《高考數(shù)學 文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題4 突破點10 空間中的平行與垂直關系 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題4 突破點10 空間中的平行與垂直關系 Word版含答案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 突破點10　空間中的平行與垂直關系 [核心知識提煉] 提煉1 異面直線的性質 (1)異面直線不具有傳遞性．注意不能把異面直線誤解為分別在兩個不同平面內的兩條直線或平面內的一條直線與平面外的一條直線． (2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直． (3)求異面直線所成角的一般步驟為：①找出(或作出)適合題設的角——用平移法；②求——轉化為在三角形中求解；③結論——由②所求得的角或其補角即為所求. 提煉2 平面與平面平行的常用性質 (1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等． (2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．

2、 (3)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行． (4)兩個平面平行，則其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面. 提煉3 證明線面位置關系的方法 (1)證明線線平行的方法：①三角形的中位線等平面幾何中的性質；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理；④線面垂直的性質定理． (2)證明線面平行的方法：①尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；②尋找面面平行，利用面面平行的性質． (3)證明線面垂直的方法：①線面垂直的定義，需要說明直線與平面內的所有直線都垂直；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質定理． (4)證明面面垂直的方法：①定義法，即證明兩個平面所成

3、的二面角為直二面角；②面面垂直的判定定理，即證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線． [高考真題回訪] 回訪1　異面直線所成的角 1．(20xx全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A　[A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交． B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

4、C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ. 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. 故選A.] 2．(20xx全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D. A　[設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

5、 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.] 回訪2　線面位置關系的性質與判斷 3．(20xx全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且

6、l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l D　[根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示． 由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.] 4．(20xx全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) ②③④　[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤．

7、對于②，由線面平行的性質定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 熱點題型1　空間位置關系的判斷與證明 題型分析：空間中平行與垂直關系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關判定定理和性質定理的應用，同時也考查了學生的空間想象能力及轉化與化歸的思想． 【例1

8、】(1)(20xx全國卷Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[法一：如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與

9、DC1垂直，故A錯． 故選C. 法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(0,1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，∴≠0，≠0，＝0，≠0，∴A1E⊥BC1. 故選C.] (2)(20xx全國卷Ⅰ)如圖101，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90. ①證明：平面PAB⊥平面PAD； ②若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱

10、錐的側面積． 圖101 [解]　①證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90， 得AB⊥AP，CD⊥PD． 1分 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 3分 又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD． 4分 ②如圖，取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD. 由①知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD． 6分 設AB＝x，則由已知可得 AD＝x，PE＝x. 故四棱錐PABCD的體積 VPABCD＝ABADPE＝x3. 由題設得x3＝，故x＝2． 8分 從而結合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD

11、＝BC＝2，PB＝PC＝2． 10分 可得四棱錐PABCD的側面積為 PAPD＋PAAB＋PDDC＋BC2sin 60＝6＋2． 12分 [方法指津] 在解答空間中線線、線面和面面的位置關系問題時，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學會找特例、反例和構建幾何模型．判斷兩直線是異面直線是難點，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線)判定．而反證法是證明兩直線異面的有效方法． 提醒：判斷直線和平面的位置關系中往往易忽視直線在平面內，而面面位置關系中易忽視兩個平面平行．此類問題可以結合長方體中的線面關系找出假命題中

12、的反例． [變式訓練1] (1)(20xx石家莊二模)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中真命題的個數(shù)為(　　) 【導學號：04024094】 A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 B　[若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或

13、相交，④錯誤，故選B.] (2)(20xx全國卷Ⅱ)如圖102，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90. 圖102 ①證明：直線BC∥平面PAD； ②若△PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積． [解]?、僮C明：在平面ABCD內，因為∠BAD＝∠ABC＝90，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD. ②如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD. 因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面

14、ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 設BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD， 所以PN＝x. 因為△PCD的面積為2，所以xx＝2. 解得x＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐PABCD的體積V＝2＝4. 熱點題型2　平面圖形的翻折問題 題型分析：(1)解決翻折問題的關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況． (2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還

15、在同一個平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化． 【例2】　(20xx全國卷Ⅱ)如圖103，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． 圖103 (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積． [解] (1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD． 1分 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF． 2分 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. 3分 (2)由EF∥AC得＝＝． 4分 由A

16、B＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 5分 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH． 6分 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′． 8分 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝． 10分 五邊形ABCFE的面積S＝68－3＝. 11分 所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝2＝． 12分 [方法指津] 翻折問題的注意事項 1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖． 2．把握

17、關系：即比較翻折前后的圖形，準確把握平面圖形翻折前后的線線關系，哪些平行與垂直的關系不變，哪些平行與垂直的關系發(fā)生變化，這是準確把握幾何體結構特征，進行空間線面關系邏輯推理的基礎． 3．準確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關數(shù)量轉化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準確進行計算的基礎． [變式訓練2]　如圖104，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M為AB的三等分點，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC. (1)在AB邊上是否存在點P，使AD∥平面MPC，請說明理由； (2)當點P為AB邊中點時，求點B到平面MPC的距離． 【導

18、學號：04024095】 圖104 [解] (1)當AP＝AB時，有AD∥平面MPC. 理由如下： 連接BD交MC于點N，連接NP． 2分 在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝. ∵在△ADB中，＝，∴AD∥PN． 4分 ∵AD?平面MPC，PN?平面MPC， ∴AD∥平面MPC． 6分 (2)∵平面AMD⊥平面MBCD， 平面AMD∩平面MBCD＝DM， 由題易知，在△AMD中，AM⊥DM， ∴AM⊥平面MBCD，又P為AB中點， ∴VPMBC＝S△MBC ＝21 ＝. 9分 在△MPC中，MP＝AB＝， MC＝，PC＝＝， ∴S△MPC＝＝. 11分 ∴點B到平面MPC的距離為＝＝． 12分