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1、2.9函數(shù)與方程函數(shù)與方程考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考2.9函函數(shù)數(shù)與與方方程程雙基研習雙基研習面對高考面對高考雙基研習雙基研習面對高考面對高考1函數(shù)的零點函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義函數(shù)零點的定義函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖像與的圖像與_稱稱為這個函數(shù)的零點為這個函數(shù)的零點(2)幾個等價關系幾個等價關系方程方程f(x)0有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖像與的圖像與_有交點有交點函數(shù)函數(shù)yf(x)有有_橫軸交點的橫坐標橫軸交點的橫坐標橫軸橫軸零點零點思考感悟思考感悟1函數(shù)的零點是函數(shù)函數(shù)的零點是函數(shù)yf(x)的圖像與的圖像與x軸的軸的交點嗎？交點嗎？2是否

2、任意函數(shù)都有零點？是否任意函數(shù)都有零點？提示：提示：1.函數(shù)的零點不是函數(shù)函數(shù)的零點不是函數(shù)yf(x)的圖像的圖像與與x軸的交點，而是軸的交點，而是yf(x)的圖像與的圖像與x軸交點軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)而是一個實數(shù)2并非任意函數(shù)都有零點，只有并非任意函數(shù)都有零點，只有f(x)0有根有根的函數(shù)的函數(shù)yf(x)才有零點才有零點2利用函數(shù)性質判定函數(shù)零點利用函數(shù)性質判定函數(shù)零點若函數(shù)若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上的圖像是上的圖像是_，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號_，即，即_，則在區(qū)間，則

3、在區(qū)間(a，b)內，內，函數(shù)函數(shù)yf(x)至少有一個零點，即相應的方程至少有一個零點，即相應的方程f(x)0在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內至少有一個實數(shù)解內至少有一個實數(shù)解3二分法二分法(1)每次取區(qū)間的每次取區(qū)間的_，將區(qū)間一分為二，將區(qū)間一分為二，再經比較，按需要留下其中再經比較，按需要留下其中_的的方法稱為二分法方法稱為二分法連續(xù)曲線連續(xù)曲線相反相反f(a)f(b)0中點中點一個小區(qū)間一個小區(qū)間答案：答案：C2(教材習題改編教材習題改編)下列四個函數(shù)圖像中，方下列四個函數(shù)圖像中，方程程fi(x)0(i1,2,3,4)在區(qū)間在區(qū)間(，0)內有解內有解的是的是_答案：答案：B答案：答案：C4若函數(shù)

4、若函數(shù)f(x)axb有一個零點為有一個零點為2，則，則g(x)bx2ax的零點是的零點是_5若函數(shù)若函數(shù)f(x)ax2xa沒有零點，則實沒有零點，則實數(shù)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考函數(shù)零點個數(shù)的判斷函數(shù)零點個數(shù)的判斷對函數(shù)零點個數(shù)的判斷可從以下幾個方面入手考對函數(shù)零點個數(shù)的判斷可從以下幾個方面入手考慮：慮：(1)結合函數(shù)圖像；結合函數(shù)圖像；(2)根據零點存在定理求根據零點存在定理求某些點的函數(shù)值；某些點的函數(shù)值；(3)利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的零點是否唯一等的零點是否唯一等【思路點撥思路點撥】根據函數(shù)零點的概念或借助根據函數(shù)零點的概念或

5、借助圖像判斷圖像判斷【答案答案】C【規(guī)律小結規(guī)律小結】(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零(2)根據函數(shù)零點定義可知，函數(shù)根據函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點的零點就是就是f(x)0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)0是是否有實根，有幾個實根否有實根，有幾個實根(3)函數(shù)函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)的實數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖像的圖像與與yg(x)的圖像交

6、點的橫坐標的圖像交點的橫坐標解：顯然當解：顯然當x0時，時，2xx即即y2xx無零點，無零點，由例由例1的解答可知，的解答可知，f(x)有有1個零點個零點確定函數(shù)零點的大致區(qū)間確定函數(shù)零點的大致區(qū)間要正確理解和運用函數(shù)零點的性質在函數(shù)零點所要正確理解和運用函數(shù)零點的性質在函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷中的應用，若在區(qū)間的判斷中的應用，若f(x)圖像在圖像在a，b上上連續(xù)，且連續(xù)，且f(a)f(b)0，則，則f(x)在在(a，b)上必有零點，上必有零點，若若f(a)f(b)0，則，則f(x)在在(a，b)上不一定沒有零上不一定沒有零點點 (2010年高考天津卷年高考天津卷)函數(shù)函數(shù)f(x)exx2的零點

7、所在的一個區(qū)間是的零點所在的一個區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)【解析解析】由于由于f(0)e00210，f(1)e12e10.根據函數(shù)的零點存在性定理，知函數(shù)根據函數(shù)的零點存在性定理，知函數(shù)f(x)的零的零點在區(qū)間點在區(qū)間(0,1)內內【答案答案】C【失誤點評失誤點評】這類題目易出現(xiàn)計算錯誤而導這類題目易出現(xiàn)計算錯誤而導致函數(shù)值與零的大小判斷錯誤的解題錯誤致函數(shù)值與零的大小判斷錯誤的解題錯誤用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解用二分法求函數(shù)零點的近似值，首先要選好計用二分法求函數(shù)零點的近似值，首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要符合條件，又要算的初始區(qū)

8、間，這個區(qū)間既要符合條件，又要使其長度盡量小，其次要依據條件給定的精確使其長度盡量小，其次要依據條件給定的精確度及時檢驗計算所得到的區(qū)間是否滿足這一精度及時檢驗計算所得到的區(qū)間是否滿足這一精確度，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算確度，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算 求方程求方程x32x23x60的一個為正的一個為正數(shù)的實數(shù)根數(shù)的實數(shù)根(精確到精確到0.1)【思路點撥思路點撥】令令f(x)x32x23x6，則，則問題轉化為求函數(shù)問題轉化為求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)的零點，的一個正實數(shù)的零點，因此可以考慮首先確定一個包含正數(shù)的閉區(qū)因此可以考慮首先確定一個包含正數(shù)的閉區(qū)間，而間，而f(0)60，f(1)6

9、0，所以可取區(qū)間，所以可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)作為計算的初始區(qū)間間【解解】令令f(x)x32x23x6.由于由于f(1)60，可取區(qū)間，可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間作為計算的初始區(qū)間用二分法逐次計算，列表如下：用二分法逐次計算，列表如下：計算次數(shù)計算次數(shù)左端點左端點右端點右端點11221.5231.51.7541.6251.7551.68751.7561.718751.7571.718751.734375由上表可知，區(qū)間由上表可知，區(qū)間1.71875,1.734375中的每中的每一個數(shù)精確到一個數(shù)精確到0.1的近似值都等于的近似值都等于1.7，所以，所以1.7就是函數(shù)的一個誤差不超過

10、就是函數(shù)的一個誤差不超過0.1的正數(shù)零的正數(shù)零點點【規(guī)律小結規(guī)律小結】在二分法求方程解的步驟中，在二分法求方程解的步驟中，初始區(qū)間的選定，往往需要通過分析函數(shù)的初始區(qū)間的選定，往往需要通過分析函數(shù)的性質和試驗估計，初始區(qū)間可以選的不同，性質和試驗估計，初始區(qū)間可以選的不同，不影響最終計算結果不影響最終計算結果方法技巧方法技巧1方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以根方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以根據區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定，但要確定據區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定，但要確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)

11、是單調的，它至性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調的，它至多有一個零點，如果不是單調的，可繼續(xù)細分出多有一個零點，如果不是單調的，可繼續(xù)細分出小的單調區(qū)間，再結合這些小的區(qū)間的端點處函小的單調區(qū)間，再結合這些小的區(qū)間的端點處函數(shù)值的正負，作出正確判斷數(shù)值的正負，作出正確判斷(如例如例1)2如果函數(shù)通過零點時函數(shù)值的符號發(fā)生改如果函數(shù)通過零點時函數(shù)值的符號發(fā)生改變，稱這樣的零點為變號零點；若函數(shù)通過變，稱這樣的零點為變號零點；若函數(shù)通過零點時不變號，稱之為不變號零點不變號零點時不變號，稱之為不變號零點不變號零點不能用零點存在定理來判斷，只能借助零點不能用零點存在定理來判斷，只能借助函數(shù)圖像或解方程

12、得到函數(shù)圖像或解方程得到(如例如例2)3二分法是求方程的根的近似值的一種計算二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法其實質是通過不斷地方法其實質是通過不斷地“取中點取中點”來逐來逐步縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確步縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數(shù)度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數(shù)零點的近似值零點的近似值(如例如例3)失誤防范失誤防范1對于函數(shù)對于函數(shù)yf(x)(xD)，我們把使，我們把使f(x)0的實數(shù)的實數(shù)x叫作函數(shù)的零點，注意以下幾點：叫作函數(shù)的零點，注意以下幾點：(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自

13、變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零(2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)函數(shù)的零點也就是函數(shù)yf(x)的圖像與的圖像與x軸的交點的橫坐標軸的交點的橫坐標(3)一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點(4)函數(shù)的零點不是點，是方程函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的根的根2對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調：對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調：(1)f(x)在在a，b上連續(xù)；上連續(xù)；(2)f(a)f(b)0；(3)在在(a，b)內存在零點內存在零點事實上，這是零點存在的一個充分條件，但事實上，這是零點存在的一個充分條件，但不必要不必要考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考函數(shù)

14、與方程是每年必考的知識點之一，函數(shù)與方函數(shù)與方程是每年必考的知識點之一，函數(shù)與方程思想是中學數(shù)學最重要的思想方法之一本節(jié)程思想是中學數(shù)學最重要的思想方法之一本節(jié)考查重點是函數(shù)零點的存在性以及利用零點考查重點是函數(shù)零點的存在性以及利用零點(方程方程實根實根)的存在情況求相關參數(shù)等題型既有選擇題、的存在情況求相關參數(shù)等題型既有選擇題、填空題，又有解答題，主要考查相關函數(shù)的圖像填空題，又有解答題，主要考查相關函數(shù)的圖像和性質和性質預測預測2012年高考仍將以函數(shù)的零點為主要考點，年高考仍將以函數(shù)的零點為主要考點，重點考查分析問題解決問題的能力重點考查分析問題解決問題的能力 (2010年高考浙江卷年高

15、考浙江卷)設函數(shù)設函數(shù)f(x)4sin(2x1)x，則在下列區(qū)間中函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點的不存在零點的是是()A4，2B2,0C0,2 D2,4【思路點撥思路點撥】函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點，不好直接判斷，但可以根據三角函數(shù)值點，不好直接判斷，但可以根據三角函數(shù)值的情況，結合函數(shù)的零點定理進行分析，判的情況，結合函數(shù)的零點定理進行分析，判斷函數(shù)在哪些區(qū)間上存在零點，然后再結合斷函數(shù)在哪些區(qū)間上存在零點，然后再結合排除法找到答案排除法找到答案【答案答案】A【名師點評名師點評】(1)函數(shù)的零點定理只能判斷函數(shù)的零點定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，

16、而不能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間端點處的函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間端點處的函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而不是必要條件，間上存在零點的充分條件，而不是必要條件，即函數(shù)在一個區(qū)間端點處的函數(shù)值同號時，即函數(shù)在一個區(qū)間端點處的函數(shù)值同號時，函數(shù)在這個區(qū)間上也可能存在零點，所以在函數(shù)在這個區(qū)間上也可能存在零點，所以在判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，不能完全依賴函數(shù)的零點定理，要綜合函數(shù)不能完全依賴函數(shù)的零點定理，要綜合函數(shù)性質進行分析判斷性質進行分析判斷(2)當函數(shù)在一個區(qū)間上的圖像是連續(xù)的時候，當函數(shù)在一個區(qū)間上的圖像是連續(xù)的時候，若函數(shù)在區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值異號，若函數(shù)在區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值異號，則函數(shù)在這個區(qū)間上一定存在零點如果要則函數(shù)在這個區(qū)間上一定存在零點如果要判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點，就可判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點，就可以研究這個函數(shù)在區(qū)間端點值的符號，根據以研究這個函數(shù)在區(qū)間端點值的符號，根據這個定理進行判斷這個定理進行判斷答案：答案：B3函數(shù)函數(shù)f(x)x22x的零點個數(shù)是的零點個數(shù)是()A3 B2C1 D0答案：答案：3