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1、第4講轉化與化歸思想1(2012浙江)設a0，b0，A若2a2a2b3b，則abB若2a2a2b3b，則abC若2a2a2b3b，則abD若2a2a2b3b，則ab真題感悟自主學習導引解析設f(x)2x2x，則f(x)在(0，)上為增函數，由2a2a2b3b及b0，得2a2a2b2b，即f(a)f(b)，故有ab，即A正確，B錯誤對于命題C、D，令a2，則2b3b0，即b為g(x)2x3x的零點，而g(0)10，g(2)20，g(4)40，故0b2或b2，即0ba或ba，即命題C，D都是錯誤的，故選A.答案A2(2012重慶)對任意的實數k，直線ykx1與圓x2y22的位置關系一定是A相離B相

2、切C相交但直線不過圓心D相交且直線過圓心解析直線ykx1過定點(0,1)，而02122，所以點(0,1)在圓x2y22內部，直線ykx1與圓x2y22相交且直線不經過圓心故選C.答案C轉化與化歸的思想體現在高考試題中的各個方面，無論是直接轉化還是間接轉化，都是解決問題不可缺少的方法解此類題目時，要善于發(fā)現和挖掘題目條件與結論之間的內在聯系，通過代數運算或推理實現二者的轉化，即為解題過程 考題分析數學問題的解答離不開轉化與化歸，它既是一種數學思想，又是一種數學能力，是高考重點考查的最重要的思想方法在高中數學的學習中，它無處不在比如：處理立體幾何問題時，將空間問題轉化到一個平面上解決；在解析幾何中

3、，通過建立坐標系將幾何問題化歸為代數問題；復數問題化歸為實數問題等方法突破1轉化與化歸的原則(1)目標簡單化原則：將復雜的問題向簡單的問題轉化；(2)和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形關系上趨于統(tǒng)一的方向進行，使問題的條件和結論更均勻和恰當；(3)具體化原則：即化歸方向應由抽象到具體；(4)低層次原則：即將高維空間問題化歸成低維空間問題；(5)正難則反原則：即當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解2轉化與化歸常用到的方法(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；(2)換元法：運用“換元”把超

4、越式轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題；(3)數形結合法：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑；(4)構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；(5)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題，是轉化方法的一個重要途徑；(6)類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化途徑；(7)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題；(8)等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目的；(9)加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，

5、往往把命題的結論加強，即命題的結論加強為原命題的充分條件，反而能將原命題轉化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時；原命題往往難以得證，這時常把結論加強，使之成為原命題的充分條件，從而得證；(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題結果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA使原問題得以解決高頻考點突破考點一：抽象與具體、一般與特殊之間的轉化【例1】若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，則下列說法一定正確的是Af(x)為奇函數 Bf(x)為偶函數Cf(x)1為奇函數 Df(x)1為偶函數審題導

6、引條件中的函數f(x)是抽象函數，可以把它具體化，結合選擇題只有一個正確選項可得規(guī)范解答(特殊函數法)由條件f(x1x2)f(x1)f(x2)1，可取f(x)x1，所以f(x)1x是奇函數，故選C.答案C【規(guī)律總結】具體化與特殊化原則(1)具體化原則，就是把一些抽象問題化歸為具體問題，從而解決問題一般地，對于抽象函數、抽象數列等問題，可以借助于熟悉的具體函數、數列等知識，探尋抽象問題的規(guī)律，找到解決問題的突破口和方法(2)數學題目有的具有一般性，有的具有特殊性解題時，有時需要把一般問題化歸為特殊問題，有時需要把特殊問題化歸為一般問題其解題模式是：首先設法使問題特殊(或一般)化，從而降低難度，然

7、后解這個特殊(或一般)性的問題，從而使原問題獲解【變式訓練】答案C考點二：正向思維與逆向思維的轉化與化歸【例2】若二次函數f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內至少存在一個值c使得f(c)0，求實數p的取值范圍審題導引從“至少存在一個”的反面來考慮問題，求在1,1內不存在c使f(c)0的p的范圍，然后求其補集【規(guī)律總結】正難則反的應用原則正難則反，利用補集求得其解，這就是補集思想，充分體現對立統(tǒng)一、相互轉化的思想方法一般地，題目若出現多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”情形的問題中【變式訓練】2已知集合Ay|y2(a2a1

8、)ya(a21)0，By|y26y80，若AB ，則實數a的取值范圍為_解析由題意得Ay|ya21或ya，By|2y4，我們不妨先考慮當AB 時a的取值范圍如圖：考點三：以換元為手段的轉化與化歸【例3】已知aR，求函數y(asin x)(acos x)的最小值審題導引本題考查函數的最值問題、化歸思想及運算能力觀察到等式右邊是關于sin xcos x與sin xcos x的三角式，可設tsin xcos x，則原問題可轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題【規(guī)律總結】換元法的應用形如f(x)asin2xbsin xc的函數，其最值的求解可利用換元法，通過配方轉化為二次函數的最值問題處理，但要注意三角

9、函數自身的取值范圍限制對于解析式中含有sin xcos x和sin xcos x的函數，往往通過換元也可轉化為二次函數的最值問題，利用配方法求解最值其基本的思維過程是：換元、整理、配方、求最值【變式訓練】名師押題高考【押題1】當x(1,2)時，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_答案(，5押題依據本題以不等式恒成立為背景考查了函數的值域，體現了函數、不等式問題之間的相互轉化，強化了知識，突出了能力，故押此題【押題2】已知各項均為正數的等差數列an的公差d不等于0，a12，設a1、a3、a7是公比為q的等比數列bn的前三項(1)求數列anbn的前n項和Tn；(2)將數列an中與bn中相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數列cn，設其前n項和為Sn，求S2nn122n132n1(n2，nN)的值押題依據數列一直是高考重點考查的內容，涉及數列的概念、數量的函數特性、等差、等比數列的概念和性質，通項與前n項之和本題難度適中，體現了轉化與化歸的數學思想方法