《高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第八章 第三節(jié) 圓的方程課件 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第八章 第三節(jié) 圓的方程課件 文（63頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié) 圓 的 方 程1.1.圓的定義、方程圓的定義、方程定義定義平面內(nèi)到平面內(nèi)到_的距離等于的距離等于_的點(diǎn)的集合叫作圓的點(diǎn)的集合叫作圓方方程程標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r(r0)0)圓心圓心C_C_半徑為半徑為r r一一般般x x2 2+y+y2 2+Dx+Dx+Ey+FEy+F=0=0充要條件：充要條件：_圓心坐標(biāo)圓心坐標(biāo)_半徑半徑r=_r=_定點(diǎn)定點(diǎn)定長(zhǎng)定長(zhǎng)（a,ba,b）D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0DE22（，）221DE4F22.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)(1)確定方法：比較確定方法：比較_與與_

2、的距離與半徑的大小關(guān)系的距離與半徑的大小關(guān)系. .(2)(2)三種關(guān)系：三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，點(diǎn)，點(diǎn)M(xM(x0 0,y,y0 0).)._點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓上；_點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓外；_點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi). .點(diǎn)點(diǎn)圓心圓心(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打判斷下面結(jié)論是否正確

3、（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”）. .（1 1）確定圓的幾何要素是圓心與半徑）確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ).( )（2 2）方程）方程(x+a)(x+a)2 2+(y+b)+(y+b)2 2=t=t2 2(tR)(tR)表示圓心為表示圓心為(a,b(a,b) )，半徑為，半徑為t t的一個(gè)圓的一個(gè)圓.( ).( )（3 3）方程）方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a-1=0+a-1=0表示圓心為表示圓心為 半徑半徑為為 的圓的圓.( ).( )a, a2（），213a4a42（4 4）方程）方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+D

4、x+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是表示圓的充要條件是A=C0A=C0，B=0B=0，D D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0.( )0.( )（5 5）若點(diǎn)）若點(diǎn)M M（x x0 0,y,y0 0）在圓）在圓x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外，則外，則x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F+F0.( )0.( )【解析【解析】（1 1）正確）正確. .圓由其圓心和半徑兩個(gè)要素就確定了圓由其圓心和半徑兩個(gè)要素就確定了. .（2 2）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)t0t0時(shí)，方程表示圓心為（時(shí)，方程表示圓心為（

5、-a,-b-a,-b），半徑為），半徑為|t|t|的圓的圓. .（3 3）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)a a2 2+(2a)+(2a)2 2-4(2a-4(2a2 2+a-1)+a-1)0 0即即-2-2a a 時(shí)才表示圓時(shí)才表示圓. .（4 4）正確）正確. .因?yàn)橐驗(yàn)锳=C0,B=0,DA=C0,B=0,D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0 0得方程得方程AxAx2 2+Bxy+ Cy+Bxy+ Cy2 2 +Dx+Ey+F+Dx+Ey+F=0=0表示圓，反之也成立表示圓，反之也成立. .23（5 5）正確）正確. .因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M M（x x0 0,y,y0 0）在圓外，）在圓外，所以所以即

6、即x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F +F 0.0.答案：答案：（1 1） （2 2） (3) (3) (4) (5) (4) (5)222200DEDE4Fxy224（）（） ，1.1.圓心為點(diǎn)（圓心為點(diǎn)（0 0，1 1），半徑為），半徑為2 2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )( )（A A）(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4 =4 （B B）x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2（C C）x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4 =4 （D D）(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2【解析【解析】選選C

7、.C.由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-0 x-0）2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=22 2，即即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.2.2.圓圓x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )( )（A A）（）（2 2，3 3），），13 13 （B B）（）（-2-2，3 3），），1313（C C）（）（-2-2，-3-3），）， （D D）（）（2 2，-3-3），），【解析【解析】選選D.D.由由x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0得得(x-2)(x-2)

8、2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13=13，故圓心坐，故圓心坐標(biāo)為（標(biāo)為（2 2，-3-3），半徑為），半徑為13.13133.3.若點(diǎn)（若點(diǎn)（2 2，3 3）在圓）在圓C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=r=r2 2外，則外，則( )( )【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得 即即 且且r0.r0.Ar2Br2Cr2D2r2r0（ ） （ ） （ ） （ ） 且220r2 132 ，0r22r2 ， 4.4.方程方程x x2 2+y+y2 2+4mx-2y+5m=0+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是表示圓的充要條件是( )( )【解析【解析】

9、選選D.D.由已知得充要條件為（由已知得充要條件為（4m4m）2 2+(-2)+(-2)2 2-4-45m5m0 0，即即4m4m2 2-5m+1-5m+10 0，解得：，解得：1Am 1Bm1411CmDmm144（ ） （ ） （ ） （ ） 或 1mm1.4 或 5.5.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1,2)A(1,2)在圓：在圓：x x2 2+y+y2 2+ax-2y+b=0+ax-2y+b=0上，且點(diǎn)上，且點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線x-yx-y=0=0的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B B也在圓上，則也在圓上，則a=_,b=_.a=_,b=_.【解析【解析】方法一：點(diǎn)方法一：點(diǎn)A(1,2)A(1,2)關(guān)于直線關(guān)于直

10、線x-yx-y=0=0的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,1)B(2,1)，又因?yàn)?，又因?yàn)锳 A，B B兩點(diǎn)都在圓上，兩點(diǎn)都在圓上，方法二：易知圓心在方法二：易知圓心在y=xy=x上，上，即即a=-2.a=-2.又又點(diǎn)點(diǎn)A(1,2)A(1,2)在圓在圓x x2 2+y+y2 2-2x-2y+b=0-2x-2y+b=0上，上，1 12 2+2+22 2-2-21-21-22+b=0,b=1.2+b=0,b=1.答案：答案：-2 1-2 1222212a4b0a2,b1.212a2b0, ，所以解得a1,2 考向考向 1 1 確定圓的方程確定圓的方程【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013南昌

11、模擬）已知圓南昌模擬）已知圓C C1 1：(x+1)(x+1)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=1,=1,圓圓C C2 2與圓與圓C C1 1關(guān)于直線關(guān)于直線x-y-1=0 x-y-1=0對(duì)稱，則圓對(duì)稱，則圓C C2 2的方程為的方程為( )( )（A A）(x+2)(x+2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1（B B）(x-2)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（C C）(x+2)(x+2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（D D）(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1（2 2）（）（20132013巢湖模擬）過(guò)點(diǎn)巢湖模

12、擬）過(guò)點(diǎn)A A（6 6，0 0），），B B（1 1，5 5），且圓），且圓心心C C在直線在直線l：2x-7y+8=02x-7y+8=0上的圓的方程為上的圓的方程為_(kāi)._.（3 3）已知）已知A A（0 0，1 1），），B B（2 2，1 1），），C C（3 3，4 4），），D D（-1-1，2 2），），問(wèn)這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上？為什么？問(wèn)這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上？為什么？【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）先求出圓）先求出圓C C1 1圓心（圓心（-1-1，1 1）關(guān)于直線）關(guān)于直線x-y-x-y-1=01=0的對(duì)稱點(diǎn)圓的對(duì)稱點(diǎn)圓C C2 2的圓心的坐標(biāo)，半徑不變，即可求出圓的方的圓心的

13、坐標(biāo)，半徑不變，即可求出圓的方程程. .（2 2）可根據(jù)圓的圓心在弦）可根據(jù)圓的圓心在弦ABAB的垂直平分線上，先由直線的垂直平分線上，先由直線l的方的方程與弦程與弦ABAB的垂直平分線的方程求其圓心的垂直平分線的方程求其圓心C C的坐標(biāo)，再求圓的半的坐標(biāo)，再求圓的半徑徑r=|AC|r=|AC|，從而求得圓的方程；也可用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的，從而求得圓的方程；也可用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的的方程組求解方程組求解. .（3 3）先求過(guò)）先求過(guò)A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方

14、程，再驗(yàn)證點(diǎn)三點(diǎn)的圓的方程，再驗(yàn)證點(diǎn)D D與圓的位置與圓的位置關(guān)系即可關(guān)系即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.設(shè)圓設(shè)圓C C1 1圓心（圓心（-1-1，1 1）關(guān)于直線）關(guān)于直線x-y-1=0 x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為C C2 2(x(x1 1,y,y1 1),),又由對(duì)稱性知圓又由對(duì)稱性知圓C C2 2的半徑與圓的半徑與圓C C1 1的半徑相等，的半徑相等，所以所以r r2 2=1,=1,故圓故圓C C2 2的方程為的方程為(x-2)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1.=1.1112111y11,x2,x1C2, 2 ,y2,x1y110,22

15、則有解得即（2 2）方法一：）方法一：AA（6 6，0 0），），B B（1 1，5 5），），線段線段ABAB的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為ABAB垂直平分線方程為垂直平分線方程為即即x-y-1=0.x-y-1=0.由方程組由方程組 得圓心得圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（3 3，2 2）. .又半徑又半徑r=|AC|=r=|AC|=所求圓的方程為（所求圓的方程為（x-3x-3）2 2+ +（y-2y-2）2 2=13.=13.AB7 550k12 21 6 （ ，），57yx22，2x7y80 xy 10 ，13，方法二：設(shè)所求圓的方程為（方法二：設(shè)所求圓的方程為（x-ax-a）2 2+ +（y-

16、by-b）2 2=r=r2 2. .由已知，得由已知，得所求圓的方程為（所求圓的方程為（x-3x-3）2 2+ +（y-2y-2）2 2=13.=13.22222226a0bra3,1 a5brb2,2a7b80r13 ，（）（），解得，方法三：設(shè)所求圓的方程為方法三：設(shè)所求圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0（D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0），），解得：解得：D=-6,E=-4,F=0.D=-6,E=-4,F=0.所求圓的方程為所求圓的方程為x x2 2+y+y2 2-6x-4y=0-6x-4y=0，即即(x-3)(x-3)2 2+(y-

17、2)+(y-2)2 2=13.=13.答案：答案：（x-3x-3）2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13=13366DF0,125D5EF0,DE278022 則（）（），（3 3）設(shè)經(jīng)過(guò)）設(shè)經(jīng)過(guò)A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方程為三點(diǎn)的圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0（D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0），），故經(jīng)過(guò)故經(jīng)過(guò)A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方程為三點(diǎn)的圓的方程為x x2 2+y+y2 2-2x-6y+5=0.-2x-6y+5=0.即（即（x-1x-1）2 2+(y-3)+(y-3)2 2=5.=5.把點(diǎn)把點(diǎn)D D的坐標(biāo)

18、（的坐標(biāo)（-1-1，2 2）代入上面方程的左邊，得（）代入上面方程的左邊，得（-1-1-1-1）2 2+ +（2-32-3）2 2=5.=5.所以點(diǎn)所以點(diǎn)D D在經(jīng)過(guò)在經(jīng)過(guò)A A，B B，C C三點(diǎn)的圓上，故三點(diǎn)的圓上，故A A，B B，C C，D D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上四點(diǎn)在同一個(gè)圓上. .1EF0,D24 12DEF0,E6,9 163D4EF0,F5. ，則解得【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】本例題（本例題（2 2）中條件變?yōu)椋┲袟l件變?yōu)椤敖?jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A A（6 6，0 0），且），且與直線與直線l:2x-3y+13=0:2x-3y+13=0相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)B B（1 1，5 5）的圓）的圓”，結(jié)果如

19、何？，結(jié)果如何？【解析【解析】依題設(shè)可知，圓心在過(guò)切點(diǎn)依題設(shè)可知，圓心在過(guò)切點(diǎn)B B（1 1，5 5）且與）且與l垂直的直垂直的直線上，其斜率為線上，其斜率為 所以方程為所以方程為 即即3x+2y-3x+2y-13=0.13=0.又圓心在又圓心在ABAB的垂直平分線的垂直平分線x-y-1=0 x-y-1=0上，上，半徑半徑因此所求圓的方程為因此所求圓的方程為(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13.=13.32 ，3y5x12 （），3x2y 1303 2 .xy 10 ，由得圓心，22r3 12513.【拓展提升【拓展提升】1.1.求圓的方程的兩種方法求圓的方程的兩種方

20、法（1 1）直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，）直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程進(jìn)而寫(xiě)出方程. .（2 2）待定系數(shù)法：）待定系數(shù)法：若已知條件與圓心（若已知條件與圓心（a,ba,b) )和半徑和半徑r r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于依據(jù)已知條件列出關(guān)于a a，b b，r r的方程組，從而求出的方程組，從而求出a a，b b，r r的的值值; ;若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于依據(jù)已知條件列出關(guān)于D D，E E，F(xiàn)

21、 F的方程組，進(jìn)而求出的方程組，進(jìn)而求出D D，E E，F(xiàn) F的的值值. .2.2.確定圓心位置的方法確定圓心位置的方法（1 1）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上. .（2 2）圓心在圓的任意弦的垂直平分線上）圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. .（3 3）兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線）兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線. .【變式備選【變式備選】求圓心在直線求圓心在直線y=-4xy=-4x上，并且與直線上，并且與直線l:x+y-1=0:x+y-1=0相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P P（3 3，-2-2）的圓的方程）的圓的方程. .【解析【解析】方法一：設(shè)圓心方法一：設(shè)圓心C

22、 C（a,-4aa,-4a），），由題意得：由題意得：即即a a2 2-2a+1=0-2a+1=0，解得，解得a=1a=1，圓心圓心C C（1 1，-4-4），），r=|PC|=r=|PC|=圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1x-1）2 2+(y+4)+(y+4)2 2=8.=8.a4a1222a34a2，2 2，方法二：過(guò)切點(diǎn)方法二：過(guò)切點(diǎn)P P且與且與l垂直的直線是垂直的直線是y+2=x-3y+2=x-3，即，即x-y-5=0.x-y-5=0.于是于是圓的方程為（圓的方程為（x-1x-1）2 2+ +（y+4y+4）2 2=8.=8.xy5014y4x ，由得圓心（， ），r2 2，考

23、向考向 2 2 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013寶雞模擬）在圓寶雞模擬）在圓x x2 2+y+y2 2-2x-6y=0-2x-6y=0內(nèi)，內(nèi)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E E（0 0，1 1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為ACAC和和BDBD，則四邊形，則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為( )( )（2 2）已知實(shí)數(shù)）已知實(shí)數(shù)x x，y y滿足方程滿足方程x x2 2+y+y2 2-4x+1=0.-4x+1=0.求求 的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求y-xy-x的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求x x2 2+y+y2 2

24、的最大值和最小值的最大值和最小值. .A 5 2B 10 2C 15 2D 20 2（ ） （ ） （ ） （ ）yx【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）由圖形的幾何性質(zhì)判斷并求得最長(zhǎng)弦）由圖形的幾何性質(zhì)判斷并求得最長(zhǎng)弦ACAC和最短弦和最短弦BDBD是關(guān)鍵是關(guān)鍵. .（2 2）充分利用所求代數(shù)式的幾何意義，運(yùn)用幾何法求解）充分利用所求代數(shù)式的幾何意義，運(yùn)用幾何法求解. . 為點(diǎn)為點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)連線的斜率與原點(diǎn)連線的斜率. .y-xy-x表示動(dòng)直線表示動(dòng)直線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距；軸上的截距；x x2 2+y+y2 2表示點(diǎn)表示點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)的距離

25、的平方，也可以消去一個(gè)與原點(diǎn)的距離的平方，也可以消去一個(gè)元，轉(zhuǎn)化為在函數(shù)定義域內(nèi)求最值元，轉(zhuǎn)化為在函數(shù)定義域內(nèi)求最值. .yx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選B.B.由題意可知，圓的圓心坐標(biāo)是（由題意可知，圓的圓心坐標(biāo)是（1 1，3 3），半徑是），半徑是 且點(diǎn)且點(diǎn)E E（0 0，1 1）位于該圓內(nèi)，）位于該圓內(nèi)，由圖形的幾何性質(zhì)得，過(guò)點(diǎn)由圖形的幾何性質(zhì)得，過(guò)點(diǎn)E E（0 0，1 1）的最短弦是以該點(diǎn)為中）的最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，點(diǎn)的弦，最短弦長(zhǎng)最短弦長(zhǎng)而過(guò)而過(guò)E E（0 0，1 1）的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)等于該圓的直徑，即）的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)等于該圓的直徑，即 且且ACBDACBD，10.22BD2

26、10122 5（），AC2 10，ABCD11SAC BD2 102 510 2.22四邊形（2 2）原方程可化為原方程可化為(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,表示以表示以(2,0)(2,0)為圓心為圓心 為為半徑的圓半徑的圓 的幾何意義為點(diǎn)的幾何意義為點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)連線的斜率與原點(diǎn)連線的斜率. .所以設(shè)所以設(shè) 即即y=kxy=kx, ,當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率k k取最大值或最取最大值或最小值，此時(shí)小值，此時(shí) 解得解得 所以所以 的最大值為的最大值為 最小值為最小值為y-xy-x可看作直線可看作直線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距

27、軸上的截距. .當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距取最大值或最小值，此時(shí)軸上的截距取最大值或最小值，此時(shí) 解得解得 所以所以y-xy-x的最大值為的最大值為 最小值為最小值為3，yx，ykx ，22k03,k1k3. yx3,3.20b3,2b26. 26 ，26. 方法一：方法一：x x2 2+y+y2 2表示點(diǎn)表示點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)的距離的平方與原點(diǎn)的距離的平方. .由平面幾由平面幾何知識(shí)可知，原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取何知識(shí)可知，原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值或最小值得最大值或最小值. .又

28、圓心到原點(diǎn)的距離為又圓心到原點(diǎn)的距離為2 2，故故(x(x2 2+y+y2 2) )maxmax= =(x(x2 2+y+y2 2) )minmin= =22374 3.22374 3.方法二：由方法二：由x x2 2+y+y2 2-4x+1=0-4x+1=0得：得：y y2 2=-x=-x2 2+4x-1,+4x-1,且且-x-x2 2+4x-10,+4x-10,即即xx2 2+y+y2 2=x=x2 2+(-x+(-x2 2+4x-1)=4x-1,+4x-1)=4x-1,(x(x2 2+y+y2 2) )maxmax= = (x(x2 2+y+y2 2) )minmin= =23x23,4

29、 23174 3. 4 23174 3. 【拓展提升【拓展提升】1.1.與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離最值問(wèn)題的解法與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離最值問(wèn)題的解法一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解求解. .2.2.與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法（1 1）形如）形如 型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a,b(a,b）和點(diǎn)）和點(diǎn)（x,yx,y) )的直線的斜率的最值問(wèn)題的直線的斜率的最值問(wèn)題. .（2 2）形如）形如t=ax+byt=ax+by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為

30、動(dòng)直線的截距的最型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題值問(wèn)題. .(3)(3)形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題距離平方的最值問(wèn)題. .ybuxa【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】在在OABOAB中，已知中，已知O O（0 0，0 0），），A A（8 8，0 0），），B B（0 0，6 6），），OABOAB的內(nèi)切圓的方程為（的內(nèi)切圓的方程為（x-2x-2）2 2+ +（y-2y-2）2 2=4=4，P P是圓上一點(diǎn)是圓上一點(diǎn). .（1 1）求點(diǎn)）求點(diǎn)P P到直線到直線l：4x+3

31、y+11=04x+3y+11=0的距離的最大值和最小值的距離的最大值和最小值. .（2 2）若）若S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2，求，求S S的最大值和最小值的最大值和最小值. .【解析【解析】（1 1）由方程）由方程(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4得該圓圓心坐標(biāo)為（得該圓圓心坐標(biāo)為（2 2，2 2），半徑為），半徑為2 2，故圓心（故圓心（2 2，2 2）到直線）到直線l的距離為的距離為由圖形的幾何性質(zhì)得，點(diǎn)由圖形的幾何性質(zhì)得，點(diǎn)P P到直線到直線l的最大值為的最大值為5+2=75+2=7，最小值，最小值為為

32、5-2=3.5-2=3.（2 2）設(shè)）設(shè)P P（x,yx,y），則（），則（y-2y-2）2 2=4-=4-（x-2x-2）2 2=-x=-x2 2+4x+4x且且-x-x2 2+4x0+4x0，即，即0 x4,0 x4,224 23 2 115.34 S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2=x=x2 2+y+y2 2+(x-8)+(x-8)2 2+y+y2 2+x+x2 2+(y-6)+(y-6)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(y-2)-16x+88+3(y-2)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(-x-16x+88+3(-x2

33、 2+4x)+4x)=-4x+88.=-4x+88.又又xx0 0，4 4，S Smaxmax=-4=-40+88=88,S0+88=88,Sminmin=-4=-44+88=72.4+88=72.考向考向 3 3 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【典例【典例3 3】（20132013安慶模擬）已知安慶模擬）已知P P（4 4，0 0）是圓）是圓x x2 2+y+y2 2=36=36內(nèi)內(nèi)的一點(diǎn)，的一點(diǎn)，A A，B B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90APB=90. .（1 1）求）求ABAB中點(diǎn)中點(diǎn)R R的軌跡的軌跡. .（2 2）求矩形）求矩形APBQAPBQ的頂點(diǎn)的頂

34、點(diǎn)Q Q的軌跡方程的軌跡方程. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）尋找到點(diǎn)）尋找到點(diǎn)R R滿足的等量關(guān)系，利用直接法求滿足的等量關(guān)系，利用直接法求出出R R的軌跡方程，再根據(jù)方程判定其軌跡的軌跡方程，再根據(jù)方程判定其軌跡. .（2 2）利用點(diǎn)）利用點(diǎn)Q Q與與R R的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求其軌跡的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求其軌跡方程方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）如圖所示，在）如圖所示，在RtRtABPABP中中. .APB=90APB=90，R R是弦是弦ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AR=PRAR=PR，設(shè)設(shè)R R（x,yx,y），），有有2222ARAOORAOORPR.

35、，即222236xyx4y .（）整理得整理得x x2 2+y+y2 2-4x-10=0-4x-10=0，即（，即（x-2x-2）2 2+y+y2 2=14,=14,所以軌跡為以（所以軌跡為以（2,02,0）為圓心）為圓心 為半徑的圓為半徑的圓. .（2 2）設(shè)）設(shè)Q Q（x,yx,y），），R R（x x1 1,y,y1 1）. .四邊形四邊形APBQAPBQ為矩形，為矩形，RR是是PQPQ的中點(diǎn)的中點(diǎn). .14，11x4x2y0y2，又點(diǎn)又點(diǎn)R R（x x1 1,y,y1 1）在圓）在圓x x2 2+y+y2 2-4x-10=0-4x-10=0上，上，有有整理得整理得x x2 2+y+y2

36、 2=56=56，即矩形即矩形APBQAPBQ的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)Q Q的軌跡方程為的軌跡方程為x x2 2+y+y2 2=56.=56.22x4yx44100222 （）（ ），【拓展提升【拓展提升】求與圓有關(guān)的軌跡方程的常用方法求與圓有關(guān)的軌跡方程的常用方法【提醒【提醒】注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知圓已知圓C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(2,3A(2,3）作圓）作圓C C的的任意弦，求這些弦的中點(diǎn)任意弦，求這些弦的中點(diǎn)P P的軌跡方程的軌跡方程. .【解析【解析】方法一：直接法方法一：直接法

37、設(shè)設(shè)P P（x,yx,y），由題意知圓心），由題意知圓心C C（，）（，）. .PP點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)A A的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，又又 （2-x,3-y2-x,3-y） =(1-x,1-y),=(1-x,1-y),(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,PP點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為PAPC . PA ,PC2235xy2.24（）方法二：定義法方法二：定義法由已知得，由已知得，PAPC,PAPC,由圓的性質(zhì)知點(diǎn)由圓的性質(zhì)知點(diǎn)P P在以在以ACAC為直徑的圓上，為直徑的圓上，又圓心又圓心C C（1 1，1 1），而），而ACAC中點(diǎn)為中

38、點(diǎn)為 所以半徑為所以半徑為所求動(dòng)點(diǎn)所求動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡方程為的軌跡方程為3,2 ,2（）22AC2 13 15，5.22235xy2.24（）【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】解答與圓的方程有關(guān)的綜合題解答與圓的方程有關(guān)的綜合題【典例【典例】（1212分）（分）（20132013萍鄉(xiāng)模擬）已知以點(diǎn)萍鄉(xiāng)模擬）已知以點(diǎn)C C（ ）（tRtR，t0t0）為圓心的圓與）為圓心的圓與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)O O，A A，與，與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)O O，B B，其中，其中O O為原點(diǎn)為原點(diǎn). .（1 1）求證：）求證：OABOAB的面積為定值的面積為定值. .（2 2）設(shè)直線）設(shè)直線y=-2x+4y=-2x+4與

39、圓與圓C C交于點(diǎn)交于點(diǎn)M M，N N，若，若|OM|=|ON|OM|=|ON|，求圓，求圓C C的方程的方程. .2t,t【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】已知條件已知條件條件分析條件分析圓圓C C過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)O O圓圓C C與與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A A令令y=0y=0，得，得|OA|OA|圓圓C C與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B B令令x=0 x=0，得，得|OB|OB|OM|=|ON|OM|=|ON|得得OCOC垂直平分線段垂直平分線段MNMN2224OCtt【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）圓圓C C過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)O O，設(shè)圓設(shè)圓C C的方程是的方程是2 2分分令令x=0 x=0，得，得y y1 1

40、=0, =0, 3 3分分令令y=0y=0，得，得x x1 1=0,x=0,x2 2=2t=2t，|OA|=|2t|OA|=|2t|，4 4分分S SOABOAB= = 即即OABOAB的面積為定值的面積為定值. .6 6分分2224OCt.t222224xtyttt（）（），244yOBtt，；114OAOB2t422t ，（2 2）|OM|=|ON|OM|=|ON|，|CM|=|CN|CM|=|CN|，OCOC垂直平分線段垂直平分線段MN.MN.8 8分分k kMNMN=-2=-2，直線直線OCOC的方程是的方程是 解得解得t=2t=2或或t=-2.t=-2.9 9分分當(dāng)當(dāng)t=2t=2時(shí)時(shí)

41、，圓心，圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2 2，1 1），）， 此時(shí)此時(shí)C C到直線到直線y=-2x+4y=-2x+4的距離的距離 圓圓C C與直線與直線y=-2x+4y=-2x+4相交于兩點(diǎn)相交于兩點(diǎn). .1010分分OC1k.21yx.221tt2，OC5，1d55，當(dāng)當(dāng)t=-2t=-2時(shí)時(shí)，圓心，圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2-2，-1-1），）， 此時(shí)此時(shí)C C到直到直線線y=-2x+4y=-2x+4的距離的距離圓圓C C與直線與直線y=-2x+4y=-2x+4不相交，不相交，t=-2t=-2不符合題意，舍去不符合題意，舍去. .1111分分圓圓C C的方程為（的方程為（x-2x-2

42、）2 2+ +（y-1y-1）2 2=5.=5.1212分分OC5，9d5.5【失分警示【失分警示】（下文（下文見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程）見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程）1.1.（20132013宜春模擬）已知圓的方程為宜春模擬）已知圓的方程為x x2 2+y+y2 2-2x+6y+8=0-2x+6y+8=0，那么，那么下列直線中經(jīng)過(guò)圓心的直線方程為下列直線中經(jīng)過(guò)圓心的直線方程為( )( )（A A）2x-y+1=0 2x-y+1=0 （B B）2x+y+1=02x+y+1=0（C C）2x-y-1=0 2x-y-1=0 （D D）2x+y-1=02x+y-1=0【解析【解析】選選B.B.圓的方程圓的方程x x2 2+

43、y+y2 2-2x+6y+8=0-2x+6y+8=0可化為可化為(x-1)(x-1)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=2,=2,得其圓心為得其圓心為(1,-3)(1,-3)，經(jīng)檢驗(yàn)知，經(jīng)檢驗(yàn)知，B B符合要求符合要求. .2.2.（20132013合肥模擬）圓心在合肥模擬）圓心在y y軸上，半徑為軸上，半徑為1 1，且過(guò)點(diǎn)（，且過(guò)點(diǎn)（1 1，2 2）的圓的方程為）的圓的方程為( )( )（A A）x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1 =1 （B B）x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（C C）(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1 =1 （D

44、 D）x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1【解析【解析】選選A.A.設(shè)圓心坐標(biāo)為（設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,b0,b），則由題意知），則由題意知 解得解得b=2b=2，故圓的方程為，故圓的方程為x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.220 1b21 ，3.3.（20132013銅川模擬）已知兩定點(diǎn)銅川模擬）已知兩定點(diǎn)A A（-2-2，0 0），），B B（1 1，0 0），），如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)P P滿足滿足|PA|=2|PB|PA|=2|PB|，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P的軌跡所包圍的圖形的面積的軌跡所包圍的圖形的面積等于等于( )( )（A A） （B B）4 4 （C C）8

45、8 （D D）99【解析【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)P P（x,yx,y），由題知：（），由題知：（x+2x+2）2 2+y+y2 2=4=4（x-x-1 1）2 2+y+y2 2，整理得，整理得x x2 2-4x+y-4x+y2 2=0=0，配方得，配方得(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.可知圓的可知圓的面積為面積為4.4.4.4.（20132013九江模擬）直線九江模擬）直線x-2y-2k=0 x-2y-2k=0與與2x-3y-k=02x-3y-k=0的交點(diǎn)在圓的交點(diǎn)在圓x x2 2+y+y2 2=9=9的外部，則的外部，則k k的范圍是的范圍是_._.【解析【解析】又交點(diǎn)在

46、圓又交點(diǎn)在圓x x2 2+y+y2 2=9=9的外部，的外部，（-4k-4k）2 2+ +（-3k-3k）2 29 9，即，即25k25k2 29.9.解得解得答案：答案：x2y2k0,x4k2x3yk0y3k. ，由得，33kk.55 或 3355 （，）（ ，）5.(20135.(2013西安模擬西安模擬) )點(diǎn)點(diǎn)P P（1 1，2 2）和圓）和圓C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0上上的點(diǎn)的距離的最小值是的點(diǎn)的距離的最小值是_._.【解析【解析】由圓由圓C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0得：

47、（得：（x+kx+k）2 2+ +（y+1y+1）2 2=1.=1.圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為C C（-k,-1-k,-1），），當(dāng)當(dāng)k=-1k=-1時(shí)，時(shí)，由圖形幾何性質(zhì)得點(diǎn)由圖形幾何性質(zhì)得點(diǎn)P P（1 1，2 2）和圓上的點(diǎn)的距離的最小值為）和圓上的點(diǎn)的距離的最小值為3-1=2.3-1=2.答案：答案：2 2222PCk12 1k19.min|PC|93.1.1.方程方程 所表示的曲線圖形是所表示的曲線圖形是( )( )22x1 lg xy10 （ ）【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得 （y0)y0)或或lg(xlg(x2 2+y+y2 2- -1)=0(x1)1)=0(x1)，即即x=

48、1x=1（y0)y0)或或x x2 2+y+y2 2=2=2（x1x1），），綜合圖形知選綜合圖形知選D.D.x10 2.2.若圓（若圓（x-3x-3）2 2+ +（y+5y+5）2 2=r=r2 2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-4x-3y-2=02=0的距離等于的距離等于1 1，則半徑，則半徑r r的取值范圍是的取值范圍是( )( )（A A）（）（4 4，6 6） （B B）4 4，6 6）（C C）（）（4 4，6 6 （D D）4 4，6 6【解析【解析】選選A.A.因?yàn)閳A心（因?yàn)閳A心（3 3，-5-5）到直線）到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離為的距離為5 5，所以當(dāng)半徑所以當(dāng)半徑r=4r=4時(shí)，圓上有時(shí)，圓上有1 1個(gè)點(diǎn)到直線個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1，當(dāng)半徑當(dāng)半徑r=6r=6時(shí)，圓上有時(shí)，圓上有3 3個(gè)點(diǎn)到直線個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1，所，所以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1時(shí)，時(shí)，4 4r r6.6.