《數(shù)列大題訓(xùn)練50題[共32頁]》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)列大題訓(xùn)練50題[共32頁]（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù)列大題訓(xùn)練50題 數(shù)列大題訓(xùn)練50題 1 ．?dāng)?shù)列{}的前n項和為，且滿足，. （1）求{}的通項公式； （2）求和Tn =. 2 ．已知數(shù)列，a1=1，點在直線上. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）函數(shù)，求函數(shù)最小值. 3 ．已知函數(shù) (a，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點P（1，）和Q（4，8） (1) 求函數(shù)的解析式； (2) 記an=log2,n是正整數(shù)，是數(shù)列{an}的前n項和，求的最小值。 4 ．已知y＝f(x)為一次函數(shù)，且f(2)、f(5)、f(4)成等比數(shù)列，f(8)＝15． 求＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表達式． 5 ．設(shè)數(shù)列的前項和為，

2、且，其中是不等于和0的實常數(shù). （1）求證: 為等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，試寫出 的通項公式，并求的結(jié)果. 6 ．在平面直角坐標(biāo)系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，滿足向量與向量共線，且點Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率為6的同一條直線上. (1)試用a1,b1與n來表示an; (2)設(shè)a1=a,b1=-a,且12

3、．已知數(shù)列 （I）試求a2，a3的值； （II）若存在實數(shù)為等差數(shù)列，試求λ的值. 9 ．已知數(shù)列的前項和為，若， （1）求數(shù)列的通項公式; （2）令，①當(dāng)為何正整數(shù)值時，：②若對一切正整數(shù)，總有，求的取值范圍。 10．已知數(shù)列的前n項和是n的二次函數(shù)，滿足且 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列滿足，求中數(shù)值最大和最小的項. 12．已知數(shù)列中，，且當(dāng)時， （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若的前項和為，求。 13．正數(shù)數(shù)列的前項和，滿足，試求：（I）數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，數(shù)列的前項的和為，求證：。 14．已知函數(shù)=,數(shù)列中,2an+1－2an+an+1an

4、=0，a1=1,且an≠0, 數(shù)列{bn}中, bn=f(an－1) （1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列{bn}的通項公式； (3)求數(shù)列{}的前n項和Sn. 15．已知函數(shù)＝abx的圖象過點A（4，）和B（5，1）． （1）求函數(shù)解析式； （2）記an＝log2 n∈N*，是數(shù)列的前n項和，解關(guān)于n的不等式 16．已知數(shù)列的前項的和為，且，. （1）求證：為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項公式． 17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，滿足向量與向量共線，且點都在斜率6的同一條直線上. （1）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）試用與n來表示； （3）設(shè)，且12，求數(shù)

5、中的最小值的項. 18．設(shè)正數(shù)數(shù)列{}的前n項和滿足． （I）求數(shù)列{}的通項公式； （II）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和． 19．已知等差數(shù)列{an}中，a1=1,公差d>0，且a2、a5、a14分別是等比數(shù)列{bn}的第二項、第三項、第四項. (Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項an、bn; (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，均有+…＋＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值. 20．已知數(shù)列{}滿足，且 （1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的通項公式； （3）設(shè)數(shù)列{}的前項之和，求證：。 21．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為=2n2，{bn}為等比數(shù)

6、列，且a1=b1，b2(a2 －a1) =b1。 （1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； （2）設(shè)cn=, 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 22．已知函數(shù)與函數(shù)＞0)的圖象關(guān)于對稱. (1) 求; (2) 若無窮數(shù)列滿足,且點均在函數(shù)上,求的值,并求數(shù)列的所有項的和(即前項和的極限)。 23．已知函數(shù) （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若數(shù)列的前n項和 24．已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列　 （I）證明：； （II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列； （III）求和：　 25．已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中n

7、=1，2，3，… （1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列； （2）設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求數(shù)列｛an｝的通項及Tn； 26．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，． (1)求數(shù)列的通項公式； (2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項的和． 27．已知向量且.若與共線, （1）求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 28．已知：數(shù)列滿足. （1）求數(shù)列的通項； （2）設(shè)求數(shù)列的前n項和Sn. 29．對負整數(shù)a，數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列. （1）求a的值； （2）若數(shù)列滿足首項為，①令，求的通項公式；②若對任意，求取值

8、范圍. 30．?dāng)?shù)列 （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列{}的通項公式； （3）若 31．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上。 （Ⅰ）、求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）、設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m； 32．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足 （Ⅰ）判斷是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； （Ⅱ）求Sn和an 20070209 （Ⅲ）求證： 33．若和分別表示數(shù)列和的前項和，對任意正整數(shù)有。 （1）求； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)集合，若等差數(shù)列的任一項是的最大數(shù)，且，求的通項公

9、式。 34．已知點列在直線l：y = 2x + 1上，P1為直線l與 y軸的交點，等差數(shù)列{an}的公差為 （Ⅰ）求{an}、{bn}的通項公式； （Ⅱ），求和：C2 + C3 + … +Cn； （Ⅲ）若，且d1 = 1，求證數(shù)列為等比數(shù)列：求{dn}的通項公式 35．已知數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足. （Ⅰ）求證：數(shù)列成等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前n項和； （Ⅲ）若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 36．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn（），且 （1）求證：是等差數(shù)列； （2）求an； （3）若，求證： 37．已知 （Ⅰ）當(dāng)，時，問

10、分別取何值時，函數(shù)取得最大值和最小值，并求出相應(yīng)的最大值和最小值； （Ⅱ）若在R上恒為增函數(shù)，試求的取值范圍; （Ⅲ）已知常數(shù)，數(shù)列滿足,試探求的值，使得數(shù)列成等差數(shù)列． 38．在數(shù)列 （I）求數(shù)列的通項公式； （II）求證： 39．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為，且對任意正實數(shù)x，y都有恒成立，已知 （1）求的值； （2）判斷上單調(diào)性； （3）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和，求Sn與an的值. 40．已知定義在（－1,1）上的函數(shù)f (x)滿足，且對x,y時，有。 （I）判斷在(－1，1)上的奇偶性，并證明之； （II）令，求數(shù)列的通

11、項公式； （III）設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和，問是否存在正整數(shù)m，使得對任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說明理由。 41．已知，且 （1）求的表達式； （2）若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間（-，-1]上的最小值為12，求的值。 42．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的整點個數(shù)為 。（整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點） （I）求數(shù)列的通項公式； （II）記數(shù)列的前n項和為，且，若對于一切的正整數(shù)n，總有，求實數(shù)m的取值范圍。 43．在數(shù)列中，，其中 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和； （Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立 44．設(shè)數(shù)列{an}是首

12、項為4，公差為1的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且 （I）求{an}及{bn}的通項公式an和bn. （II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由； （III）若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，求正數(shù)a的取值范圍. 45．函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項和為． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)； （Ⅲ）若，求數(shù)列的最大項． 46．設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，它的前項的和為，點在函數(shù)的圖像上；數(shù)列滿足．其中． ⑴求數(shù)列和的通項公式； ⑵設(shè)，求證：數(shù)列的前項的和（）． 47．設(shè)數(shù)列； （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的

13、公比求數(shù)列的通項公式； （3）記； 48．已知二次函數(shù)滿足，且對一切實數(shù)恒成立. （1）求 （2）求的表達式； （3）求證：. 49．在數(shù)列中，，， （Ⅰ）若對于，均有成立，求的值； （Ⅱ）若對于，均有成立，求的取值范圍； （Ⅲ）請你構(gòu)造一個無窮數(shù)列，使其滿足下列兩個條件，并加以證明： ① ； ② 當(dāng)為中的任意一項時，中必有某一項的值為1. 50．對任意都有 （Ⅰ）求和的值． （Ⅱ）數(shù)列滿足：=+，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明； （Ⅲ）令試比較與的大?。? 數(shù)列大題訓(xùn)練50題 參考答案 1 ．解：（1） ∵ ，兩式相減，得， ∴ ， ∴.

14、 （2） = ==. 2 ．解 （1）∵在直線x－y+1=0上， ∴ 故是首項為1，公差為1的等差數(shù)列. ∴ （2）∵ ∴ ∴的最小值是 3 ．解：(1)因為函數(shù)f(x)=abx(a,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點P，Q則有 (2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5 因為an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ; 所以{an}是首項為-3，公差為 2的等差數(shù)列 所以 當(dāng)n=2時，取最小值 - 4 4 ．解：設(shè)y＝f(x)＝kx＋b( k≠0)，則f(2)＝2k＋b，f

15、(5)＝5k＋b，f(4)＝4k＋b， 依題意：[f(5)]2＝f(2)f(4)． 即：(5k＋b)2＝(2k＋b)(4k＋b)，化簡得k(17k＋4b)＝0． ∵k≠0，∴b＝－k ① 又∵f(8)＝8k＋b＝15 ② 將①代入②得k＝4，b＝－17． ∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(41－17)＋(42－17)＋…＋(4n－17) ＝4(1＋2＋…＋n)－17n＝2n2－15n． 5 ．（1），所以是等比數(shù)列 （2），所以是等差數(shù)列 （3） 6 ．解：(1)∵點Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率為6的同一條直線上， ∴=6，即b

16、n+1-bn=6, 于是數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，故bn=b1+6(n-1). ∵共線. ∴1(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn ∴當(dāng)n≥2時，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1 =a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 當(dāng)n=1時，上式也成立. 所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2). (2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a. ∵12

17、an取最小值，最小值為a4=18-2a. 7 ．解：（1）已知…N*) 　 ① 時，…N*)　 ② ①-②得，，求得， 在①中令，可得得， 所以N*)． 由題意，，，所以，， ∴數(shù)列的公差為, ∴， N*)． （2）， 當(dāng)時，單調(diào)遞增，且， 所以時，， 又， 所以，不存在N*，使得． 8 ．（I）解 依a1=5可知：a2=23, a3=95 （II）解 設(shè) 若{bn}是等差數(shù)列，則有2b2=b1+b3 即 得 事實上， 因此，存在、公差是1的等差數(shù)列 9 ．解：（1）令，，即 由 ∵，∴，即數(shù)列是以為首

18、項、為公差的等差數(shù)列， ∴ （2）①，即 ②∵，又∵時， ∴各項中數(shù)值最大為，∵對一切正整數(shù)，總有恒成立，因此 10．依題意設(shè) （1），∴ ① 又∴ ② 由①、②得所以 又 而符合上式，∴ （2） 當(dāng)時，是增函數(shù)，因此為的最小項，且 又，所以中最大項為，最小項為。 11．（1）由y＝得 x＝，∴ 又an＋1＝f-1（an）（n），∴an＋1＝ a1＝ ,an＋1＝ ，∴an（nN＋） ∴且 ∴{}是以－2007為首項, 2為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴為所求 （2）由（1）知bn＝， 記g（n）＝（2n－2009）（2n－2011）（nN＋）

19、 當(dāng)1≤n≤1004時,g（n）單調(diào)遞減且gmin（n）＝g（1004）＝3 此時bn>0且bn的最大值為; 當(dāng)n＝1005時,g（n）＝－1; 當(dāng)n≥1006時,g（n）單調(diào)遞增且gmin（n）＝g（1006）＝3此時bn>0且bn的最大值為; 綜上：bn的最大值為,最小值為－1 12．（1） 等差數(shù)列 （2）錯位相減， 13．（I）由已知，得 作差，得。 又因為正數(shù)數(shù)列，所以，由，得 （II）， 所以……= 14．解：（1）2an+1－2an+an+1an=0 ∵an≠0, 兩邊同除an+1an ∴數(shù)列{}是首項為

20、1,公差為的等差數(shù)列 （2）∵= ∴an－1= ∵bn=f(an－1)=f()=－n+6 (n∈N) （3） －n+6 (n≤6, n∈N) = n－6 (n>6, n∈N) (n≤6, n∈N) ∴Sn= (n>6, n∈N) 15．（1） （2）n=5，6，7，8，9 16．解：（1）當(dāng)時，，∴， ∴， ∴數(shù)列為等差數(shù)列． （2）由（1）知，， ∴． 當(dāng)時，， ∴

21、 17．解：（1）∵點都在斜率為6的同一條直線上， 于是數(shù)列是等差數(shù)列，故 （2）共線， 當(dāng)n=1時，上式也成立. 所以 （3）把代入上式， 得 ， ∴當(dāng)n=4時，取最小值，最小值為 18．解：（Ⅰ）當(dāng)時，，∴ . ∵ ， ① ∴ (n. ② ①－②，得 ， 整理得，， ∵ ∴ . ∴ ，即. 故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列. ∴ . （Ⅱ）∵ ， ∴ . 19．解：(Ⅰ)由題意，有 (a1+d)(a1+13d)=

22、(a1+4d)2. 而a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1. 公比q==3,a2=b2=3. ∴bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1. (Ⅱ)當(dāng)n=1時，=a2,∴c1=13=3. 當(dāng)n≥2時，∵ ……① ……② ②—①,得∴cn=2bn= ∴cn= ∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004) =3+2 20．(1) 21．解：（1）∵當(dāng)n=1時 ，a1=S1=2； 當(dāng)n≥2時，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1)2=4n－2. 故數(shù)列{an}的通項公式an=4n－2，公差d=4.

23、設(shè){bn}的公比為q，則b1qd= b1，∵d=4，∴q=.∴bn=b1qn－1=2=, 即數(shù)列{ bn }的通項公式bn=。 （2）∵ ∴Tn=1+341+542++(2n－1)4n－1 ∴4Tn=14+342+543++(2n－1)4n 兩式相減得3Tn=－1－2（41+42+43++4n－1）+(2n－1)4n= ∴Tn= 22．(1) (2) 在上 ,當(dāng)時 等比且公比為,首項為 等比公比為,首項為1 ,所以的各項和為 23．解：（1）由已知得： 是首項為1，公差d=3的等差數(shù)列 （2） 由 24．解法：（I）證：由，有， 　 （II）

24、證：， ，， 　 是首項為5，以為公比的等比數(shù)列　 （III）由（II）得，，于是 　 當(dāng)時，　 當(dāng)時， 故 25．解：（1）由已知， ，，兩邊取對數(shù)得，即 是公比為2的等比數(shù)列. （2）由（1）知 = 26．(1)解：設(shè)數(shù)列公差為d(d＞0) 　　∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴，即 　　整理得： ∵，∴　 ?、? 　　∵ ∴　 　② 　　由①②得：， ∴ (2) ∴ 　　 27．(1) ① 取得

25、② ②①得： 中的奇數(shù)項是以為前項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以的前項，4為公比的等比數(shù)列 （2）當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)為奇數(shù)時， 28．（Ⅰ） 驗證n=1時也滿足上式： （Ⅱ） 29．（1） 又 （2）① 又 ② 即 而 30．解（1）由題意知： 是等比數(shù)列 （2）由（1）知數(shù)列以是a2－a1=3為首項， 以2為公比的等比數(shù)列，所以 故a2－a1=320，所以a3－a2=321，a4－a3=322，…， 所以 （3） 設(shè)① 2② ①—②得： 31．解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝a

26、x2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 32．解證：（Ⅰ） 當(dāng)n≥2時， 故是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列. （Ⅱ）由（

27、Ⅰ）得 當(dāng)n≥2時， 當(dāng)n=1時， （Ⅲ） 33．解：（1）， ∴數(shù)列是以為首項，-1為公差的等差數(shù)列， 。 （2）由，得。 。 而當(dāng)時，。 。 （3）對任意， 所以，即。 是中的最大數(shù)，。 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則。 ， ， 是一個以-12為公差的等差數(shù)列， ， 。 34．解：（Ⅰ）在直線 ∵P1為直線l與y軸的交點，∴P1（0，1） ， 又數(shù)列的公差為1 （Ⅱ） （Ⅲ） 是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列， 35．解：（Ⅰ）由題意知， （ ） ∵， ∴ ∴數(shù)列是首項，公

28、差的等差數(shù)列， 其通項為（ ）． （Ⅱ）∵,（ ） ∴, 于是 兩式相減得 . ∴ （ ） （Ⅲ）　∵ ， （ ） ∴當(dāng)時， 當(dāng)時，，即 ∴當(dāng)時，取最大值是 又對一切正整數(shù)n恒成立 ∴ 即得或 36．（1）∵，∴，又∵ ∴ ∴數(shù)列是等差數(shù)列，且 （2）當(dāng)時， 當(dāng)n=1時，不成立. ∴ （3），∴. ∴左邊顯然成立. 37．解：（Ⅰ）當(dāng)時， （1）時， 當(dāng)時，；當(dāng)時， （2）當(dāng)時， 當(dāng)時，；當(dāng)時， 綜上所述，當(dāng)或4時，；當(dāng)時， （Ⅱ） 在上恒為增函數(shù)的充要條件是，解得 （Ⅲ）， ① 當(dāng)時，，即

29、 （1） 當(dāng)n=1時，；當(dāng)n≥2時， （2） （1）—（2）得，n≥2時，，即 又為等差數(shù)列，∴ 此時 ②當(dāng)時 ，即 ∴ 若時，則（3），將（3）代入（1）得， 對一切都成立 另一方面，，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，矛盾 不符合題意，舍去. 綜合①②知，要使數(shù)列成等差數(shù)列，則 38．（I）解：由 從而由 的等比數(shù)列 故數(shù)列 （II） 39．1 40．解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。 又當(dāng)x=0時，即。 ∴對任意時，都有。 為奇函數(shù)。 （II）滿足 。。 在上是奇函數(shù)， ∴，即。 是以為首項，以2

30、為公比的等比數(shù)列。。 （III）=。 假設(shè)存在正整數(shù)m，使得對任意的， 有成立， 即對恒在立。 只需，即 故存在正整數(shù)m，使得對，有成立。 此時m的最小值為10。 41．解（1） （2）∵，∴， ∴。 ①當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間（-,-1]上是減函數(shù) ∴當(dāng)時，即， 又,∴該方程沒有整數(shù)解； ②當(dāng)，即時， ∴，解得或（舍去） 綜上所述，為所求的值 42．解：（I）由，得 或 ∴內(nèi)的整點在直線和上，記直線為l，l與直線的交點的縱坐標(biāo)分別為，則 （I

31、I） ∴當(dāng)時，，且 是數(shù)列中的最大項，故 43．（Ⅰ） 解：由，， 可得， 所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為 （Ⅱ）解：設(shè)，　　　① 　　　　　　　?、? 當(dāng)時，①式減去②式， 得， 這時數(shù)列的前項和 當(dāng)時， 這時數(shù)列的前項和 （Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明： 　　　?、? 由知，要使③式成立，只要， 因為 所以③式成立 因此，存在，使得對任意均成立 44．解：（I） （II）假設(shè)符合條件的k(k∈N*)存在， 由于 ∴當(dāng)k為正奇數(shù)時，k + 27為正

32、偶數(shù) 由 （舍） 當(dāng)k為正偶數(shù)時，k + 27為正奇數(shù)， 由 即（舍） 因此，符合條件的正整數(shù)k不存在 （III）將不等式變形并把代入得 設(shè) 又， 45．解：（Ⅰ）由 ，， 由題意知：的兩根， （Ⅱ）， 為等差數(shù)列，，， 經(jīng)檢驗時，是等差數(shù)列， （Ⅲ） 46．⑴由已知條件得， ① 當(dāng)時，， ② ①－②得：，即， ∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，∴（）， 又，∴； ∵， ∴，∴； ⑵∵， ∴， ， 兩式相減得， ∴． 47．解：（1）由 相減得：是等比數(shù)列 （2）， （3）， ① ②

33、 ①－②得：， ， 所以： 48．解： （1）根據(jù)對一切實數(shù)恒成立， 令，可得，； （2）設(shè)，則，解得 又恒成立，即恒成立， ，解得，， （3）由（2）得， 49．（Ⅰ）解：依題意，， 所以，解得，或，符合題意. （Ⅱ解不等式，即， 得 所以，要使成立，則 （1）當(dāng)時，， 而，即，不滿足題意. （2）當(dāng)時，，，，滿足題意. 綜上，. （Ⅲ）解：構(gòu)造數(shù)列：， . 那么 . 不妨設(shè)取， 那么，，，， . 由，可得， （，）. 因為，所以. 又，所以數(shù)列是無窮數(shù)列，因此構(gòu)造的數(shù)列符合題意. 50．解：（Ⅰ）因為．所以． 令，得，即． （Ⅱ） 又 兩式相加 ． 所以， 又．故數(shù)列是等差數(shù)列．分 （Ⅲ） 所以 第 31 頁 共 32 頁