《高三數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 理（26頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、理數(shù)課標版第八節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1.離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為教材研讀教材研讀Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值:稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)稱DX=(xi-EX)2pi為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術平方根為隨機變量X的標準差.1niDX2.均值與方差的性質均值與方差的性質(1)E(aX+b)=aEX+b(a,b為實數(shù)).(2)D(aX+b)=a2DX(a,b為實數(shù)).3.兩點

2、分布與二項分布的均值、方差兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布XB(n,p)EXp(p為成功概率)npDXp(1-p)np(1-p)4.正態(tài)曲線的特點正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關于直線x=對稱;(3)曲線在x=處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當一定時,曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移;(6)當一定時,曲線的形狀由確定,越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.121.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學期望E(X)=()A.B.2C.D.3答案答案 A由已知

3、條件可知E(X)=1+2+3=,故選A.X123P35310110325235310110322.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案答案 C由P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=.答案答案0.1解析解析由題意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.12考點一離散型隨機變量的均值、方差考點一離散型隨機變量的均值、方差考點突破考點突破典例典例1 (2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從

4、這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.112343210C CCC1313P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以,隨機變量X的分布列為222334210CCCC41511113334210C CC CC7151134210C CC415X012P415715415隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2=1.4

5、15715415方法技巧方法技巧求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒如果XB(n,p),則用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.1-1一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),

6、求隨機變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析解析(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應的概率為P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,03CP(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,13CP(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)

7、=0.63=0.216.所以X的分布列為23C33CX0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.考點二均值與方差在實際問題中的應用考點二均值與方差在實際問題中的應用典例典例2(2016課標全國,19,12分)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的

8、易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?解析解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.2

9、0.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列為(6分)(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19.(8分)(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04當n=19時,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08

10、+(19200+3500)0.04=4040.(10分)當n=20時,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4080.可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值,故應選n=19.(12分)規(guī)律總結規(guī)律總結利用均值與方差解決實際問題的方法(1)對實際問題進行具體分析,將實際問題轉化為數(shù)學問題,并將問題中的隨機變量設出來.(2)依據隨機變量取每一個值時所表示的具體事件,求出其相應的概率.(3)依據期望與方差的定義、公式求出相應的期望與方差值.(4)依據期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋.2-1某校設計了一個實

11、驗測試方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成,考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計算其數(shù)學期望;(2)請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力.23解析解析(1)設考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為,則的可能取值分別為1,2,3;的可能取值分別為0,1,2,3.P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為124236C CC15214236C CC353042

12、36C CC15123P153515E()=1+2+3=2.P(=0)=,同理,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為15351503C321312762712278270123P1276271227827E()=0+1+2+3=2.1276271227827(2)D()=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,15351525D()=(2-0)2+(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,D()P(2).從做對題數(shù)的數(shù)學期望考察,兩人水平相當;從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2題的概率考察,甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實驗操作能力

13、較強.127627122782723212( )(1)3333D npp 或35154512278272027考點三正態(tài)分布考點三正態(tài)分布典例典例3(1)(2015山東,8,5分)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為()(附:若隨機變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(2)(2015湖南,7,5分)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的

14、個數(shù)的估計值為()附:若XN(,2),則P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772答案答案(1)B(2)C解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,則P(36)=(95.44%-68.26%)=13.59%.12(2)由正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線的幾何意義,知題圖中陰影部分的面積為P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為0.341310000=3413.故選C.12方法技巧方法技巧解決有關正態(tài)分布的求概率問題的關鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間的面積為

15、1,把待求區(qū)間內的概率向已知區(qū)間內的概率轉化.解題時要充分結合圖形進行分析、求解,要注意數(shù)形結合思想及化歸思想的運用.(1)應熟記P(-X+),P(-2X+2),P(-33)=0.1587,則P(X1)=.答案答案0.8413解析解析由XN(2,1),知=2,因為P(X3)=0.1587,所以P(X1)=1-0.1587=0.8413.3-2某班有50名學生,一次考試后數(shù)學成績X(單位:分,XN)服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,則該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為.答案答案10解析解析由題意,知P(X110)=0.2,所以該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.250=10.12 (90100)2PX