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1、20172017中考總復習中考總復習專題四 分類討論問題 分類討論問題就是將要研究的數(shù)學對象按照一定的標準劃分為若干不同的情形，然后再逐類進行研究和求解的一種數(shù)學解題思想. 分類討論問題是創(chuàng)新性問題之一，此類題綜合性強，難度較大，在各地中考試題中多以壓軸題出現(xiàn)，對考生的能力要求較高，具有選拔性.目前，深圳中考試卷中，常見的需分類討論的知識點有三大類:（1）代數(shù)類:有絕對值、方程及根的定義,函數(shù)的定義以及點(坐標未給定)所在象限等.（2）幾何類:有各種圖形的位置關(guān)系，未明確對應關(guān)系的全等或相似的可能對應情況等.（3）綜合類:代數(shù)與幾何類分類情況的綜合運用. 在數(shù)學中，我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)

2、的差異，分各種不同情況予以考查.這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學思想方法，同時也是一種解題策略.分類是按照數(shù)學對象的相同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領會其實質(zhì)，對于加深基礎知識的理解，提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的. 分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨立的;(2)一次分類按一個標準;(3)分類討論應逐級進行.代數(shù)類常常涉及絕對值，方程及根的定義，分式、根式方程.【例題 1】已知|a|=5，|b|=3，且ab0，求a-b的值思路分析：根據(jù)已知條件和絕對值的性質(zhì)，得a=5，b=3，且ab0，確定a，b的符號，求出a-b的值解：|a|=5，|b

3、|=3，a=5，b=3ab0，a，b異號當a=5，b=-3時，a-b=5-（-3）=8當a=-5，b=3時，a-b=-5-3=-8故a-b的值為8或-8題型一題型一 代數(shù)類代數(shù)類【例題 2】已知實數(shù)a，b分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2，求 的值.思路分析：根據(jù)題意，a，b可看作方程x2+2x-2=0的兩根，則根據(jù)韋達定理得到a+b=-2，ab=-2，然后把原式變形得到原式= ，再利用整體代入的方法計算即可.解：若ab，可知a，b為方程x2+2x-2=0的兩實數(shù)根，由韋達定理，得a+b=-2，ab=-2，若a=b，則解關(guān)于a，b的方程，分別得a=b= 或a=b=， 或綜上所述， 或 或

4、11ab11ababab1121.2ababab13 13 1113ab 1113.ab 1113ab 1113.ab 111.ab【例題 3】已知直角三角形兩邊x，y的長滿足，則第三邊長為.思路分析：直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)進而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分類討論得出即可解答： 兩個非負數(shù)的和為0，這兩個非負數(shù)都為0,x2-4=0且y2-5y+6=0.x2=4，(y-2)(y-3)=0.又x0，x=2，y=2或y=3.當x=2，y=2時，x，y都是直角邊，第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理第三邊為；當x=2，y=3，且x，y都是直角邊時，根據(jù)勾股定理第三邊為斜邊即；當x=2

5、，y=3，且y為斜邊時，根據(jù)勾股定理第三邊為另一條直角邊即 故答案為 或 或 .22456xyy22456,xyy2 25.1313.2 25.【例題 4】（2016荊門市）已知3是關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則ABC的周長為（ ）A7B10C11D10或11思路分析：把x=3代入已知方程求得m的值；然后通過解方程求得該方程的兩根，即等腰三角形ABC的兩條邊長；最后利用三角形三邊關(guān)系和三角形的周長公式求解即可解答：把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，則原方程為x2-7x+12=0，解得

6、x1=3，x2=4.因為這個方程的兩個根恰好是等腰ABC的兩條邊長，所以當ABC的腰為4，底邊為3時，ABC的周長為4+4+3=11；當ABC的腰為3，底邊為4時，ABC的周長3+3+4=10綜上所述，該ABC的周長為10或11故答案選DD幾何類常涉及各種圖形的位置關(guān)系，未明確對應關(guān)系的全等或相似的可能對應情況，函數(shù)的定義以及點(坐標未給定)所在象限等;函數(shù)定義域變化、函數(shù)圖象未給出、函數(shù)對稱性(反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象)等，分類討論問題也常通過數(shù)形結(jié)合的方法來解答.題型二題型二 幾何類幾何類【例題 5】在半徑為5 cm的 O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且ABCD，求AB與CD之

7、間的距離.思路分析：兩平行弦與圓心的位置關(guān)系一般有兩種:兩弦在圓心的同側(cè);兩弦在圓心的異側(cè).解:過點O作AB，CD的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接OA，OC.在RtOAE中，在RtOCF中，2222534().OEOAAEcm2222543().OFOCCFcm當AB，CD在圓心O的同側(cè)時，如圖，AB和CD之間的距離為EF=4-3=1(cm);當AB，CD在圓心O的異側(cè)時，如圖，AB和CD之間的距離為EF=4+3=7(cm).AB和CD之間的距離為1 cm或7 cm.【例題 6】（2016臺州市）定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形（1）三等角四邊形ABCD中，A=B=C，求A的

8、取值范圍.（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH求證：四邊形ABCD是三等角四邊形（3）三等角四邊形ABCD中，A=B=C，若CB=CD=4，則當AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時對角線AC的長思路分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360，確定出A的范圍；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到E=F，且E+EBF=180，再根據(jù)等角的補角相等，判斷出DAB=DCB=ABC，即可；（3）分三種情況分別討論計算AB的長，從而得出當AD=2時，AB最長，最后計算出對角線AC的長解答：（1）解：A=B=C.3A

9、+ADC=360.ADC=360-3A0ADC180，0360-3A180.60A120.（2）證明：四邊形DEBF為平行四邊形，E=F，且E+EBF=180DE=DA，DF=DC，E=DAE=F=DCF.DAE+DAB=180，DCF+DCB=180，E+EBF=180，DAB=DCB=ABC.四邊形ABCD是三等角四邊形.（3）解：當60A90時，如答圖，過點D作DFAB交點BC于點F，DEBC交點AB于點E，四邊形BEDF是平行四邊形，DFC=B=DEA.EB=DF，DE=FB.A=B=C，DFC=B=DEA，DAEDCF，AD=DE，DC=DF=4.設AD=x，AB=y，AE=y-4，

10、CF=4-x.DAEDCF， 當x=2時，y的最大值是5，即當AD=2時，AB的最大值為5.AEADCFCD4.44yxx22114(2)5.44yxxx 當A=90時，三等角四邊形是正方形，AD=AB=CD=4.當90A120時，D為銳角，如答圖，AE=4-AB0，AB4.綜上所述，當AD=2時，AB的長最大，最大值是5；此時，AE=1，如答圖.過點C作CMAB于點M，DNAB于點N.DA=DE，DNAB，AN= AE= .DAN=CBM，DNA=CMB=90，DANCBM.BM=1.AM=4， 12122215.CMBCBM22161531.ACAMCM.ADANBCBM代數(shù)與幾何類分類情

11、況的綜合運用.【例題 7】（2016齊齊哈爾市）如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（ ，0）的兩條直線分別交y軸于B，C兩點，且B，C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根（1）求線段BC的長度（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由（3）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A，B，P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由題型三題型三 綜合類綜合類3思路分析：（1）解出方程后，即可求出B，C兩點的坐標，即可求出BC的長度；（2）由A，B，C三點坐標可知OA2=

12、OCOB，AOC=BOA,所以可證明AOCBOA，利用對應角相等即可求出CAB=90；（3）容易求得直線AC的表達式，由DB=DC可知，點D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標為1，將其代入直線AC的表達式即可求出D的坐標；（4）以A，B，P三點為頂點的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：AB=AP；AB=BP；AP=BP；然后分別求出點P的坐標即可解:（1）x2-2x-3=0，x=3或x=-1B（0，3），C（0，-1）BC=4（2）ACAB.理由如下：A（ ，0），B（0，3），C（0，-1），OA=，OB=3，OC=1OA2=OBOC又AOC=BOA=90，AOCBOACAO=ABO

13、CAO+BAO=ABO+BAO=90BAC=90ACAB33（3）設直線AC的表達式為y=kx+b.把點A（3，0）和C（0，-1）代入y=kx+b， 解得直線AC的表達式為DB=DC，點D在線段BC的垂直平分線上D的縱坐標為1把y=1代入解得x= D的坐標為（ ，1）1,03,bkb 1,3.3bk 31.3yx 31.3yx 2 32 3（4）設直線BD的表達式為y=mx+n，直線BD與x軸交于點E.把B（0，3）和D（ ，1）代入y=mx+n，解得直線BD的表達式為 令y=0代入 ，解得x= E（ ，0）OE= tanBEO= BEO=302 33,12 3,nmn 3,3.3nm333

14、yx333yx3 33 33 33.3OBOE同理，可求得ABO=30，ABE=30當PA=AB時，如答圖此時，BEA=ABE=30，EA=AB點P與點E重合點P的坐標為（ ，0）當PA=PB時，如答圖此時，PAB=PBA=30，ABE=ABO=30，PAB=ABOPABCPAO=90點P的橫坐標為 3 33令x= 代入，解得y=2.P（ ，2）當PB=AB時，如答圖由勾股定理，可求得AB= ，EB=6若點P在y軸左側(cè)時，記此時點P為P1，過點P1作P1Fx軸于點F.P1B=AB=EP1=6-sinBEO= FP1=3令y=3 代入 ，解得x=-3P1（-3，3 ）3333yx32 32 32 311.FPEP33333yx3若點P在y軸的右側(cè)時，記此時點P為P2，過點P2作P2Gx軸于點G.P2B=AB= EP2=6+ sinBEO= GP2=3+ 令y=3+ 代入 ，解得x=3P2（3，3+ ）綜上所述，當以A，B，P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（ ，0），（ ，2），（-3，3- ），（3，3+ ）2 32 322.GPEP33333yx33 3333完成真題演練：第 題.完成課后作業(yè)：第 題.