《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第9單元第54講 空間距離及其計(jì)算、折疊問題 湘教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第9單元第54講 空間距離及其計(jì)算、折疊問題 湘教版（58頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.了解空間各種距離的概念，掌握求空間距離的一般方法.2.能熟練地將直線與平面之間的距離，兩平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.3.了解折疊問題的基本內(nèi)涵，掌握分析求解折疊問題的基本原則.1.在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,則點(diǎn)A到直線A1C的距離為( )CA. a B. aC. a D. a2 632 333 62632611AC AAAC2 33解析：如圖，點(diǎn)A到直線A1C的距離，即為RtA1AC斜邊上的高AE.由AB=BC=a,得AC= a.又AA1=2a,所以A1C= a,所以AE= = a.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA

2、1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為( )BA. B. C. D.34323 343332解析：取BC的中點(diǎn)M，連接AM、A1M，可證平面A1AM平面A1BC.作AHA1M，垂足為H,則AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM= ，A1M=2,故AH= .3.如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列命題中正確的是( )DA.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC解析：由已知BAAD,CDBD，又平面ABD平

3、面BCD,所以CD平面ABD.從而CDAB,又BAAD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.4.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a, E、F分別是B1C1、BB1的中點(diǎn)，則： (1)直線EF與平面D1AC1的距離是 ; (2)平面AB1D1與平面C1BD間的距離是 .3 24a24a 解析：(1)易知EF平面D1AC1.過E作EHBC1H.因?yàn)镈1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH,故EH平面D1AC1，從而EF與平面D1AC1的距離為EH= a. (2)因?yàn)槠矫鍭B1D1平面C1BD,連接A1C,設(shè)A1C分別與平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,則

4、 為所求距離,且O1O2= A1C= a.24133312O O-l-60PQ P3PQ_5. 已知二面角，、 分在面、， 到 的距離，、之距離的最小值為動點(diǎn)別內(nèi)為2則兩點(diǎn) 間為2 3.PQ PQl解且，距離最小，易求得析：當(dāng)僅當(dāng)時兩點(diǎn) 一、空間距離 1.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)的 的長度. 2.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向直線引垂線， 的長度. 3.點(diǎn)到平面的距離：自點(diǎn)向平面引垂線， 的長度. 4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線, . 的長度.線段點(diǎn)到垂足之間線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足間線段5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的

5、 的長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個平面平行,從這條直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線, 的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的 的長度.線段這點(diǎn)到垂足間線段公垂線段二、求距離的一般方法與步驟（一）傳統(tǒng)方法1.兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離其實(shí)是平面幾何中的問題，可用 求解.2.平行直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求 的距離.3.求距離的基本步驟是：()找出或作出有關(guān)距離的圖形；()證明它符合定義；()在平面圖形內(nèi)計(jì)算.平面幾何方法點(diǎn)面間ABC()D| DC|AB|121212llnllllnn 向量方法異面直距離的求法， 是異面直， 是 ， 的

6、公垂段的方向向量，又 、 分是 、 上的任意，二1.線間兩條線線別兩點(diǎn)則ABB| AB|23nnn 點(diǎn)設(shè)條線則點(diǎn)為線轉(zhuǎn)點(diǎn)面距離的求法：是平面 的法向量，是平面 的一斜，到平面 的距離面距離、面面距離可均化面距離三、折疊問題1.概念：將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形，再對折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量進(jìn)行論證和計(jì)算，就是折疊問題.2.折疊問題分析求解原則：(1)折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；(2)折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持 .不變BCDMCD2MCDBCDABBCDAB2 3.AMBC 如所示，與都是的正三角形，平面平面，平面，求到平面例1的距離圖邊長

7、為點(diǎn)題型一 用基本法求空間距離CDOOBOM.OBOM3OBCDMOCD.MCDBCDMOBCDMO / /ABMO / /ABCMOABCOHBCHMHOHABCMHBC.如圖所示，取的中點(diǎn) ，連接，則，又平面平面，則平面，所以，平面， 到平面的距離相等作于 ，連接，則平面，解析：A MBCM ABCMBCABC3OHOC sin602315MH3 22.22AMBCd.1VVSdSOH31 1151 132d2 233 223 222 15d.5 求得，設(shè)點(diǎn) 到平面的距離為由，得，即解得 評析：點(diǎn)到平面的距離是有關(guān)距離的重點(diǎn)，它主要由兩種方法求得：(1)用定義直接作出這段距離，經(jīng)論證再計(jì)算

8、，即“找(作)證算”；(2)等積法：轉(zhuǎn)化為錐體的高，用錐體的體積公式求解11111ABCA B CAA4ABCACBC2C90C1AB 在直三棱柱中，底面中，素材求到的距離點(diǎn)1 CCEABE.ACBCEABEEFABFCF如，作于由，所以解析的中作于 ，接，圖過點(diǎn)為點(diǎn)過連111221CFCABACBC2C90CE21BBHABHEFBH.24 32 3Rt ABBBH,EF33430CFEFEC2,3330CAB.3則可證得為點(diǎn) 到的距離由，所以過 作于 ，則在中，所以，所以所以點(diǎn) 到的距離為 ABCD1PDABCDPD1EFABBCDPEFACPEF 22已知正方形的邊長為 ，平面，且， 、

9、 分別為、的中點(diǎn)求點(diǎn) 到平面的距離；求直線到平面 (例1)的距離題型二 用向量法求空間距離|d|nn an求點(diǎn)到平面的距離，可建立空間直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)平面的法向量 以及該點(diǎn)到平面內(nèi)一點(diǎn)的向量，分析： 可利用公式求解 1P 0,0,1A 1,0,0C 0,1,011E(10)F(1,0)2211 1PE(11),EF(0)22 2PEF(xyz) n 建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則， ， ，則，設(shè)平解面的法向量， ，析：，則y22,2,3DP0,0,1DPEFDP33 17d.|1717nnn 取，而，所以到平面的距離則點(diǎn)則 AC / /PEFAPEFACPEF1| AE|117AE(00)2|

10、171717ACPEF172nn 因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn) 到平面的距離等于直線到平面的距離而，所以故直線到平面的距離等于 評析：由上可知，用向量求立體幾何中有關(guān)距離的問題，不但可以減少一些輔助線的添加，而且求解簡捷利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟如下： (1)求出該平面的一個法向量n；(2)找出以該點(diǎn)及平面內(nèi)的某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對應(yīng)的向量a；(3)利用公式d= 求距離 n an 11111111112 (ABCDA B C DADAA1AB2EABD EA DEAB2010EACDAEDECD3)24如圖，在長方體中，點(diǎn)在棱上移動證明：；當(dāng) 為的中點(diǎn)時，求點(diǎn) 到平面的距離；等于何值時，素材嘉興市基礎(chǔ)二

11、面角的大小為測試。 111111111111111111AD .ABCDA B C DADAA.ADD AA DAD .AEA ADDAEA DAEADAA DAD ED ED.1A1連接在長方體中，則四邊形是正方形， 所以又平面，則， 所以平面，則 解析： 1111DDADCDDxyzA 1,0,1D0,0,1A 1,0,0C 0,2,0EABE 1,1,0D E(1,11)AC1,2,0 2 建立空間直角坐標(biāo)系，取 為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、 、 軸則，因?yàn)?為的中點(diǎn)，則所以，11111AD1,0,1ACD(abc)AC0a2b0ac0AD0a2b1c22,1,2EAD C| D E| 212

12、|1d|33 nnnnnn 設(shè)平面的法向量為， ， ，則即取，則，所以故點(diǎn) 到平面的距離 1111AEx(0 x2)E(1x,0)D ECm(abc)CE(1x2,0) D C (0,21),D C0DD0,0,1CE02bc0ab x20b1c2a2xm2x, 132 , mm 設(shè)，則，令平面的法向量為， ， ，因?yàn)椋?即令，所以，所以111121DECDD0,0,1|DD |2cos,42| | DD |2222x 25x23()x23AE23DECD.4 mm因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，所以即所以不合，舍去 ，所以當(dāng)時，二面角的大小為12 例3 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，A

13、D=DC= AB=a(如圖），將ADC沿AC折起，使D到D，記平面ACD為，平面ABC為，平面BCD為（如圖）.（1）若二面角-AC-為直二面角，求二面角-BC-的大小；（2）若二面角-AC-為60，求三棱錐D-ABC的體積.22解析： (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC為等腰直角三角形，所以AC= a, CAB=45.過點(diǎn)C作CHAB,由AB=2a，可推得AC=BC= a，所以ACBC.取AC的中點(diǎn)E，連接DE，則DEAC.又二面角-AC-為直二面角,所以DE.又因?yàn)锽C平面，所以BCDE，所以BC.而DC ，所以BCDC，所以DCA為二面角-BC-的平面角.由于DCA=45，所以二面

14、角-BC-的大小為45.(2)取AC的中點(diǎn)E，連接DE，再過點(diǎn)D作DO，垂足為O，連接OE.因?yàn)锳CDE，所以ACOE，所以DEO是二面角-AC-的平面角，所以DEO=60.在RtDOE中，DE= AC= a，DO=sin60DE= a，所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a3.122264131312162264612 評析 分析求解折疊問題的關(guān)鍵是分辨折疊前后的不變量和不變關(guān)系，在求解過程中充分利用不變量和不變關(guān)系.素材3 如圖，已知四邊形ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為3的等腰梯形（如圖）.將它沿對稱軸OO1折成直二面角(如圖). (1)證明：AC

15、BO1； (2)求二面角OACO1的正弦值.1OBOO311OCOO33 解析：（方法1）（1）證明：由題設(shè)知，OAOO1，OBOO1, 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 從而AO平面OBCO1. OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因?yàn)閠anOO1B= = , tanO1OC= = ,所以O(shè)O1B=60，O1OC=30,從而OCBO1，由線面垂直得ACBO1.(2)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E,過點(diǎn)E作EFAC于F,連接O1F,則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影.由線面垂直得ACO1F，所以O(shè)1FE是二面角O-AC-O1的平面角.

16、由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1，所以O(shè)1A= =2 ,AC= = ，從而O1F= = .又O1E=OO1sin30= ,所以sinO1FE= = .3221OAOO32211O AOC1311O A OCAC2 3133211O EO F34(方法2)(1)證明:由題設(shè)知OAOO1,OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是1111A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1, 3),O (0,0, 3)AC( 3,1, 3).BO(03,3),AC B

17、O ,ACOCC,BOOC. 而， ，故所以從(2)因?yàn)?=-3+ =0,所以BO1OC.由(1)知ACBO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)是平面O1AC的一個法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，AC1BO 3OC31BO 由，得1OC 3取z= ,得n=(1,0, ).設(shè)二面角OACO1的大小為，由n、 的方向可知=n, ，所以cos=cosn， = = = ，則sin= .即二面角OACO1的正弦值為 .1BO 331BO 1BO 11|n BOn BO 32 3234134134 1PDCBPDCBCDP

18、DPD6BC3 DC6APDEABABPAB2PCDB451PAABCD2PECPAD3PADCE如所示，在直角梯形中， 是段的中， 是段的中，沿把折起，如所示，使二面角成角求：平面；求平面和平面所成的二面角的大??；求四棱體例的圖線點(diǎn)線點(diǎn)備選題 錐 圖證銳積 ABPAABADABPAD.ABDCDCPADDCADDCPD.1PDAPCDBPDA45PAAD3PDA45PAAD.PAABPAABCD.明：因，所以平面因，所以平面，所以，所以是二面角的平面角，故，因且，所以又因，所解以析平面證為為為為 3AxyzA 0,0,0B( 6 0,0)C( 63,0)D 0,3,06P 0,0,3E(0,

19、0).21AB( 6 0,0)PADPECn(xyz)PE02,EC0 如，建立空直角坐系，由知，是平面的法向量，平面的法向量， ， ，圖間標(biāo)則圖設(shè)為則nn6(0, 3) ()026(3,0) ()02660660161( 61,1)xyzxyzxzxyzxy ， ，即， ，所以令，所以 ，則nABnABcos| AB|600611 =62 23 =2AB6 向量與 所成的角，所以向量與 所成的角，設(shè)為則為nnn P ADCEADCE1PAPAECDPA3.ADCES1SAECDAD2169 =6362241VSPA319963=63434直角梯形由得四棱的高，且直角梯形的面，所以為錐設(shè)積為1

20、.對于空間中的距離，我們主要研究點(diǎn)到平面的距離、直線和平面的距離及兩個平行平面之間的距離，其重點(diǎn)是點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質(zhì)來做.求點(diǎn)到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、二證、三計(jì)算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計(jì)算.其中第二步證明易被忽略，應(yīng)當(dāng)引起重視.3.用向量法求距離，方便快捷，應(yīng)注意掌握一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離后，按如下步驟操作： (1)求出平面的法向量n； (2)找出以該點(diǎn)及面內(nèi)某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對應(yīng)的向量a； (3)代入公式d= 求距離 |n a |n 4.將平面圖形折疊，使形成立體

21、圖形，通過對折疊問題的研究進(jìn)一步樹立空間概念，提高空間想象能力. 5.平面圖形折疊成空間圖形，主要抓住變與不變的量，所謂不變的量，即是指“未折壞”的元素，包括“未折壞”的邊和角，一般優(yōu)先標(biāo)出未折壞的直角(從而觀察是否存在線面垂直)，然后標(biāo)出其他特殊角，以及所有不變的線段19060ABCDABACACDACABCDBD圖邊將對線間 如所示，在平行四形中，它沿角折起，使與成角，求 、的距離錯解：錯解： 由于在利用向量法解，向量的相概念與面位置系的概念有所差異，因此地向量角等同于異面直所成的角，直的方向向量與平面的法向量所成的角等同于直與平面所成角都是常犯的，解的是要理清概念，只有理清概念，才能得心手地利用向量解幾何題時關(guān)線關(guān)錯誤將線將線線錯誤決關(guān)鍵應(yīng)決問題錯解分析：錯解分析：正解：正解：