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1、淘出優(yōu)秀的你 第一周　元素與集合、集合與集合的關(guān)系 重點知識梳理 1．集合元素的三個特性：確定性，互異性，無序性． ①確定性：集合中的元素必須是明確的，不能含糊不清； ②互異性：一個集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出現(xiàn)一次； ③無序性：即一個集合中的元素出現(xiàn)沒有順序，只要兩個集合的元素完全相同，這兩個集合就是相同的． 2．元素與集合的關(guān)系：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，元素與集合是從屬關(guān)系，如a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A，a不屬于

2、集合A，記作a?A. 3．集合間的基本關(guān)系 (1)子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B. (2)真子集：如果A?B且A≠B，那就說集合A是集合B的真子集，記作AB. (3)相等：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即A＝B. (4)常用結(jié)論 ①任何一個集合是它本身的子集，即A?A； ②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A?B，B?C，那么A?C； ④如果A?B，同時B?A，那么A＝B. 典型例題剖析 例1　已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝

3、0，x∈R}，若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍． 【方法指導(dǎo)】集合A中至多有一元素，即為對應(yīng)方程至多只有一根，這樣通過討論方程根的情況來求a的取值范圍即可． 【解析】(1)當a＝0時，方程只有一個根－，則a＝0符合題意； (2)當a≠0時，關(guān)于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程，則該方程有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1}． 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0或a≤－1}． 【提示】以下解法是錯誤的： 由于集合A中至多有一個元素，則一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個相等的實數(shù)根或沒有

4、實數(shù)根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1}． 錯誤原因　方程ax2－2x－1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，則不能利用判別式Δ判斷其實根的個數(shù)． 【小結(jié)】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)會與化歸的思想，解答時將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax2－2x－1＝0的實數(shù)根的個數(shù)問題，這樣就容易解決了．同時，要注意若方程的二次項系數(shù)含有字母，則需對其是否為零進行討論． 變式訓(xùn)練　已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． (1)若A是單元素集(只含有一個元素的集合)，求a的值及集合A； (2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一個元素}． 【解析】(1

5、)當a＝0時，A＝{}，符合題意； 當a≠0時，要使方程有兩個相等的實根，則Δ＝9－8a＝0，即a＝，此時A＝{}． 綜上所述，當a＝0時，A＝{}；當a＝時，A＝{}． (2)由(1)知，當a＝0時，A＝{}含有一個元素，符合題意． 由a≠0時，要使方程有實根，則Δ＝9－8a≥0，即a≤. 綜上所述，P＝{a∈R|a使得A至少含有一個元素}＝{a|a≤}． 例2　已知－3∈A，A中含有的元素有a－3,2a－1，a2＋1，求a的值． 【解析】由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 當a－3＝－3時，a＝0； 當2a－1＝－3時，a＝－1. 經(jīng)檢驗，0與

6、－1都符合要求． ∴a＝0或a＝－1. 變式訓(xùn)練　已知互異的兩數(shù)a，b滿足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，則a＋b等于(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】D 【解析】由{a，b}＝{a2，b2}，則① 或，② 由①得， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此時集合{1,1}不滿足條件． 由②兩式相減得a2－b2＝b－a， ∵兩數(shù)a，b互異，∴b－a≠0，即a＋b＝－1， 故選D. 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍． 【解析】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{

7、x|m＋1≤x≤2m－1}， 且B?A. ①若B＝?，則m＋1>2m－1，解得m<2， 此時有B?A； ②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2， 由B?A，得， 解得2≤m≤3. 由①②得m≤3. ∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}． 【小結(jié)】對于這類含有字母參數(shù)的集合的包含關(guān)系，應(yīng)注意空集是任何集合的子集，如本題中，應(yīng)討論集合B為空集的情形． 變式訓(xùn)練　已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，集合Q＝{x|ax＋1＝0}，且Q?P，求實數(shù)a的取值構(gòu)成的集合A. 【解析】∵x2＋x－6＝0， ∴(x＋3)(x－2)＝0， 即x＝－3或x＝2. ∴P＝{－3,2}．

8、 又∵Q＝{x|ax＋1＝0}， 當a＝0時，Q＝?，滿足Q?P； 當a≠0時，有－＝－3或－＝2， ∴a＝或a＝－， 故a＝0或a＝或a＝－. ∴A＝{－，0，}． 跟蹤訓(xùn)練 1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一個元素，則a等于(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 2．集合中含有的元素個數(shù)為(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 3．若集合A＝{x|ax2＋(a－6)x＋2＝0}是單元素集合，則實數(shù)a等于(　　) A．2或18 B．0或2 C．0或18 D．0或2或18 4．已知集合A含有三個元素2,4,6，且當

9、a∈A，有6－a∈A，那么a為(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 5．集合A滿足關(guān)系式(a，b)?A?{a，b，c，d，e}，則集合A的個數(shù)是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．若非空數(shù)集A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則能使A?B成立的所有a的集合是(　　) A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．? 7．若集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B?A，則實數(shù)a＝________. 8．若集合M＝，集合N＝{2,4}，M∪N＝{1,2,4

10、}，則實數(shù)m的值的個數(shù)是________． 9．如果有一集合含有三個元素1，x，x2－x，則實數(shù)x的取值范圍是________________． 10．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，則有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值為________． 11．設(shè)集合A＝{3,3m2}，B＝{3m,3}，且A＝B，則實數(shù)m的值是________． 12．已知集合A＝{x|2a－2

11、 參考答案 1．A　當a＝0時，方程為1＝0不成立，不滿足條件； 當a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4. 故選A. 2．B　由題意，集合中的元素滿足x是正整數(shù)，且是整數(shù)，由此列出下表 x 1 2 3 4 6 12 12 6 4 3 2 1 根據(jù)表格，可得符合條件的x共有6個，即集合中有6個元素， 故選B. 3．D　a＝0時，－6x＋2＝0，x＝， 只有一個解，集合A＝{}，滿足題意． a≠0時，方程ax2＋(a－6)x＋2＝0有兩個相等實根． 判別式Δ＝0， Δ＝(a－6)2－8a＝0， a2－20a＋36＝

12、0， 解得a＝2或a＝18， ∴實數(shù)a為0或2或18. 故選D. 4．B　集合A含有三個元素2,4,6，且當a∈A，有6－a∈A， a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a＝4， 綜上所述，a＝2,4. 故選B. 5．D　由題意知集合A中的元素a，b必取， 另外可從c，d，e中取，滿足題意的集合A的個數(shù)等于集合{c，d，e}的子集個數(shù)，因為{c，d，e}的子集個數(shù)為23＝8，則集合A的個數(shù)是8. 故選D. 6．B 7．0或1 8．4 9．x≠0,1,2， 解析　由集合元素的互異性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠

13、0,1,2，. 10．(0,1)或(，) 解析　∵M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N， ∴或， 即或或， 當a＝0，b＝0時，集合M＝{2,0,0}不成立， ∴有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值為(0,1)或(，) 故答案為(0,1)或(，)． 11．0 解析　依題意，3m＝3m2，所以m＝0或m＝1.當m＝1時，違反元素互異性(舍去)． 12．解析　由已知A?B可得， (1)當A＝?時，有2a－2≥a＋2?a≥4. (2)當A≠?時，由A?B得?. 綜合(1)(2)，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥4或0≤a<1}． 13．解析　∵a∈A，則∈A， ∴＝－∈A， 進而有＝∈A， ∴又有＝a∈A. ∵a∈R，∴a≠－. 假設(shè)a＝，則a2＝－1，矛盾， ∴a≠. 類似方法可得a、、－和四個數(shù)互不相等， 故集合A中至少有四個元素． 7