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1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 【課型】：新授課 【課時(shí)】：第一課時(shí) 教材分析 本節(jié)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修四第二章第二節(jié) 241平面向量數(shù)量積 的物理背景及其含義。本節(jié)內(nèi)容先通過物理中“功”的例子抽象出平面向量數(shù)量 積的概念，了解它的物理背景，再在此基礎(chǔ)上探究學(xué)習(xí)數(shù)量積的幾何含義、 性質(zhì) 與運(yùn)算律。平面向量的數(shù)量積是繼學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算后的又一重要運(yùn)算， 在 數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。 它既是對平面向量的深入學(xué)習(xí)與拓展， 也 為后續(xù)物理應(yīng)用的學(xué)習(xí)、立體幾何問題的解決等提供了新的思路，起著重要的承 上啟下的銜接作用。在平面向量數(shù)量積概念中，既有長度又有角度，既有數(shù)又有

2、 形，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，也很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方 法。 學(xué)情分析 本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，從知識起點(diǎn)看，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已 經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念及其線性運(yùn)算， 學(xué)習(xí)了功等簡單的物理知識，并且初步體會(huì) 了研究向量運(yùn)算的一般方法；從能力上看，學(xué)生具備了一定程度的分析問題與解 決問題的能力，也形成了一定的邏輯思維；從情感上看，高一的學(xué)生對未知有探 求的渴望，有學(xué)習(xí)新知的渴望。但在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，之前向量線性運(yùn)算的知識 會(huì)造成學(xué)生對數(shù)量積這個(gè)概念的理解上的偏差，干擾學(xué)生對數(shù)量積概念的理解， 另外，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化， 兩個(gè)不同性質(zhì)的 向

3、量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，結(jié)果卻不是向量，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困難。 三、重難點(diǎn) 重點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的概念； 難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義的理解。 四、三維目標(biāo) 知識與技能說出平面向量數(shù)量積的概念； 知道平面向量數(shù)量積的物理背景； 描述平面向量數(shù)量積與向量的投影的關(guān)系; （二）過程與方法 通過把功這個(gè)式子推廣到一般形式來學(xué)習(xí)數(shù)量積概念的過程，學(xué)習(xí)從特殊 到一半的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法； 通過進(jìn)一步根據(jù)圖式理解概念，鞏固數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。 （三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過生活中的物理問題引出數(shù)量積的概念，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活與其他學(xué)科密 切相關(guān)； 通過解答新

4、的運(yùn)算與線性運(yùn)算之間的區(qū)別，感受探索的樂趣，體驗(yàn)到成功 解決疑問的快樂。 五、教學(xué)過程 （一） 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 情景：某天老師的小車在路上拋錨了，看到前方有一修車廠，需要將車子推到修 車廠門口才可以修理，老師用力 F拉動(dòng)汽車產(chǎn)生的位移為s，假設(shè)F是恒力。 問題：老師做了多少功？ 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生在物理知識的基礎(chǔ)上，很容易得到：W二Fscos：。 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看這個(gè)式子， W是數(shù)量，F(xiàn)和s都是向 量，而從物理的角度看這個(gè)式子，其中F和s是力向量和位移向量的大小，所以 可以將該式改成: COST 問題：功的計(jì)算是一種向量間的運(yùn)算，那是向量的線性運(yùn)

5、算么？ 【教師活動(dòng)】教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的向量的線性運(yùn)算。 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生很容易得到功的計(jì)算不屬于向量的線性運(yùn)算。 問題：將向量的線性運(yùn)算與功的計(jì)算進(jìn)行比較，請學(xué)生找兩者的區(qū)別。 結(jié)論：有兩個(gè)不同點(diǎn)： ①力□、減法運(yùn)算都是兩個(gè)同性質(zhì)的向量進(jìn)行運(yùn)算，數(shù)乘是實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的運(yùn) 算，而功的運(yùn)算是兩個(gè)不同性質(zhì)的向量一力和位移的運(yùn)算； ② 線性運(yùn)算的結(jié)果還是同性質(zhì)的向量，而功的運(yùn)算結(jié)果卻是數(shù)量 進(jìn)而導(dǎo)入本節(jié)課的內(nèi)容一一平面向量數(shù)量積 【設(shè)計(jì)意圖】教師通過生活中的親身經(jīng)歷提出問題引入新課， 有利于激發(fā)學(xué)生的 認(rèn)同感與學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科與生活之間的密切聯(lián)系， 后通過分析比 較之前

6、學(xué)習(xí)的向量運(yùn)算，創(chuàng)建學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出了平面向量數(shù)量積，點(diǎn)明本 節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容 （二） 逐步探索，發(fā)現(xiàn)新知 1.剖析概念，知道物理背景 問題：你能用文字語言表述上面的“功的計(jì)算公式”一 w = F Seos。嗎? 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生容易得到答案：功是力與位移大小及其夾角余弦的乘積。 問題：如果將這個(gè)特殊的式子推廣到一般的式子，又該如何描述？ 【教師活動(dòng)】教師通過一般的R cos,引導(dǎo)學(xué)生得出答案 結(jié)論：數(shù)量R是兩個(gè)向量的模及其夾角余弦的乘積。 【教師活動(dòng)】給出向量數(shù)量積的定義。 定義（板書） 向量數(shù)量積： 已知兩個(gè)非零向量 T T a和b，它們的夾角為二，

7、我們把數(shù)量 a b cos=叫做 a 和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即 ab=ab COSV 另外，我們規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。即0 ^0。 【師生活動(dòng)】教師結(jié)合圖像讓學(xué)生做進(jìn)一步的理解。 O O  【教師活動(dòng)】學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后, 數(shù)量積的形式。 【學(xué)生活動(dòng)】：f*s=F s°°s日。 又回到功的式子，請學(xué)生將功的式子改成 【教師活動(dòng)】教師點(diǎn)明功的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)就是力 F和位移s兩個(gè)向量的數(shù)量積 注意點(diǎn)： ①兩個(gè)不同性質(zhì)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后得到的是一個(gè)數(shù)量； ②兩個(gè)向量的夾角取值V范圍為［0,二］； T T > > , T T

8、③符號ab不能寫成ab或者a b。 2.明確內(nèi)涵，掌握幾何意義 【教師活動(dòng)】學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念，也明確了它的物理背景，那么從數(shù)學(xué)角度看 這個(gè)運(yùn)算，它的幾何意義又是什么呢？在發(fā)現(xiàn)它的幾何意義之前， 先學(xué)習(xí)另一個(gè) 新的概念：向量投影。 定義（板書）： 向量投影： 如下圖所示，我們把bcos叫做向量b在a方向上的投影，記作 cos 注意：投影也是數(shù)量。 T T 【教師活動(dòng)】請學(xué)生根據(jù)推車情景的簡圖回答 s在F上的投影 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生將容易的得到： 問題：學(xué)習(xí)了投影后，從新的角度看看數(shù)量積，能發(fā)現(xiàn)它的幾何意義嗎? 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生一起

9、得到幾何意義是： 數(shù)量積 ab等于 a的長度 與b在a方向上的投影 bcosT的乘積。 【設(shè)計(jì)意圖】新課程中，教學(xué)是師生積極交往互動(dòng)、共同發(fā)展的，通過這一環(huán)節(jié) 調(diào)動(dòng)師生間與學(xué)生間的合作交流， 通過討論合作突破難點(diǎn)，掌握重點(diǎn)，體會(huì)合作 與成功的樂趣 （三） 自我嘗試，鞏固新知 I ? I T T 0 T T 例1.已知a =5,冋=4，a與b的夾角日to，求ab 【學(xué)生活動(dòng)】該題請學(xué)生自主完成 解: 2 0 二-10 例2.已知在/ ABC中, AB=a,AC 二b,當(dāng) a 七：：：0或a b = 0 時(shí)，試判斷/ ABC的 形狀。 【學(xué)

10、生活動(dòng)】該題請學(xué)生自主完成 解：ab=abcos日，a|b〉0 當(dāng)a b ：：：0時(shí)，cost ：：： 0，且“ 0,二1， 是鈍角，/ ABC是鈍角三角形; 當(dāng) a 2=0 時(shí)，cos— 0,且■- 10^1 , r=90°,/ ABC是直角三角形。 【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主實(shí)踐，親身嘗試解答問題，將知識內(nèi)化、理解掌握。 （四） 小結(jié)升華，布置作業(yè) 【學(xué)生活動(dòng)】最后請學(xué)生小結(jié)今天所學(xué)的知識， 教師可以從幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn) 行總結(jié)，再由教師進(jìn)行補(bǔ)充。引導(dǎo)的問題是： 1、 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？ 2、 平面向量數(shù)量積的物理背景和數(shù)學(xué)幾何意義是什么？ 3、 我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納？ 4、 學(xué)到了什么數(shù)學(xué)思想方法？ 最后布置作業(yè)： 課本P119習(xí)題2.4A組2、5、6 9。 【設(shè)計(jì)意圖】通過上述問題，使學(xué)生不僅對本節(jié)課的知識、 技能及方法有了更加 全面深刻的認(rèn)識，同時(shí)也為下一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的求知欲。