輯推理能力和分析問題的能力。 （2） 教學(xué)對象：高一年級的學(xué)生，已有一定的立體感，學(xué)習(xí)興趣較濃，具有一定的想象能力和分析問題、解決問題的能力。但由于年齡的原因，思維盡管活躍，敏捷，卻缺乏冷靜，深刻，因而片面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。這個階段的學(xué)生還以

3、抽象邏輯思維為主要發(fā)展趨勢，他們的思維正在從經(jīng)驗性的邏輯思維向抽象的邏輯思維發(fā)展，仍需依賴一定的具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。本課借助生活中豐富的典型實例，讓學(xué)生通過實驗、分析、猜想、歸納、論證等活動過程，從中了解和體驗空間線面、面面之間的垂直關(guān)系，在實驗、猜想和論證中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力、空間想象能力和分析問題、解決問題的能力。 （3） 從學(xué)生的認(rèn)知角度來看：學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與線面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因式利導(dǎo)，不利因素是學(xué)生的抽象概括能力和空間想象力有待提高，故采用多媒體輔助教學(xué)。 三．設(shè)計理念 長期以來，我們的課堂教學(xué)重結(jié)果，輕過程，在數(shù)學(xué)

4、教學(xué)中往往采用所謂的“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化成只會套用結(jié)論的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對新問題就束手無策。 數(shù)學(xué)是思維的體操，新課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知識的體念，必須讓學(xué)生追求過程的體念。 基于以上認(rèn)識，在設(shè)計本節(jié)課時，不是簡單地告訴學(xué)生兩個平面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容，而是創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)定理。在這個過程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問題，分析問題，解決問題的能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念。四．教學(xué)目標(biāo) ： 根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)教材的特點和本班學(xué)

5、生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為： （1）知識技能目標(biāo)：探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容及定理的證明， 掌握面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用。 （2）過程與方法目標(biāo)：通過對定理的探究和證明，向?qū)W生滲透從特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、想象、概括等邏輯推理能力及學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想。能通過實驗提出自己的猜想并能進(jìn)行論證，靈活運用知識學(xué)會分析問題、解決問題。 （3）能力目標(biāo)：以學(xué)生的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過實驗、分析、猜想、歸納、論證、運用培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，在探索空間線線、線面、面面關(guān)系過程中逐步建立空間觀念；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神，從探索中獲得成功的體驗

6、，實現(xiàn)自我價值，培養(yǎng)自信。 （4）情感目標(biāo)：進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗，激發(fā)對空間圖形研究的興趣，形成積極參與數(shù)學(xué)活動，主動與他人合作交流的意識。 五．重點、難點分析： 教學(xué)重點：平面與平面垂直的性質(zhì)定理 教學(xué)難點：靈活應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直和面面垂直，達(dá)到三者的相互轉(zhuǎn)化。 六．教法和學(xué)法分析： 1．充分利用現(xiàn)實情景，盡可能增加教學(xué)過程的趣味性、實踐性。利用多媒體課件和實物模型等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，生動活潑地展示圖形，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動手操作實驗和主動參與。通過實驗－猜想－論證－運用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力；通過豐富多彩的集體討論、小組活動，以合作學(xué)習(xí)促自主探究。

7、 2．教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)者、合作者；在本節(jié)的備課和教學(xué)過程中，為學(xué)生的動手實踐，自主探索與合作交流提供機(jī)會，搭建平臺；鼓勵學(xué)生提出自己的見解，學(xué)會提出問題，尊重學(xué)生的個人感受和獨特見解；幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們所學(xué)東西的個人意義和社會價值，作學(xué)生健康心理、健康品德的促進(jìn)者、催化劑。通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自我調(diào)適，自我選擇 七．課堂設(shè)計 （一）教學(xué)準(zhǔn)備： 教師： 制作上課用的三角板教具模型和鉛垂線；準(zhǔn)備學(xué)生用的表示平面的紙板和表示直線的木棍 設(shè)計意圖： （1）為教學(xué)實驗作準(zhǔn)備（2）讓學(xué)生更直觀、形象地感受線面關(guān)系。 （二）教學(xué)實施 活動一：（回顧已學(xué)知識）

8、1、教師實驗：檢驗教室講臺是否成水平面：讓三角板的一邊與鉛垂線重合，另一邊在講臺桌面上，請一學(xué)生檢查與桌面是否密封。轉(zhuǎn)動一下，再驗證。師：結(jié)論：桌面是水平的。問題：教師的判斷對還是錯？為什么？ 2、問題：能否將紙板放在桌面上，使它與桌面正好垂直。請說明理由 學(xué)生檢查教師實驗，回答：是密封的。 學(xué)生回答問題。 學(xué)生實驗：（可有幾種方法） 讓幾個學(xué)生通過親身實驗，體驗知識在實際的運用?；仡櫼褜W(xué)知識 設(shè)計意圖：以實驗引入課題，使學(xué)生回顧已學(xué)知識，體驗知識在實際中的運用，感受大眾的數(shù)學(xué)。同時以上設(shè)計更能激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 活動二：（創(chuàng)設(shè)情境，提出問題） 提問：觀察黑板所

9、在平面與地面垂直，黑板面內(nèi)的直線與地面都垂直嗎？先讓學(xué)生思考，然后演示實驗：將一根木棍放到黑板面內(nèi)，轉(zhuǎn)動木棍，讓學(xué)生觀察木棍與地面的關(guān)系，由學(xué)生總結(jié)，得出結(jié)論：只有當(dāng)木棍與黑板面和地面的交線垂直時，木棍才與地面垂直 設(shè)計意圖：通過問題導(dǎo)入，讓學(xué)生思考、探索　，實驗驗證得出猜想；學(xué)生的空間想象力和對幾何圖形的記憶是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要基礎(chǔ)。建立數(shù)學(xué)模型 通過實驗、猜想、歸納、論證等活動是學(xué)生主動構(gòu)建知識的一個過程。 活動三：（師生互動，探究問題） 由此得到啟發(fā)，讓學(xué)生思考：如果兩個平面互相垂直，那么在第一個平面內(nèi)垂直于交線的直線，是否垂直于第二個平面呢？ 　　先讓學(xué)生思考一段時間，然

10、后分析： 　　如圖2， ， ， ， ， 　　求證： ． 　　分析：在 內(nèi)作 ． 　　要證 ，只需證 垂直于 內(nèi)的兩條相交直線就行，而我們已經(jīng)有 ，只需尋求另一條就夠了，而我們還有 這個條件沒使用，由 定義，則 為直角，即有 ，也就有 ，問題也就得到解決．可由學(xué)生寫出證明過程． 　　學(xué)生歸納得出結(jié)論：（兩平面垂直的性質(zhì)定理）：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。 出示課題：兩平面垂直的性質(zhì)定理 活動四：（學(xué)生小結(jié)） 兩平面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意： 定理的條件有：平面垂直，線在面內(nèi)，線垂直交線 設(shè)計意圖：使學(xué)生進(jìn)一步體會性質(zhì)定理的條件，進(jìn)一步掌

11、握符號語言的運用 　 　　下面我們來看一下兩個平面垂直的性質(zhì)的另一個定理，也即課本的例2（P37）． 　　如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)． 　　已知： ， ， ， （圖3）． 　　求證： ． 　　證明：設(shè) ．過點 在平面 內(nèi)作直線 ，根據(jù)上面的定理有 ． 　　因為經(jīng)過一點只能有一條直線與平面 垂直，所以直線 應(yīng)與直線 重合． 　　∴ ． 活動五：（知識拓展） 　　例題 如圖4， 是⊙ 的直徑，點 是⊙ 上的動點，過動點 的直線 垂直于⊙ 所在平面， 、 分別是 、 的中點，直線 與平面 有什么關(guān)系？試說明理由． 　

12、　解：由 垂直于⊙ 所在平面，知 ， ，即 是二面角 的平面角．由 是直徑上的圓周角，知 ．因此，平面 平面 ．由 是△ 兩邊中點連線，知 ，故 ．由兩個平面垂直的性質(zhì)定理，知直線 與平面 垂直． 　　注意：本題也可以先推出 垂直于平面 ，再由 ，推出上面的結(jié)論． 設(shè)計意圖：運用所學(xué)知識解決問題，激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生學(xué)會主動運用所學(xué)知識解決問題 活動六：【演練反饋】 1．如圖5，在空間邊形 中， 平面 ， ， ， ．求證：（1） ；（2）平面 平面 ． 2．如圖6， 是△ 所在平面外一點， ， ， ．求證：平面 平面 ． 3．如圖7， 垂直于矩形 所在平面， 、 分別是 、 的

13、中點，二面角 為 ．求證：平面 平面 ． ［參考答案］ 1．提示：由 ， ，得 面 ，從而面 面 ，又 ，所以 面 ，所以 ，得 面 ． 2．提示：取 中點 ，連結(jié) 、 ． ， ，得 ． 3．提示：取 中點 ，連結(jié) 、 ，證明： ， ， ， ， ， 面 ， ， ， 面 ， 面 ． 活動七：［總結(jié)提煉］ 　　定義面面垂直是在建立在二面角的平面角的基礎(chǔ)上的，理解面面垂直的判定與性質(zhì)都要依賴面面垂直的定義．證明面面垂直要從尋找面的垂線入手，課本第37頁上的例2也可以當(dāng)作面面垂直的一條性質(zhì)定理，在解題時注意應(yīng)用． 設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過這堂課的學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷，給出相應(yīng)的總結(jié)。 本節(jié)課為

14、學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供多樣化的活動方式，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓積極參與。學(xué)生通過觀察、實驗、猜想、推理論證、歸納等豐富多彩的活動達(dá)到了知識的主動構(gòu)建與理解。變式練習(xí)讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)特征不只是體現(xiàn)為形式化的處理，還可以表現(xiàn)為多樣化的問題以及問題之間的自然聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換，這樣數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)就成為一個相互關(guān)聯(lián)的動態(tài)的活動系統(tǒng)。讓學(xué)生學(xué)會提出問題并去嘗試解決問題，使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法。同時，通過學(xué)生提出問題并解決問題使學(xué)生體驗成功、感受成功獲得情感的滿足。 八．【作業(yè)】 1、必做題：習(xí)題2.3A組2、5、9； 2、選做題：習(xí)題2.3B組2、3. 九．【教學(xué)反思】 很多老師往往限制于學(xué)校的教學(xué)條件，譬如多媒體、學(xué)案活頁的印刷等等.這些問題在全國普遍存在.地區(qū)的差異，使得教學(xué)水平的差異很大.教學(xué)手段也有差異.作為教師的關(guān)鍵是怎么樣能在有限的條件下，發(fā)揮自己的全部能量，這是我們老師要做到的.