《小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練3[共24頁]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練3[共24頁]（24頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練--幾何部分 數(shù)學(xué)網(wǎng)為廣大小學(xué)生和家長(zhǎng)整理的“小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練系列”，包括計(jì)算、幾何、應(yīng)用題、雜題以及各部分練習(xí)題，每部分都有100道精選例題及講解，以提高廣大小學(xué)生的綜合解題能力。本篇為幾何部分。 小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何初步知識(shí)，不僅要掌握一些基本的平面圖形和立體圖形的性質(zhì)、特征，還要會(huì)求這些平面圖形的周長(zhǎng)、面積及這些立體圖形的表面積、體積，而且還要會(huì)綜合地、巧妙地運(yùn)用這些知識(shí)來進(jìn)行計(jì)算。特別是計(jì)算一些組合圖形的面積時(shí)，常常用到割補(bǔ)、剪拼、平移、翻轉(zhuǎn)等辦法，使得計(jì)算巧妙、簡(jiǎn)便。要學(xué)會(huì)這些方法，應(yīng)用這些方法。通過解幾何題的訓(xùn)練，更好地培養(yǎng)空間想象力，這對(duì)

2、學(xué)好小學(xué)幾何初步知識(shí)是極有利的，同時(shí)也為將來到中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，打下良好而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 　　例21 下圖中圓O的面積和長(zhǎng)方形OABC的面積相等。已知圓O的周長(zhǎng)是9.42厘米，那么長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)是多少厘米？ 　　分析與解 題中告訴我們，圓O的面積和長(zhǎng)方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于πrr，而圖中圓O的半徑恰好是長(zhǎng)方形的寬，因此長(zhǎng)方形OABC的長(zhǎng)正好是πr，即圓O的周長(zhǎng)的一半。而長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于2個(gè)長(zhǎng)與2個(gè)寬的和，也就是圓O的周長(zhǎng)與直徑的和。 　　長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)是： 　　9.42+9.423.14 　　=9.42+3 　　=12.42（厘米） 　　

3、答：長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)是12.42厘米。 　　例22 桌面上有一條長(zhǎng)80厘米的線段，另外有直徑為1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圓形紙片若干張，現(xiàn)在用這些紙片將桌上線段蓋住，并且使所用紙片圓周長(zhǎng)總和最短，問這個(gè)周長(zhǎng)總和是多少厘米？ 　　分析與解 要想蓋住桌上線段，并且使所用紙片圓周長(zhǎng)總和最短，那么蓋住線段的圓形紙片應(yīng)該是互不重疊，一個(gè)挨一個(gè)地排開，這時(shí)若干個(gè)圓形紙片直徑的總和正好是80厘米。這些圓形紙片周長(zhǎng)的總和與直徑為80厘米的圓的周長(zhǎng)相等，因此蓋住桌子上線段的若干個(gè)圓形紙片的周長(zhǎng)總和是： 　　3.1480=251.2（厘米） 　　答：這個(gè)周長(zhǎng)總和是251.2厘米。

4、 　　例23 圖2為三個(gè)同心圓形的跑道，跑道寬1米。某人沿每條圓形跑道的中間（虛線所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？ 　　分析與解 根據(jù)題意，要求某人一共跑了多少米，就是求半徑分別為1.5米、2.5米和3.5米的三個(gè)圓的周長(zhǎng)之和。列式為 　　3.14（1.52）+3.14（2.52）+3.14（3.52） 　　＝3.143+3.145+3.147 　　=3.14（3+5+7） 　　=3.1415 　　=47.1（米） 　　還可以這樣思考： 　　如果這個(gè)人拿著一個(gè)1米寬的拖把，邊跑邊拖地，他跑了1個(gè)圓圈，就把這一圈的跑道全拖干凈。那么他跑了3個(gè)圓圈，就把這三條圓形

5、跑道全拖干凈了。他共拖了3個(gè)環(huán)形面積的地。這3個(gè)環(huán)形面積的總和是 　　3.14（42-32）+3.14（32-22）+3.14（22-12） 　　=3.14（42-32+32-22+22-12） 　　=3.14（42-12） 　　=3.14-[（4+1）（4-1）] 　　=3.1415 　　=47.1（平方米） 　　當(dāng)然，也可以直接列式：3.14（42-12）=47.1（平方米） 　　因?yàn)榕艿缹?米，這個(gè)人拖完47.1平方米，那么他就前進(jìn)了47.1米。 　　答：一共跑了47.1米。 　　這里列舉的只是某人跑了3個(gè)圓形跑道。如果將題改為跑100個(gè)這樣的圓形跑道，那么用后面介紹

6、的解法計(jì)算他跑步的總長(zhǎng)度，就簡(jiǎn)捷多了。 　　解法如下： 　　3.14（1012-12） 　　=3.14（101+1）（101-1） 　　=3.14102100 　　=32028（平方米） 　　因?yàn)榕艿缹?米，所以共跑了32028米。 　　例24 在面積是40平方厘米的正方形中，有一個(gè)最大的圓（如圖3）。這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？ 　　分析與解 要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長(zhǎng)的一半，也就是圖中圓的半徑。對(duì)小學(xué)生來講，從正方形的面積求正方形的邊長(zhǎng)，還不會(huì)直接計(jì)算。 　　可以這樣思考： 　　把正方形平均分成4份（如圖

7、4）。每個(gè)小正方形的面積是404=10平方厘米。小正方形的邊長(zhǎng)恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是10平方厘米。這樣就可以求出圓的面積是3.1410=31.4平方厘米了。 　　答：圖中圓面積是31.4平方厘米。 　　例25 圖5由正方形ABCD和長(zhǎng)方形EFDG部分重疊而成。正方形的邊長(zhǎng)是247.8厘米；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是292.404厘米、寬是210厘米，正方形和長(zhǎng)方形哪個(gè)面積大？ 　　分析與解 要比較正方形ABCD和長(zhǎng)方形EFDG面積的大小，方法是分別算出它們的面積再進(jìn)行比較。從題中給出的數(shù)據(jù)看，確實(shí)給計(jì)算帶來麻煩。 　　只要在AF兩點(diǎn)間連一條線段（如圖6），就會(huì)發(fā)現(xiàn)，三角形

8、AFD的面積是正方形 ABCD面積的一半，同時(shí)也是長(zhǎng)方形EFDG面積的一半，所以正方形ABCD和長(zhǎng)方形EFDG的面積一樣大。這樣，也就不用計(jì)算這兩個(gè)圖形的面積了。 　　例26 圖7由半圓和等腰直角三角形重疊而成。已知等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為4厘米，求圖中陰影面積。 　　分析與解 如果分別算出兩個(gè)陰影部分的面積，再把它們加起來，以便求出圖中陰影部分的總面積，那就太復(fù)雜了。 　　根據(jù)題中的條件，我們可以把圖中弓形陰影剪下來拼（或旋轉(zhuǎn)）成圖8。 　　從圖8不難看出，題中要求的陰影部分的面積就是三角形 ABC面積的一半。 　　圖中的陰影面積是： 　　（442）2=4（平方厘米） 　

9、　答：圖中陰影面積是4平方厘米。 　　例27 有5個(gè)正方形（如圖9），邊長(zhǎng)分別是1米、2米、3米、4米、5米。問圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是幾比幾？ 　　分析與解 觀察已知圖形，顯然，先計(jì)算出白色面積比較簡(jiǎn)單。 　　白色部分面積是：（22-12）+（42-32）=10（平方米） 　　陰影部分面積是：52-10=15（平方米） 　　因此，白色部分面積與陰影部分面積之比是：10∶15，即2∶3。 　　還可以這樣想：作正方形的對(duì)角線AD和BC，兩條對(duì)角線相交于O，于是兩條對(duì)角線把正方形平均分成四部分（如圖10）。 　　要計(jì)算整個(gè)圖形中白色部分面積與陰影部分面積的比，只需計(jì)算

10、三角形AOB中白色部分面積與陰影部分面積的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和陰影的兩部分圖形都看作是一些梯形，其中把最上端的小陰影三角形看作是上底為O的梯形。這些梯形的高都相等，所以這些梯形面積之比就是這些梯形上、下底的和之比。 　　從小到大，5個(gè)梯形面積比是： 　　1∶（1+2）∶（2+3） 　　∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9 　　因此，圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3 　　答：圖中白色部分面積與陰影部分面積比是2∶3。 　　例28 有一個(gè)直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF

11、的面積比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，那么ED長(zhǎng)多少厘米？ 　　分析與解 連接DB（圖12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面積也大17.4平方厘米。 　 　　三角形BDE的面積是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面積等于EDBC1/2 　　即ED61/2=6.6 　　所以ED長(zhǎng)是2.2厘米。 　　答：ED的長(zhǎng)是2.2厘米。 　　例29 圖13由4個(gè)正六邊形拼成，每個(gè)正六邊形的面積都是6，那么三角形ABC的面積是多少？ 　　分析與解 首先連接每個(gè)正六邊形的對(duì)角線，將每個(gè)六邊形平均分成

12、六個(gè)小的正三角形（如圖14），那么每一個(gè)小三角形的面積都是1。 　　由圖14不難看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA組成的，其中三角形DEF的面積是4，而其它的三個(gè)三角形面積都相等。 　　先看三角形ABE。它正好是平行四邊形AGBE的一半，而平行四邊形AGBE的面積是6，因此，三角形ABE的面積是3。當(dāng)然，三角形BDC和三角形CFA的面積也是3。 　　由此得出三角形ABC的面積是 　　4+33=13 　　答：三角形ABC的面積是13。 　　例30 已知圖15中正方形ABCD的面積是256平方厘米，那么正方形EFGH的面積是多少平方厘米？

13、 　　分析與解 將圖15中正方形A0′B′C′D′旋轉(zhuǎn)成圖16。由圖中不難看出：正方形 A′ B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的1/2；正方形EFGH的面積是正方形A′B′C′D′的面積的1/2。因此，正方形 　　 　　已知正方形ABCD的面積是256平方厘米，所以正方形EFGH的面積是 　　答：正方形EFGH的面積是64平方厘米。 　　例31 圖17是一個(gè)正方形地板磚示意圖，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中間小正方形 EFGH的面積是16平方厘米，四塊藍(lán)色的三角形的面積總和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面積是多少平

14、方厘米？ 　　 　　分析與解 連AC和BD兩條大正方形的對(duì)角線，它們相交于O，然后將三角形AOB放在DPC處（如圖18和圖19）。 　 　　已知小正方形EFGH的面積是16平方厘米，所以小正方形EFGH的邊長(zhǎng)是4厘米。 　　又知道四個(gè)藍(lán)色的三角形的面積總和是72平方厘米，所以兩個(gè)藍(lán)色三角形的面積是722=36平方厘米，即圖19的正方形OCPD中的小正方形的面積是36平方厘米，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的邊長(zhǎng)是4+6=10厘米，當(dāng)然正方形OCPD的面積就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面積恰好是正方形ABCD的面積的一半，因此正方形ABC

15、D的面積是200平方厘米。 　　答：正方形ABCD的面積是200平方厘米。 　　例32 一個(gè)任意凸六邊形ABCDEF，P、Q、M、N分別為AB、BC、DE和EF邊上的中點(diǎn)。已知陰影部分的面積是100平方厘米，那么六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？ 　　分析與解 連接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中點(diǎn)，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面積相等。 　　同理，由于N為EF中點(diǎn)，所以三角形FNB和三角形 ENB的面積相等；由于M為DE中點(diǎn)，所以三角形DMB和三角形EMB的面積相等；由于Q為BC中點(diǎn)，所以三角形BQD

16、和三角形CQD的面積相等。 　　由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。 　　而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=陰影面積=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面積=100平方厘米。 　　因此，六邊形 ABCDEF的面積為1002=200平方厘米。 　　答：六邊形ABCDEF的面積是200平方厘米。 　　例33 圖21是一個(gè)圓形鐘面，圓周被平均分成了12等份。已知圓形的半徑是6厘米，那么圖中陰影的面積是多少平方厘米？ 　　分析與解

17、題中告訴我們：圓周被平均分成了12等份，因此連接OE， 　 　　由圖中不難看出：三角形AOB與三角形EOB是等底同高的三角形，這兩　 　　的面積相等。 　　于是圖中陰影的面積是： 　　 　　答：陰影的面積是18.84平方厘米。例34圖 23中四邊形ABCD是一個(gè)正方形。E、F分別為CD和BC邊上的中點(diǎn)。已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是30厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？ 　　分析與解 已知四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD邊與BC邊上的中點(diǎn)，因此，三角形BCE和三角形DCF面積相等。這兩個(gè)三角形的面積各自減去四邊形GFCE的面積，各自剩下的三角形GBF和三角形

18、GDE面積還是相等的。 　　連接GC（如圖24），三角形GBF面積和三角形GCF的面積是相等的，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形等底同高。同理，三角形GCE面積和三角形GDE的面積也是相等的。而三角形GBF的面積和三角形GDE的面積相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面積的四個(gè)三角形。 　　因?yàn)槿切蜝CE的面積等于正方形ABCD面積的1/4，所以圖中空白部分的面積，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面積之和為正方形ABCD面積的 　　從而得出圖中陰影部分的面積為正方形ABCD面積的 　　那么陰影部分的面積是： 　　答：

19、圖中陰影部分的面積是600平方厘米。 　　例35 為了美化校園，東升小學(xué)用鮮花圍成了兩個(gè)圓形花壇。小圓形花壇的面積是3.14平方米，大圓形花壇的半徑是小圓形花壇半徑的2倍。大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大多少平方米？ 　　分析與解 我們知道圓的面積與半徑的平方成正比。題中告訴我們，大圓的半徑是小圓半徑的2倍，那么大圓面積是小圓面積的22倍。 　　大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大 　　3.14（22-1） 　　=3.143 　　=9.42（平方米） 　　答：大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大9.42平方米。 　　例36 有兩個(gè)長(zhǎng)方形，甲長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是98769厘米，寬是9

20、8765厘米；乙長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是98768厘米，寬是98766厘米。這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積哪個(gè)大？ 　　分析與解 利用長(zhǎng)方形面積公式，直接計(jì)算出面積的大小，再進(jìn)行比較，這是可行的，但是計(jì)算太復(fù)雜了。 　　可以利用乘法分配律，將算式變形，再去比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小，這就簡(jiǎn)便多了。 　　甲長(zhǎng)方形的面積是： 　　9876998765 　　=9876898765+98765 　　乙長(zhǎng)方形的面積是 　　9876898766 　　=9876898765+98768 　　比較9876898765+98765與9876898765+98768的大小，一眼便能看出：甲長(zhǎng)方形的面積小，乙長(zhǎng)方形的面積大

21、。 　　還有如下一種思考解答方法。 　　請(qǐng)先看看下面的事實(shí)。 　　周長(zhǎng)相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬的差越大，則面積就越小；反之，長(zhǎng)與寬之差越小，則面積就越大。當(dāng)然，當(dāng)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬之差為0時(shí)，也就是為正方形時(shí)，面積則最大。 　　假設(shè)有兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20厘米，那么周長(zhǎng)的一半，也就是長(zhǎng)與寬的和，是10厘米，列舉出一部分長(zhǎng)、寬的大小與面積的關(guān)系，就會(huì)得出上面所講的事實(shí)是存在的，并且是正確的。 　　我們?cè)倩氐皆}。甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是相等的（當(dāng)然它們的周長(zhǎng)也相等），即 　　98769+98765=98768+98766 　　而甲長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的差是： 　　98769-9876

22、5=4（厘米） 　　乙長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的差是： 　　98768-98766=2（厘米） 　　因?yàn)?厘米＞2厘米，所以甲長(zhǎng)方形的面積小，乙長(zhǎng)方形的面積大。 　　答：乙長(zhǎng)方形的面積大。 　　例37 一個(gè)紅色的正方形ABCD，它的邊長(zhǎng)是1993厘米；另一個(gè)紅色的正方形A′B′C′D′，它的邊長(zhǎng)是 1994厘米。一個(gè)綠色正方形EFGH，它的邊長(zhǎng)是1992厘米，另一個(gè)綠色正方形E′F′G′H′，它的邊長(zhǎng)是1995厘米。問兩個(gè)紅色的正方形的面積大，還是兩個(gè)綠色的正方形面積大？ 　　分析與解 要比較兩個(gè)紅色的正方形面積大，還是兩個(gè)綠色的正方形面積大，可以先分別算出它們的面積，然后再進(jìn)行比較。不過

23、這樣計(jì)算起來就太復(fù)雜了。 　　可以這樣比較它們的大小： 　　先將紅色正方形ABCD與綠色正方形EFGH重疊在一起（如圖26）。 　　從圖26不難看出，紅色正方形ABCD的面積比綠色正方形EFGH的面積大的平方厘米數(shù)是： 　　11992+11+11992=21992+1 　　再將紅色正方形A′B′C′D′與綠色正方形E′F′G′H′重疊在一起（如圖27）。 　　從圖27不難看出，紅色正方形A′B′C′D′的面積比綠色正方形E′F′G′H′的面積小的平方厘米數(shù)是： 　　11994+11+11994 　　=21994+1 　　而21994+1＞21992+1，也就是說綠色正

24、方形E′F′G′H′比紅色正方形A′B′C′D′大的面積數(shù)超過紅色正方形ABCD比綠色正方形EFGH大的面積數(shù)。因此兩個(gè)綠色正方形的面積大。 　　答：兩個(gè)綠色正方形的面積大。 　　例38 在長(zhǎng)方形ABCD中，AE的長(zhǎng)度與ED的長(zhǎng)度的比是8∶5；BF的長(zhǎng)度與FC的長(zhǎng)度的比是11∶7。那么涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積相比較，哪個(gè)大？ 　 　　分析與解 要比較涂紅色的兩塊圖形的面積大，還是涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積大，只要比較三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因?yàn)檫@兩個(gè)三角形各自減去重疊的那塊四邊形，剩下的就是兩個(gè)涂紅色的圖形和兩個(gè)涂藍(lán)色的圖形了。 　　因?yàn)锳BCD是

25、長(zhǎng)方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是長(zhǎng)方形ABCD的寬，所以比較三角形AEC和三角形BDF的大小時(shí)，只要比較AE和BF的大小就可以了。 　　根據(jù)已知，AE的長(zhǎng)度與ED的長(zhǎng)度的比是8∶5，那么AE的長(zhǎng)度就占 　 　　即AE＞BF，從而得出三角形AEC的面積大于三角形BDF的面積。 　　因此，涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積。 　　答：涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積。 　　例39 一塊長(zhǎng)方形小麥田，被互相垂直的兩條直線分成A、B、C、D四部分。A的地積是45公畝，B的地積是20公畝，C的地積是36公畝。那么，D有多少公畝？ 　　分析與解

26、觀察圖29不難發(fā)現(xiàn)，B與C的長(zhǎng)是相等的，因此，B與C地積的比就是它們寬的比。A與D的長(zhǎng)也是相等的，因此，A與D地積的比也是它們寬的比。而A與B，C與D的寬分別相等，于是 　　A∶D=B∶C 　　即 45∶D=20∶36 　　 　　D=81 　　答：D有81公畝。 　　例40 有50個(gè)表面涂有紅漆的正方體，它們的棱長(zhǎng)分別是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米，將這些正方體鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，得到的小正方體中，至少有一個(gè)面是紅色的小正方體共有多少個(gè)？ 　　分析與解 棱長(zhǎng)為1厘米涂有紅漆的小正方體，不用鋸，就是棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它當(dāng)然是至少有一個(gè)面是紅色的

27、小正方體了。 　　將棱長(zhǎng)為3厘米的涂有紅漆的小正方體，鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共得到33個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（3-2）3個(gè)。 　　將棱長(zhǎng)為5厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共得53個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（5-2）3個(gè)。 　　將棱長(zhǎng)為7厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共得73個(gè)，其中沒有涂紅漆的共（7-2）3個(gè)。 　　由以上分析、計(jì)算發(fā)現(xiàn)，將校長(zhǎng)為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四個(gè)正方體鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體后，得到至少有一個(gè)面為紅色的小正方體共有 　　13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3 　　=13+3

28、3-13+53-33+73-53 　　=13+33+53+73-13-33-53=73=343（個(gè)） 　　按照這樣的規(guī)律可得，將棱長(zhǎng)為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米這50個(gè)正方體鋸成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體后，得到至少有一個(gè)面為紅色的小正方體共有： 　　13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（個(gè)） 　　答：至少有一個(gè)面是紅色的小正方體共有970299個(gè)。 　　例41 有棱長(zhǎng)為 1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方體102個(gè)，把它們的表面都涂上紅漆，晾干后把這102個(gè)

29、正方體都分別截成1立方厘米的小正方體，在這些小正方體中，只有2個(gè)面有紅漆的共有多少個(gè)？ 　　分析與解 根據(jù)題意，首先應(yīng)該想到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體，都在原來大正方體的棱上。原來棱長(zhǎng)是1厘米、2厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得不到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體。棱長(zhǎng)是3厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，大正方體的每條棱上都有1個(gè)小正方體只有2個(gè)面有紅漆。每個(gè)正方體有12條棱，因此可得到 12個(gè)只有 2個(gè)面有紅漆的小正方體，即共有（3-2）12個(gè)。 　　棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得到只有 2個(gè)面有紅漆的小正方體共（4-2）12個(gè)。 　　

30、依此類推，可得出，將這102個(gè)正方體截成1立方厘米小正方體后，共得到只有2個(gè)面有紅漆的小正方體的個(gè)數(shù)是： 　　[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]12 　　=[1+2+3+……+100]12 　　 　　=60600 　　答：只有2個(gè)面有紅漆的小正方體共有60600個(gè)。 　　例42 有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，長(zhǎng)125厘米，寬40厘米，高25厘米。把它鋸成若干個(gè)體積相等的小正方體，然后再把這些小正方體拼成一個(gè)大正方體。這個(gè)大正體的表面積是多少平方厘米？ 　　分析與解 一般說來，要求正方體的表面積，一定要知道正方體的棱長(zhǎng)。題中已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，同正方體的棱長(zhǎng)又沒有

31、直接聯(lián)系，這樣就給解答帶來了困難。我們應(yīng)該從整體出發(fā)去思考這個(gè)問題。 　　按題意，這個(gè)長(zhǎng)方體木塊鋸成若干個(gè)體積相等的小正方體后，又拼成一個(gè)大正方體。這個(gè)大正方體的體積和原來長(zhǎng)方體的體積是相等的。已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，就可以求出長(zhǎng)方體的體積，這就是拼成的大正方體的體積。進(jìn)而可以求出正方體的棱長(zhǎng)，從而可以求出正方體的表面積了。 　　長(zhǎng)方體的體積是 　　1254025=125000（立方厘米） 　　將 125000分解質(zhì)因數(shù)： 　　125000=222555555 　　=（255）（255）（255） 　　可見大正方體的棱長(zhǎng)是 　　255=50（厘米） 　　大正方體的表面積是

32、　　50506=15000（平方厘米） 　　答：這個(gè)大正方體的表面積是15000平方厘米。 　　例43 一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)2分米。沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體60塊（如圖30）。這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方分米？ 　　分析與解 解答這道題的最直接的想法是將這大大小小的60個(gè)長(zhǎng)方體形狀的小木塊的表面積分別計(jì)算出來，然后再求出總和，這樣做是可以的，但計(jì)算極為復(fù)雜。因此解答這題時(shí)，應(yīng)從整體出發(fā)，這樣，問題就簡(jiǎn)單多了。 　　這個(gè)正方體形木塊在未鋸成60個(gè)長(zhǎng)方體形狀的小木塊前，共有6個(gè)面，每個(gè)面的面積是22=4平方分米，6個(gè)面

33、共24平方分米。不管后來鋸成多少塊小長(zhǎng)方體，這6個(gè)面的24平方分米的面積總是后來的小長(zhǎng)方體的表面積的一部分。 　　現(xiàn)在我們來考慮將木塊每鋸一刀的情況。顯然，每鋸一刀就會(huì)增加2個(gè)4平方分米的表面積，根據(jù)題意，現(xiàn)在一共鋸了2+3+4=9刀，共增加了18個(gè)4平方分米的表面積。 　　因此，這60塊大大小小的長(zhǎng)方體的表面積總和是 　　24+418=96（平方分米） 　　或列式為 　　22[6+（2+3+4）2] 　　=4[6+18] 　　=424 　　=96（平方分米） 　　答：60塊長(zhǎng)方體表面積的和是96平方分米。 　　例44 一個(gè)圓柱體，底面半徑是5厘米，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是100平方厘米。它的體積是多少立方厘米？ 　　分析與解 一般的解法是先求出圓柱體的高和底面積，再求圓柱體的體積。 　　圓柱體的高： 　　 　　圓柱體的底面積： 　　3.1452=78.5（平方厘米） 　　圓柱體的體積： 　　　 　　我們已知學(xué)過，用切拼的方法，可以把一個(gè)圓柱體切拼成一個(gè)與它等體積的近似的長(zhǎng)方體（如圖31） 　　觀察圖31不難發(fā)現(xiàn)，圓柱體的體 　　積等于側(cè)面積的一半與底面半徑的乘積，即 　　用這個(gè)式子計(jì)算題中圓柱體的體積，就比用一般的方法計(jì)算要簡(jiǎn)便多了。 　　 　　答：圓柱體的體積是250立方厘米。