《重慶市中考數(shù)學 第二部分 題型研究 二、解答題重難點突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計算課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《重慶市中考數(shù)學 第二部分 題型研究 二、解答題重難點突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計算課件（53頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破第二部分第二部分 題型研究題型研究目目錄錄題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形、四邊形的證明與計算 類型一類型一 有等腰直角三角有等腰直角三角,通常作底邊上的通常作底邊上的 高、中線或頂角的平分線高、中線或頂角的平分線 類型二類型二 有直角三角形有直角三角形,通常作斜邊上的中線通常作斜邊上的中線 類型三類型三 截長補短截長補短類型四類型四 構建適宜的三角形或四邊形構建適宜的三角形或四邊形類型五類型五 有角平分線，作到角兩邊的垂線有角平分線，作到角兩邊的垂線第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破類型一類型一 有

2、等腰直角三角形，通常作底邊上的高、中有等腰直角三角形，通常作底邊上的高、中 線或頂角的平分線線或頂角的平分線 題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形、四邊形的證明與計算 典例精講 例例 已知，四邊形已知，四邊形ABCD是正方形，點是正方形，點P在直線在直線BC上，上，點點G在直線在直線AD上（上（P、G不與正方形頂點重合，且在不與正方形頂點重合，且在CD的同的同側），側），PDPG，DFPG于點于點H，DF交直線交直線AB于點于點F，將，將線段線段PG繞點繞點P逆時針旋轉逆時針旋轉90得到得到線段線段PE，連接，連接EF. （1）如圖）如圖，當點，當點P與點與點G分別在分別在線段線段B

3、C與線段與線段AD上時，若上時，若PC=1，計算出計算出DG的長；的長；例題圖例題圖（2）如圖）如圖，當點，當點P與點與點G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD上時，上時，證明：四邊形證明：四邊形DFEP為菱形；為菱形；（3）如圖）如圖，當點，當點P與點與點G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD的延長的延長線上時，（線上時，（2）的結論：四邊形）的結論：四邊形DFEP為菱形是否依然成立？若成立，請給為菱形是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由出證明；若不成立，請說明理由.例題圖例題圖 （1）【思路分析】作）【思路分析】作PMDG于點于點M，根據(jù)等腰三角形，根據(jù)等腰三角形

4、的性質由的性質由PD=PG得得MG=MD，根據(jù)矩形的判定定理易得四邊，根據(jù)矩形的判定定理易得四邊形形PCDM為矩形，則為矩形，則PC=MD，于是有，于是有DG=2PC. 解解：作：作PMDG于點于點M，如解圖，如解圖， PD=PG, MG=MD, 四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形， 四邊形四邊形PCDM為矩形，為矩形， PC=MD,DG=2PC=2.例題解圖例題解圖M (2)【思路分析】根據(jù)四邊形【思路分析】根據(jù)四邊形ABCD為正方形得為正方形得AD=AB，由四邊形由四邊形ABPM為矩形得為矩形得AB=PM，則，則AD=PM，再利用等角再利用等角的余角相等得到的余角相等得到GDH=MPG

5、，于是可根據(jù)，于是可根據(jù)“ASA”證明證明ADF MPG，得到，得到DF=PG，加上，加上PD=PG，得到得到DF=PD，然后利用旋轉的性質得，然后利用旋轉的性質得EPG=90，PE=PG，所以，所以PE=PD=DF，再利用，再利用DFPG得到得到DFPE，于是可判斷四邊形于是可判斷四邊形DFEP為平行四邊形，加上為平行四邊形，加上DF=PD，則可，則可判斷四邊形判斷四邊形DFEP為菱形為菱形. 解解：四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形， AD=AB, 四邊形四邊形ABPM為矩形，為矩形， AB=PM, AD=PM, DFPG, DHG=90, GDH+DGH=90,MGP +MPG=90

6、,GDH=MPG,在在ADF和和MPG中中，A=GMP,AD=MPADF=MPG,ADF MPG(ASA),DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點繞點P逆時針旋轉逆時針旋轉90得到線段得到線段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形，為平行四邊形，DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形. (3)【思路分析】與（【思路分析】與（2）的證明方法一樣可得到四邊）的證明方法一樣可得到四邊 形形DFEP為菱形為菱形. 解：四邊形解：四邊形DFEP是菱形，理由如下：是菱形，理由如下：作作

7、PMDG于點于點M，如解圖，如解圖，與（與（2）一樣同理可證）一樣同理可證ADF MPG,DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點繞點P逆時針旋轉逆時針旋轉90得到線段得到線段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,例題解圖例題解圖M而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形，為平行四邊形，DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形、四邊形的證明與計算類型二類型二 有直角三角形，通常作斜邊上的中線有直角

8、三角形，通常作斜邊上的中線 典例精講 例例 某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：質時，經歷了如下過程：（1）在等腰）在等腰ABC中，中，AB=AC，分別以，分別以AB、AC為斜邊，為斜邊，向向ABC的外側作等腰直角三角形，如圖的外側作等腰直角三角形，如圖所示，其中所示，其中DFAB于點于點F,EGAC于點于點G，M是是BC的的中點，連接中點，連接MD和和ME,求證：求證： AF=AG= AB; MD=ME.21例題圖例題圖 （2）在任意）在任意ABC中，仍分別以中，仍分別以AB、AC為斜邊，為斜邊，向向ABC的內側作等腰

9、直角三角形，如圖的內側作等腰直角三角形，如圖所示，所示，M是是BC的中點，連接的中點，連接MD和和ME，試判斷，試判斷MDE的形狀的形狀.（直（直接寫答案，不需要寫證明過程）接寫答案，不需要寫證明過程）例題圖例題圖例題圖例題圖 （3）在任意）在任意ABC中，分別以中，分別以AB、AC為斜邊，向為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，如圖的外側作等腰直角三角形，如圖所示，所示，M是是BC的的中點，連接中點，連接MD和和ME，則，則MD與與ME有怎樣的數(shù)量關系？有怎樣的數(shù)量關系？ （1）【思路分析】由等腰直角三角形的性質可以得出）【思路分析】由等腰直角三角形的性質可以得出F、G分別是分別是AB、A

10、C的中點，就可以得出的中點，就可以得出FM、GM是是ABC的中位線，就可以得出的中位線，就可以得出BFM=BAC=CGM.就就可以得出可以得出DFM EGM從而得出結論從而得出結論. 證明證明：ADB、AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DFAB于點于點F,EGAC于點于點G， DF=AF= AB,EG=AG= AC,DFB=EGC=90， M是是BC的中點，的中點，2121FM、GM是是ABC的中位線，的中位線，F(xiàn)M= AC,GM= AB,FMAC,GMAB,BFM=BAC,BAC=CGM，BFM=CGM,BFM+DFB=CGM+EGC,DFM=EGM.AB=AC, AB= AC,AF

11、=AG= AB，DF=EG,FM=GM，2121212121在在DFM和和EGM中，中， DF=EG DFM=EGM FM=GM，DFM EGM(SAS),MD=ME. （2）【思路分析】?。舅悸贩治觥咳C、AB、AC的中點的中點M、F、G，連連接接DF、MF，EG、MG，DF和和MG相交于相交于H，根據(jù)三角形的，根據(jù)三角形的中位線的性質及直角三角形斜邊中線的性質可以得出中位線的性質及直角三角形斜邊中線的性質可以得出DFM MGE，由全等三角形的性質就可以得出結論，由全等三角形的性質就可以得出結論. 解解：如解圖：如解圖，取，取BC、AB和和AC的中點的中點M、F、G，連接連接MF、DF、

12、MG、EG，DF和和MG相交于相交于H.MFAC,MF= AC,MGAB,MG= AB,四邊形四邊形MFAG是平行四邊形，是平行四邊形，MG=AF,MF=AG,AFM=AGM,ADB和和AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DF=AF,GE=AG,AFD=BFD=AGE=90，MF=EG,DF=MG,AFM-AFD=AGM- AGE,例題解圖例題解圖2121FGH即即DFM=MGE.在在DFM和和MGE中，中， FM=GE DFM=MGE ， DF=MGDFM MGE(SAS),MD=ME,MDF=EMG.MGAB,MHD=BFD=90, （3）【思路分析】?。舅悸贩治觥咳B、AC的中

13、點的中點F、G，連接，連接DF、MF、EG、MG，根據(jù)三角形的中位線的性質和等腰直角三，根據(jù)三角形的中位線的性質和等腰直角三角形的性質就可以得出四邊形角形的性質就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得是平行四邊形，從而得出出DFM MGE,根據(jù)其性質就可以得出結論根據(jù)其性質就可以得出結論.HMD+MDF=90,HMD+EMG=90,即即DME=90，DME為為等腰直角三角形等腰直角三角形.例題解圖例題解圖 解解：MD=ME, 理由：如解圖理由：如解圖，取，取AB、AC的中點的中點F、G，連接，連接DF、MF、EG、MG, AF= AB,AG= AC. ABD和和AEC是等腰直角三角形是等腰

14、直角三角形， DFAB,DF= AB,EGAC,EG= AC, AFD=AGE=90,DF=AF,GE=AG. M是是BC的中點的中點， MFAC,MGAB,21212121FG四邊形四邊形AFMG是平行四邊形，是平行四邊形， AG=MF,MG=AF,AFM=AGM，MF=EG,DF=MG,AFM+AFD=AGM+AGE,DFM=MGE.在在DFM和和MGE中中， FM=GE DFM=MGE DF=MG,DFM MGE(SAS),DM=ME.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形、四邊形的證明與計算類型三類型三

15、截長補短截長補短 典例精講 例例 （20152015本溪本溪）如圖）如圖，在，在ABC中，中，AB=AC,射線射線BP從從BA所在位置開始繞點所在位置開始繞點B順時針旋轉，旋轉角為順時針旋轉，旋轉角為（0180) （1）當）當BAC=60時，將時，將BP旋轉到圖旋轉到圖位置，點位置，點D在在射線射線BP上，若上，若CDP120,證明：證明：BD=CD+AD； 例題圖例題圖例題圖例題圖 （2）當）當BAC=120時，將時，將BP旋轉到圖旋轉到圖位置，點位置，點D在射線在射線BP上，若上，若CDP=60，求證：，求證：BD-CD= AD; （3）將圖）將圖中的中的BP繼續(xù)旋轉，當繼續(xù)旋轉，當301

16、80時，時，點點D是直線是直線BP上一點（點上一點（點P不在線段不在線段BD上），若上），若CDP=120,試猜想：線段試猜想：線段BD、CD與與AD之間的數(shù)量關系，并證明之間的數(shù)量關系，并證明.例題圖例題圖3 （1）【思路分析】如解圖）【思路分析】如解圖，CDP=120，根據(jù)鄰補，根據(jù)鄰補角互補得出角互補得出CDB=60，那么，那么CDB=BAC=60，所以，所以A、B、C、D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得出四點共圓，根據(jù)圓周角定理得出ACD=ABD;在在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE.利用利用SAS證明證明DCA EBA，得出得出AD=AE,DAC=EAB，再證明，再證明ADE是等邊

17、三角形，是等邊三角形，得到得到DE=AD，進而得出，進而得出BD=CD+AD.證明證明：如解圖：如解圖，CDP=120，CDB=60，BAC=60，CDB=BAC=60，A、B、C、D四點共圓，四點共圓，ACD=ABD.在在BP上截取上截取BE=CD，連接，連接AE，在在DCA與與EBA中，中， AC=AB ACD=ABE CD=BE,DCA EBA(SAS),例題解圖例題解圖EAD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60，DAE=CAE+DAC=60,ADE是等邊三角形，是等邊三角形，DE=AD,BD=BE+DE,BD=CD+AD. (2)【思路分析】如解圖【思路分析】如解圖，設

18、，設AC與與BD相交于點相交于點O，在在BP上截取上截取BE=CD，連接，連接AE,過過A作作AFBD于于F.先由兩角先由兩角對應相等的兩三角形相似得出對應相等的兩三角形相似得出DOCAOB，于是，于是ACD=ABE.再利用再利用SAS證明證明DCA EBA，得出，得出AD=AE,DAC=EAB.由由CAB=CAE+EAB=120，得出得出DAE=120，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形內角和，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出定理求出ADE=AED= =30.解解RtADF，得，得到到DF= AD，那么，那么DE=2DF AD，進而得出，進而得出BD=DE+BE= AD+CD,即即BD-

19、CD= AD.2120-18023333 證明證明：如解圖：如解圖，設，設AC與與BD相交于點相交于點O，在，在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE，過，過A作作AFBD于于F. CDP=60， CDB=120， CAB=120， CDB=CAB, DOC=AOB， DOCAOB, ACD=ABE.例題解圖例題解圖EFO在在DCA與與EBA中，中， AC=AB ACD=ABE, CD=BEDCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=120,DAE=120,ADE=AED= =30.2120-180在在RtADF中，中，ADF=30，DF= AD,DE=2D

20、F= AD,BD=DE+BE= AD+CD,BD-CD= AD.32333(3)【思路分析】同（【思路分析】同（2）證明可以得出）證明可以得出BD+CD= AD.3 解解：猜想：猜想：BD+CD= AD或或CD-BD= AD. 證明證明：如解圖：如解圖，在，在DB的延長線上取的延長線上取BE=CD,連接連接AE,過過A作作AFBE于于F.33由三角形外角性質得由三角形外角性質得CBE=CDB+BCD=60+BCD,又又CBE=ABC+ABE=30+ABE，ABE=30+BCD=ACB+BCD=ACD,AC=AB,CD=BE,ACD ABE（SAS）,EAB=DAC,AE=AD,EAB+BAD=

21、BAD+DAC=120,ADE=30.DE=2DF=2ADcosADF= AD, AD=BD+BE=BD+CD;3例題解圖例題解圖3FE如解圖如解圖，當點，當點P在在DB的延長線上，的延長線上，在在CD上截取上截取CE=BD,連接連接AE,過過A作作AFCD于于F.易得易得ACE ABD，AE=AD,CAE=BAD,EAD=CAE+EAB=CAB=120，在在RtDAF中中，F(xiàn)D=ADcosADF= AD,ED=2FD= AD,CD-BD= AD.3323例題解圖例題解圖EF第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形

22、、四邊形的證明與計算類型四類型四 構建適宜的三角形或四邊形構建適宜的三角形或四邊形 典例精講 例例 （2015營口）（營口）（1）如圖）如圖，銳角，銳角ABC中分別中分別以以AB、AC為邊向外作等腰為邊向外作等腰ABE和等腰和等腰ACD，使，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接，連接BD，CE，試，試猜想猜想BD與與CE的大小關系，并說明理由的大小關系，并說明理由.例題圖例題圖例題圖例題圖（2）如圖）如圖，四邊形，四邊形ABCD中，中，AB=7 cm，BC=3 cm，ABC=ACD=ADC=45，求，求BD的長的長.（3）如圖）如圖，在（，在（2）的條件下，當）的條件下，當ACD在線

23、段在線段AC的的左側時，求左側時，求BD的長的長.例題圖例題圖 解：解：BD=CE.理由如下：理由如下： BAE=CAD， BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD AC=AD， (1)【思路分析】先通過角度間的等量代換證明【思路分析】先通過角度間的等量代換證明EAC=BAD，再根據(jù)，再根據(jù)SAS即可證明即可證明EAC BAD，由全等三角形，由全等三角形的性質即可證明的性質即可證明BD=CE. EAC BAD（SAS），）， BD=CE. （2）【思路分析】在）【思路分析】在ABC的外部，以點的外部，以點A為直角頂點作為直角

24、頂點作等腰直角三角形等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，連接，連接EC，證明證明EAC BAD，證明，證明BD=CE，然后在直角三角形，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解中利用勾股定理即可求解. 解解：如解圖：如解圖，在，在ABC的外部，以點的外部，以點A為直角頂點為直角頂點作等腰直角三角形作等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，連接，連接EC.ACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD，在在EAC和和BAD中中， AE=AB EAC=BAD AC=AD，EAC BAD（SAS），），BD=CE

25、.例題解圖例題解圖EAE=AB=7，BE= =7 ，ABE=AEB=45，又又ABC=45，ABC+ABE=45+45= 90，CE= = = ， BD=CE= cm.10710727722+BCBE22+3）27(22+ (3)【思路分析】在線段【思路分析】在線段AC的右側過點的右側過點A作作AEAB于點于點A，交交BC的延長線于點的延長線于點E，證明，證明EAC BAD，證明，證明BD=CE，即可求解即可求解.例題解圖例題解圖解解：如解圖：如解圖，在線段，在線段AC的右側過點的右側過點A作作AEAB于點于點A，交交BC的延長線于點的延長線于點E.AEAB，BAE=90，又又ABC=45，E

26、=ABC=45，AE=AB=7，BE= = ，又又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，AC=AD,7722+27EBAE-BAC=DAC-BAC，即，即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD ， AC=ADEAC BAD（SAS），），BD=CE，BC=3，BD=CE= cm.3)-27(第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點突破二、解答題重難點突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計算三角形、四邊形的證明與計算類型五類型五 有角平分線，作到角兩邊的垂線有角平分線，作到角兩邊的垂線 典例精講 例例 （20142014重慶重慶A A卷卷）

27、如圖，）如圖，ABC中，中，BAC=90，ABAC，ADBC,垂足是垂足是D，AE平分平分BAD,交交BC于點于點E.在在ABC外有一點外有一點F，使使FAAE,FCBC. （1）求證：）求證：BE=CF; ( 2 )在在AB上取一點上取一點M，使，使BM2DE,連接連接MC，交，交AD于點于點N，連接，連接ME. 求證求證:MEBC; DE=DN.例題圖例題圖 (1)【思路分析】要證【思路分析】要證BE=CF，通過觀察圖形，得其分，通過觀察圖形，得其分別在別在ABE與與ACF中，由于中，由于ABE與與ACF分別有一組分別有一組邊相等邊相等(AB=AC)，且，且BE、CF的對應角都與直角有關的

28、對應角都與直角有關（BACEAF90），因此，可考慮通過證明），因此，可考慮通過證明ABE與與ACF全等后，再進一步利用全等三角形的性質全等后，再進一步利用全等三角形的性質證明證明BE=CF.證明證明：如解圖，：如解圖，BAC=90，F(xiàn)AAE，1+EAC=90，例題解圖例題解圖 2+EAC=90，12，又又AB=AC,B=ACB=45.FCBC, FCA=90 - ACB=90-45=45，B=FCA，ABE ACF（ASA），），BE=CF.G25134687一題多解一題多解:BAC=90，F(xiàn)AAE,BAC=EAF=90,BAE+EAC=EAC+CAF,BAE=CAF,又又FCBC，且在四邊

29、形且在四邊形AECF中，中，EAF+ECF=180,AEC+F=180，BEA+AEC=180，BEA=F,AB=AC,ABE ACF(AAS), BE=CF. (2)【思路分析】【思路分析】過過E作作EGAB于點于點G,可證明可證明GBE是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，可得3=45,由角平分線的性質可證由角平分線的性質可證EG=ED,可得可得BG=ED,再由再由BM=2ED,可證可證EG是是BM的垂直平的垂直平分線，可得分線，可得4=45,即可證明即可證明MEBC；先證先證RtAMC RtEMC得出得出7=8,再證再證ADE CDN,得出得出DE=DN. 證明證明：如解圖，過如解圖，過E作作EGAB于點于點G. B=45， GBE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BG=EG,3=45，ADBC,AE平分平分BAD,EG=ED,BG=ED,BM=2ED,BM=2BG,即即G是是BM的中點的中點,EG是是BM的垂直平分線，的垂直平分線，EB=EM,4=3=45,MEB=4+3=45+4590，即，即MEBC.ADBC,MEAD,5=6，1=5,1=6,AM=EM，MC=MC,RtAMC RtEMC(HL)，78，BAC=90，AB=AC,ACB=45，BAD=CAD=45， 5722.5，ADCD，ADE=CDN=90，ADE CDN（ASA），），DE=DN.