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1、 《第24章 圓》 　 一、填空題 1．已知點O為△ABC的外心，若∠A=80，則∠BOC的度數(shù)為（　?。? A．40 B．80 C．160 D．120 2．點P在⊙O內(nèi)，OP=2cm，若⊙O的半徑是3cm，則過點P的最短弦的長度為（　?。? A．1cm B．2cm C． cm D． cm 3．已知A為⊙O上的點，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點P，，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。? A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法確定 4．如圖：點A、B、C、D為⊙O上的四等分點，動點P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O的路線做勻速運動．設(shè)運動的時間為t秒，∠AP

2、B的度數(shù)為y．則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當?shù)氖牵ā　。? A． B． C． D． 5．在平面直角坐標系中，以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（　?。? A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸，y軸都相離 C．與x軸相切，與y軸相離 D．與x軸，y軸都相切 6．如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30，切線CD與AB的延長線交于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為（　?。? A．2 B．4 C．2 D．4 7．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　　） A．60 B．65 C．72 D．75

3、 8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（　　） A．π B．1.5π C．2π D．2.5π 　 二、選擇題 9．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中B點坐標為（4，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標為　　． 10．如圖，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點D，則⊙A的半徑長為　　cm． 11．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學學習和解決問題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)描述

4、數(shù)量關(guān)系，往往會有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于點E，設(shè)AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長度），通過比較運動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式． 12．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　　． 13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，則AC=　　cm． 14．閱讀下面材料： 在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題： 小亮的作法如下： 老師說：“小亮的作法正

5、確．” 請你回答：小亮的作圖依據(jù)是　?。? 　 三、解答題（7+7+8+8） 15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E． 求證：（1）△ABC是等邊三角形； （2）． 16．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．《九章算術(shù)》中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”（如圖①） 閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點A，求間徑就是要求⊙O的直徑． 再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB=　　寸，CD=　　寸（一尺等于十

6、寸），通過運用有關(guān)知識即可解決這個問題．請你補全題目條件，并幫助小智求出⊙O的直徑． 17．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB； （2）點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論． 18．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度． 　 《第24章 圓》（北京市西城區(qū)重點中學） 參考答案與試題解析 　

7、 一、填空題 1．已知點O為△ABC的外心，若∠A=80，則∠BOC的度數(shù)為（　?。? A．40 B．80 C．160 D．120 【考點】三角形的外接圓與外心． 【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=160． 【解答】解：∵點O為△ABC的外心，∠A=80， ∴∠BOC=2∠A=160． 故選C． 【點評】熟練運用圓周角定理計算，即在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． 　 2．點P在⊙O內(nèi)，OP=2cm，若⊙O的半徑是3cm，則過點P的最短弦的長度為（　　） A．1cm B．2cm C． cm D． cm 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【專題】

8、計算題． 【分析】過P作AB⊥OP交圓與A、B兩點，連接OA，故AB為最短弦長，再解Rt△OPA，即可求得AB的長度，即過點P的最短弦的長度． 【解答】解：過P作AB⊥OP交圓與A、B兩點，連接OA，如下圖所示： 故AB為最短弦長， 由垂徑定理可得：AP=PB 已知OA=3，OP=2 在Rt△OPA中，由勾股定理可得： AP2=OA2﹣OP2 ∴AP==cm ∴AB=2AP=2cm 故此題選D． 【點評】本題考查了最短弦長的判定以及垂徑定理的運用． 　 3．已知A為⊙O上的點，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點P，，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。? A．點P在⊙

9、O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法確定 【考點】點與圓的位置關(guān)系． 【分析】根據(jù)題意可知點P可能在圓外也可能在圓上，也可能在圓內(nèi)，所以無法確定． 【解答】解：∵PA=，⊙O的直徑為2 ∴點P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)． 故選D． 【點評】本題考查了圓的認識，做題時注意多種情況的考慮． 　 4．如圖：點A、B、C、D為⊙O上的四等分點，動點P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O的路線做勻速運動．設(shè)運動的時間為t秒，∠APB的度數(shù)為y．則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當?shù)氖牵ā　。? A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象．

10、【分析】根據(jù)題意，分P在OC、CD、DO之間3個階段，分別分析變化的趨勢，又由點P作勻速運動，故①③都是線段，分析選項可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意，分3個階段； ①P在OC之間，∠APB逐漸減小，到C點時，為45， ②P在CD之間，∠APB保持45，大小不變， ③P在DO之間，∠APB逐漸增大，到O點時，為90； 又由點P作勻速運動，故①③都是線段； 分析可得：B符合3個階段的描述； 故選：B． 【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象與幾何變換，解決此類問題，注意將過程分成幾個階段，依次分析各個階段得變化情況，進而綜合可得整體得變化情況． 　 5．在平面直角坐標系中，以點（2，

11、3）為圓心，2為半徑的圓必定（　?。? A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸，y軸都相離 C．與x軸相切，與y軸相離 D．與x軸，y軸都相切 【考點】直線與圓的位置關(guān)系；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】本題應(yīng)將該點的橫縱坐標分別與半徑對比，大于半徑的相離，等于半徑的相切． 【解答】解：∵是以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓， 如圖所示： ∴這個圓與y軸相切，與x軸相離． 故選A． 【點評】直線與圓相切，直線到圓的距離等于半徑；與圓相離，直線到圓的距離大于半徑． 　 6．如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30，切線CD與AB的延長線交于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為（

12、　?。? A．2 B．4 C．2 D．4 【考點】切線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】連接OC，BC，AB是直徑，CD是切線，先求得∠OCD=90再求∠COB=2∠A=60，利用三角函數(shù)即可求得CD的值． 【解答】解：連接OC，BC，AB是直徑，則∠ACB=90， ∵CD是切線， ∴∠OCD=90， ∵∠A=30， ∴∠COB=2∠A=60，CD=OC?tan∠COD=2． 故選A． 【點評】本題利用了切線的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角求解． 　 7．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　　）

13、 A．60 B．65 C．72 D．75 【考點】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求． 【解答】解：連結(jié)OD，如圖， ∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形， ∴PQ=PR=QR， ∴∠POR=360=120， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠AOD=90， ∴∠DOP=90=45， ∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75． 故選D． 【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．

14、 　 8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（　　） A．π B．1.5π C．2π D．2.5π 【考點】扇形面積的計算；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】壓軸題． 【分析】圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，那么根據(jù)扇形的面積2公式計算即可． 【解答】解：圖中五個扇形（陰影部分）的面積是=1.5π 故選B． 【點評】解決本題的關(guān)鍵是把陰影部分當成一個扇形的面積來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和． 　 二、選擇題 9．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中

15、B點坐標為（4，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標為?。?，0）?。? 【考點】確定圓的條件；坐標與圖形性質(zhì)． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心． 【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心， 可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心． 如圖所示，則圓心是（2，0）． 故答案為：（2，0） 【點評】能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置． 　 10．如圖，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點D，則⊙A的半徑長為　　cm． 【考點】切線的性質(zhì)．

16、 【專題】壓軸題． 【分析】連接AD，則有AD是△ABC的斜邊上的高，可判定△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=2，利用點D是斜邊的中點，可求AD=BC=cm． 【解答】解：連接AD； ∵∠A=90，AB=AC=2cm， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=2； ∵點D是斜邊的中點， ∴AD=BC=cm． 【點評】本題利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求解． 　 11．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學學習和解決問題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)描述數(shù)量關(guān)系，往往會有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直

17、于直徑的弦的性質(zhì)過程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于點E，設(shè)AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長度），通過比較運動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式． 【考點】垂徑定理的應(yīng)用． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】此題中隱含的不等關(guān)系：直徑是圓中最長的弦，所以AB≥CD． 首先可以表示出AB=x+y，再根據(jù)相交弦定理的推論和垂徑定理，得CD=2CE=2． 【解答】解：∵直徑AB⊥弦CD于點E， ∴CE=DE， 根據(jù)相交弦定理的推論，得CE2=AE?BE，則CE=， ∴CD=2CE=2．

18、 又∵AB=x+y，且AB≥CD， ∴x+y≥2． 【點評】本題考查：直徑是圓中最長的弦；相交弦定理的推論以及垂徑定理的綜合應(yīng)用． 　 12．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　相交?。? 【考點】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】利用直線l和⊙O相切?d=r，進而判斷得出即可． 【解答】解：過點M作MD⊥AO于點D， ∵∠AOB=30，OM=6， ∴MD=3， ∴MD＜r ∴以點m為圓心，半徑為34的圓與OA的位置關(guān)系是：相交． 故答案為：相交． 【點評】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時d與r的關(guān)

19、系是解題關(guān)鍵． 　 13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，則AC=　8　cm． 【考點】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求解． 【解答】解：連接OC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． 又∵∠B=∠OAC=∠AOC， ∴∠AOC=90． ∴AC=OA=8cm． 【點評】此題綜合運用了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理以及勾股定理． 　 14．閱讀下面材料： 在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題： 小

20、亮的作法如下： 老師說：“小亮的作法正確．” 請你回答：小亮的作圖依據(jù)是　垂徑定理　． 【考點】垂徑定理的應(yīng)用；作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】利用垂徑定理得出任意兩弦的垂直平分線交點即可． 【解答】解：根據(jù)小亮作圖的過程得到：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理． 故答案是：垂徑定理． 【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及垂徑定理，熟練利用垂徑定理的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題（7+7+8+8） 15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E． 求證：（1）△ABC是等邊三角形； （2）． 【考點】等邊三角形的

21、判定；圓周角定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形； （2）再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對的角是直角這一性質(zhì)，推出30的直角三角形，根據(jù)30所對的直角邊是斜邊的一半即可證明． 【解答】證明：（1）連接OD，得OD∥AC； ∴∠BDO=∠A； 又OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB； ∴∠OBD=∠A； ∴BC=AC； 又∵AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形； （2）如上圖，連接CD，則CD⊥AB； ∴D是AB中點； ∵AE

22、=AD=AB， ∴EC=3AE； ∴AE=CE． 【點評】本題中作好輔助線是解題的關(guān)鍵，連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線作法之一．另外還要掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30的直角三角形的性質(zhì)． 　 16．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．《九章算術(shù)》中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”（如圖①） 閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點A，求間徑就是要求⊙O的直徑． 再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB=　1　寸，CD=　10　寸（一尺等于十寸），通過運用有關(guān)知識即可解決這個

23、問題．請你補全題目條件，并幫助小智求出⊙O的直徑． 【考點】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理． 【分析】根據(jù)題意容易得出AB和CD的長；連接OB，設(shè)半徑CO=OB=x寸，先根據(jù)垂徑定理求出CA的長，再根據(jù)勾股定理求出x的值，即可得出直徑． 【解答】解：根據(jù)題意得：AB=1寸，CD=10寸； 故答案為：1，10； （2）連接CO，如圖所示： ∵BO⊥CD， ∴． 設(shè)CO=OB=x寸，則AO=（x﹣1）寸， 在Rt△CAO中，∠CAO=90， ∴AO2+CA2=CO2． ∴（x﹣1）2+52=x2． 解得：x=13， ∴⊙O的直徑為26寸． 【點評】本題考查了勾股定

24、理在實際生活中的應(yīng)用；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，運用勾股定理得出方程是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB； （2）點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論． 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，弧AD的度數(shù)等于∠CPD的2倍， 可得：∠CPD=∠COB； （2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知，∠C

25、P′D=180﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵AB是直徑，AB⊥CD， ∴． ∴∠COB=∠DOB=∠COD． 又∵∠CPD=∠COD， ∴∠CPD=∠COB． （2）解：∠CP′D+∠COB=180． 理由如下：連接OD， ∵∠CPD+∠CP′D=180，∠COB=∠DOB=∠COD， 又∵∠CPD=∠COD， ∴∠COB=∠CPD， ∴∠CP′D+∠COB=180． 【點評】本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解． 　 18．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為

26、直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度． 【考點】切線的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ODE=90，根據(jù)切線的判定定理證明即可； （2）連接AD，BF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DC、CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EC，結(jié)合圖形計算即可． 【解答】（1）證明：如圖1，連接OD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60． ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B=60． ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90． ∴∠EDC=30． ∴∠ODE=90． ∴DE⊥OD于點D． ∵點D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線； （2）解：如圖2，連接AD，BF， ∵AB為⊙O直徑， ∴∠AFB=∠ADB=90． ∴AF⊥BF，AD⊥BD． ∵△ABC是等邊三角形， ∴，． ∵∠EDC=30， ∴． ∴FE=FC﹣EC=1． 【點評】本題考查的是切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵． 　 第21頁（共21頁）