《過程控制系統(tǒng)與儀表》課件及教案,過程控制系統(tǒng)與儀表,過程,控制系統(tǒng),儀表,課件,教案 第5章 被控過程的數(shù)學(xué)模型 教學(xué)目的：了解基本概念：被控過程數(shù)學(xué)模型的作用與要求、機(jī)理法建模和測試法建模。 教學(xué)重點(diǎn)：機(jī)理法和測試法建模的基本原理和方法。 教學(xué)難點(diǎn)：單容過程的建模。 控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)主要取決于系統(tǒng)的特性，而系統(tǒng)的特性取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的特性。 系統(tǒng)特性—是指整個(gè)系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。 環(huán)節(jié)特性—是指環(huán)節(jié)本身輸入輸出之間的關(guān)系。 給定值 干擾f 控制器 變送器 執(zhí)行器 被控對象 + e 實(shí)測值 － 被控變量 前幾章的討論中，我們已知變送器的特性是比例關(guān)系，執(zhí)行器的特性有比例關(guān)系和等百分比關(guān)系，控制器的特性有PID關(guān)系等。本章討論被控對象的特性。 5.1被控過程數(shù)學(xué)模型的作用與要求 被控對象大都是生產(chǎn)中的工藝設(shè)備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設(shè)計(jì)、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對象的特性。 在經(jīng)典控制理論中，被控對象的特性一般用單輸入、輸出的數(shù)學(xué)模型描述。最常用的是傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)是指用拉氏變換式表示的對象特性。 X c (s) X r (s) G (s) = 5.2建立被控過程數(shù)學(xué)模型的基本方法 求對象的數(shù)學(xué)模型有兩條途徑： 機(jī)理法：根據(jù)生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出有關(guān)的平衡方程，從而獲取對象的數(shù)學(xué)模型。 測試法：通過實(shí)驗(yàn)測試，來識別對象的數(shù)學(xué)模型。 由于影響生產(chǎn)過程的因素較多，單純用機(jī)理法建模較困難，一般用機(jī)理法的分析結(jié)論，指導(dǎo)測試結(jié)果的辨識。 5.3機(jī)理法建模 5.3.1機(jī)理法建模的基本原理 通過分析生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，找出變量之間的關(guān)系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而導(dǎo)出對象的數(shù)學(xué)模型。 5.3.2單容過程建模 大部分工業(yè)對象的特性關(guān)系是單容過程。當(dāng)對象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時(shí)，稱為單容過程或一階特性。 典型代表是水槽的水位特性。 5.3.2.1單容貯液箱液位過程I 如圖是一個(gè)貯液箱（水槽），工藝上要求其液位h保持定值。設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果想通過調(diào)節(jié)閥門1來控制液位，就應(yīng)了解進(jìn)水流量Q1和液位h之間的關(guān)系。 此時(shí)，對象特性的輸入量是流入水槽的流量Q1，對象特性的輸出量是液位h。 G(S) Q1 h 機(jī)理法建模步驟： 從水槽的物料平衡關(guān)系找出表征h與Q1關(guān)系的方程式： 設(shè)水槽在=時(shí)，輸入輸出平衡，液位穩(wěn)定在 h0 閥門1 閥門2 Q1 Q2 ?h A 若某時(shí)刻閥門1突然開大?μ1 ， 則Q1突然增大? Q1 ，于是 h就發(fā)生變化? h 。 Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。 ? Q1 = Kμ?μ1 式中： RS ——閥門2阻力系數(shù)；Kμ ——閥門1比例系數(shù)；μ1 ——閥門1的開度；A ——水槽的底面積。 解得： 令：T = ARs ——時(shí)間常數(shù)； K = KμRs——放大倍數(shù)。 寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 進(jìn)行拉氏變換 TS H(S) + H(S) = Kμ1(S) 傳遞函數(shù)為： 階躍響應(yīng)（飛升）曲線 輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時(shí)，其輸出（Δh）隨時(shí)間變化的曲線。 因 則 時(shí)域表達(dá)式 K、T 稱對象的特性參數(shù)。 Δμ1 t t Δh K Δμ1 T 影響對象特性參數(shù) K、T 的常見因素是工藝設(shè)備對物質(zhì)或能量的儲存能力的傳遞阻力?？梢苑謩e用容量系數(shù)和阻力系數(shù)來表示。 （1）容量系數(shù)—對象存儲能量的能力，影響時(shí)間常數(shù) T。如水槽面積A影響T的大小。 （2）阻力系數(shù)—對象對物料或能量傳遞的阻力，影響放大系數(shù)K。如閥門阻力系數(shù) RS 影響K的大小。（雖然也影響T但仍稱阻力系數(shù)） 有很多對象特性屬于單容特性，如RC電路的充電特性： R C ur (t) uR (t) uc (t) 即： 傳遞函數(shù)為： 如果uc (t)是階躍信號，則uc (t) = U(1－e – t /RC ) 當(dāng) t →∞時(shí): uc (∞) = U t 0 U RC 電路的階躍響應(yīng) u c t u r U 0 5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II 從一階特性曲線可以看出，對象受到擾動其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有控制作用干預(yù)下，能自動達(dá)到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。 自衡率ρ可以表征對象自衡能力的大小。 與放大系數(shù)K互為倒數(shù) 如果ρ大，說明對象的自衡能力強(qiáng)。即對象能以較小的自我調(diào)整量Δh（∞），來抵消較大的擾動量Δμ1。 并不是所有被控過程都具有自衡特性。 單容無自衡特性 單容水槽如果出水用泵抽，則成為無自衡特性。若閥門1突然開大?μ1 ， 則Q1增大，Q2不變化。 ? Q1 = Kμ?μ1 ΔQ2 =0 令 — 稱飛升速度 則 h0 閥門1 Q1 Q2 ?h 傳遞函數(shù)： 若閥門1階躍增大?μ1 ， 則Δh (t)持續(xù)增長。 —又稱積分特性 5.3.3多容過程建模 有一個(gè)以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。 5.3.3.1多容液位過程 如圖所示為雙容對象。由兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，操縱變量是Δμ1，被控變量是第二個(gè)水槽的水位h2。 Δμ1 C2 可以求出傳遞函數(shù)： 式中： T1＝A1 R2 T2＝A2 R3 K＝Kμ R3 由兩個(gè)一階特性乘積而成。又稱二階特性。 當(dāng)輸入量是階躍增量Δμ1時(shí)，二階特性對象的被控變量Δh2的響應(yīng)曲線呈S型。 為簡化數(shù)學(xué)模型，可以用帶滯后的單容過程模型來近似雙容過程模型。 所謂滯后是指輸出量變化在時(shí)間上落后于輸入量的變化。 τ 0 t Δh2（∞） Δh2 0 t Δh2（∞） Δh2 在S形曲線的拐點(diǎn)上作一切線，若將它與時(shí)間軸的交點(diǎn)近似為反應(yīng)曲線的起點(diǎn)，則曲線可表達(dá)為帶滯后的一階特性： t ≥τc t <τc τc 稱為容量滯后 0 t Tc T0 Δh2（∞） 5.3.3.2容量滯后與純滯后 1. 容量滯后 將對象因容量特性造成的微小響應(yīng)區(qū)域近似成純滯后，在時(shí)間軸上作切線截出τc 。 對象的容量系數(shù)越大，則τc越大；容量個(gè)數(shù)越多（階數(shù)n越多），τc也越大。一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起的。 Δh (∞) O t Δh n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 2. 純滯后 由信號或能量的傳輸時(shí)間造成的滯后現(xiàn)象，是純粹的滯后。 如圖是一個(gè)蒸汽加熱系統(tǒng)。蒸汽進(jìn)入點(diǎn)與水溫測量點(diǎn)相距l(xiāng) ，設(shè)水的流速為v ，蒸汽量階躍增大引起的水溫升高，要滯后τ0才反應(yīng)出來。 0 t τ0 ℃ 有些對象容量滯后與純滯后同時(shí)存在，很難嚴(yán)格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時(shí)間τ τ=τ o +τc 5.4測試法建模 根據(jù)工業(yè)過程中對某因果變量的實(shí)測數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到的數(shù)學(xué)模型。 測定對象特性的實(shí)驗(yàn)方法主要有三種： （1）時(shí)域法——輸入階躍或方波信號，測對象的飛升曲線或方波響應(yīng)曲線。 （2）頻域法——輸入不同頻率的正弦波，測對象的頻率特性。 （3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)法——輸入隨機(jī)噪音信號，測對象輸出參數(shù)的變化。 5.4.1階躍響應(yīng)曲線法建模 給對象輸入階躍信號或方波信號測其輸出響應(yīng)。 1． 階躍響應(yīng)曲線的直接測定 在對象處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時(shí)，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大） ，測試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應(yīng)曲線。 2．矩形脈沖法測定被控過程的階躍響應(yīng)曲線 有些工藝對象不允許長時(shí)間施加較大幅度的擾動，則施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應(yīng)曲線稱為“方波響應(yīng)”。 方波響應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成階躍響應(yīng)。原理：方波信號是兩個(gè)階躍信號的代數(shù)和。 x（t）= x1（t）+ x2（t） x2（t）= - x1（t -Δt） ＋ Δt Δt t t t x x x x0 x0 x0 = 對應(yīng)的響應(yīng)也為兩個(gè)階躍響應(yīng)之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-Δt） 根據(jù)此式，方波響應(yīng)曲線可逐點(diǎn)拆分為階躍響應(yīng)曲線y1（t）和 y2（t）。 t O t x O O t Δt Δt x x2(t)= -x1(t-Δt) x1(t) y(t) Δt y1(t) y2(t) 5.4.1.2由階躍響應(yīng)曲線確定被控過程傳遞函數(shù) 大多數(shù)工業(yè)對象的特性可以用帶有純滯后的一階或二階特性環(huán)節(jié)來近似描述： 對于少數(shù)無自衡特性的對象，可用帶滯后的積分特性近似描述： 由對象的階躍響應(yīng)曲線基本可以辨識對象的特性模型結(jié)構(gòu)和特性參數(shù)。 1、由階躍響應(yīng)確定一階慣性加滯后模型的特性參數(shù) 一階對象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義。因此，可以在階躍響應(yīng)曲線上確定特性參數(shù)值。 a. 若階躍響應(yīng)是帶純滯后的一階慣性曲線 滯后時(shí)間τ的物理意義:加入輸入后，輸出沒有響應(yīng)的時(shí)間段，就是滯后時(shí)間τ。 t t x0 y(∞ ) y x τ 放大倍數(shù)K的物理意義 K表明了穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出對輸入的放大倍數(shù) 。 為了簡便，可將滯后時(shí)間切去： y(∞ ) = K x0 則： K = y(∞ ) / x0 K 越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。 t t x0 y(∞ ) y x 時(shí)間常數(shù)的物理意義 對象受到階躍輸入后，若輸出保持初始速度變化，到新的穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間就是時(shí)間常數(shù)。 曲線的斜率 起點(diǎn)的斜率 以此斜率在起點(diǎn)作直線，與y(∞)相交時(shí)所需時(shí)間正好等于T。 t t x0 Y（∞） y x T 作圖法求T：在階躍響應(yīng)起點(diǎn)上作切線，這條切線與h（∞）相交時(shí)所需時(shí)間正好等于T。 或：對象受到階躍輸入后，輸出達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時(shí)間，等于時(shí)間常數(shù)T。 計(jì)算法求T：取階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)變化幅值的63.2%，所對應(yīng)的時(shí)間正好等于T。 t T 0.632y（∞) y T反映了對象輸出對輸入的響應(yīng)速度。T越大，響應(yīng)越慢。如水槽對象中 T=ARS ，說明水槽面積越大，水位變化越慢。 如圖所示為在相同的階躍輸入作用下，對象的時(shí)間常數(shù)不同時(shí)的響應(yīng)曲線。 T也反映了響應(yīng)時(shí)間，被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間理論上需要無限長。 當(dāng)t→∞時(shí)，才有y＝Kx0 ，但是當(dāng)t =3T 時(shí)，便有： 即：經(jīng)過3T時(shí)間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95％。這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動態(tài)過程基本結(jié)束。 b.若階躍響應(yīng)是一條 S 形單調(diào)曲線 用有純滯后的一階環(huán)節(jié)模型近似描述時(shí)： 作圖法： 1）在響應(yīng)曲線的拐點(diǎn)處作一條切線，該切線與時(shí)間軸的交點(diǎn)切出τ； 2）以τ為起點(diǎn)，與y(∞)的交點(diǎn)切出的時(shí)間段為T； 3）K= y(∞)/x0 τ 0 t T y（∞） y 計(jì)算法： 根據(jù)曲線上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)解方程，求T、τ。又稱兩點(diǎn)法： 為了簡化計(jì)算，先消去y(t)中的系數(shù)KX0 將y（t）轉(zhuǎn)換成無量綱的形式y(tǒng)*（t） 0 t Kx0 y(t) 0 t 1 y*(t) 對有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應(yīng)為： 在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時(shí)刻的響應(yīng)y*（t）的坐標(biāo)值： 解方程組 y*(t2) y*(t1) t1 t2 0 t 1 y*(t) 得: 為計(jì)算方便，取特殊兩點(diǎn)： y*（t1）= 0.39 y*（t2）= 0.63 則 τ= 2 t1– t2 T = 2（t1 - t2） 5.4.2 測定動態(tài)特性的頻域法 對象的頻率特性反映了對象對不同頻率信號的響應(yīng)特性。 方法：在對象的輸入端加特定頻率的正弦信號，同時(shí)記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位） ，在選定范圍的各個(gè)頻率點(diǎn)上重復(fù)上述測試 。 y（t） x（t） 5.4.3測定動態(tài)特性的統(tǒng)計(jì)相關(guān)分析法 相關(guān)分析法是在生產(chǎn)正常進(jìn)行中，向被控過程輸入一種對正常生產(chǎn)過程影響不大的特殊信號——偽隨機(jī)測試信號，通過對被控過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析得到被控過程的數(shù)學(xué)模型。 如果不能加專門信號，也可以直接利用生產(chǎn)正常運(yùn)行時(shí)受到隨機(jī)干擾所形成的輸入、輸出數(shù)據(jù)，進(jìn)行相關(guān)分析得到數(shù)學(xué)模型。 這種方法對系統(tǒng)運(yùn)行的干擾很小，用于不允許對系統(tǒng)加較強(qiáng)信號的場合。 5.4.4最小二乘法建立被控過程的數(shù)學(xué)模型 前面討論的方法都是建立連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型。為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的發(fā)展，需要建立被控過程的離散時(shí)間數(shù)學(xué)模型。 如果對被控過程的輸入信號u(t)、輸出信號y(t)進(jìn)行采樣，則可得到一組輸入序列u(k)和輸出序列y(k)： y(t) u(t) 線性定常對象 · · · · · · 輸入序列和輸出序列之間的關(guān)系可以用差分方程進(jìn)行描述：（純滯后時(shí)間已剔除） y(k)+a1y(k－1)+a2y(k－2)+???+any(k－n) ＝b1u(k－1)+b2u(k－2)+???+bnu(k－n) 式中: k ——采樣次數(shù)；n ——模型階數(shù) 最小二乘法就是在確定了模型的階數(shù)n后；在τ0已剔除的前提下，根據(jù)輸入、輸出數(shù)據(jù)，推算模型參數(shù)a1,a2,…,an及b1,b2… bn的方法。 本章小結(jié)： 機(jī)理建模 機(jī)理法建模 單容對象 雙容對象 測試法建模 時(shí)域法 頻域法 統(tǒng)計(jì)法 作圖法 計(jì)算法