《2010-2019歷年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列的綜合應(yīng)用》真題匯總(共30頁)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2010-2019歷年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列的綜合應(yīng)用》真題匯總(共30頁)（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2010-2019歷年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列的綜合應(yīng)用》真題匯總 專題六 數(shù)列 第十八講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1．(2018浙江)已知，，，成等比數(shù)列，且．若，則 A．， B．， C．， D．， 2．(2015湖北)設(shè)，．若p：成等比數(shù)列；q：，則 A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 3．（2014新課標(biāo)2）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的前項和= A． B．

2、 C． D． 4．（2014浙江）設(shè)函數(shù)，， ，記 ，則 A． B． C． D． 二、填空題 5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前項和，則使得成立的的最小值為 ． 6．（2015浙江）已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則 ， ． 7．（2013重慶）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項和，若成等比數(shù)列，則． 8．（2011江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________． 三、解答題 9．

3、（2018江蘇）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列． (1)設(shè)，若對均成立，求的取值范圍； (2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）． 10*．（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，． 證明：當(dāng)時 （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）． *根據(jù)親所在地區(qū)選用，新課標(biāo)地區(qū)（文科）不考． 11．（2017江蘇）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足 對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”． （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”； （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列． 12．（2016年四川）已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前項和，，其中，

4、 (Ⅰ)若成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ)設(shè)雙曲線的離心率為，且，求． 13．（2016年浙江）設(shè)數(shù)列{}的前項和為.已知=4，=2+1，. （I）求通項公式； （II）求數(shù)列{}的前項和. 14．(2015重慶)已知等差數(shù)列滿足，前3項和． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和． 15．（2015天津）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，． （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和． 16．(2015四川)設(shè)數(shù)列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．

5、 17．（2015湖北）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，． （Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式； （Ⅱ）當(dāng)時，記=，求數(shù)列的前項和． 18．(2014山東）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，，成等比數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令=求數(shù)列的前項和． 19．（2014浙江）已知數(shù)列和滿足．若為等比數(shù)列，且 （Ⅰ）求與； （Ⅱ）設(shè)．記數(shù)列的前項和為． （?。┣螅? （ⅱ）求正整數(shù)，使得對任意，均有． 20．（2014湖南）已知數(shù)列{}滿足 （Ⅰ）若{}是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值； （Ⅱ）若，且{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{}的

6、通項公式． 21．（2014四川）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）． （Ⅰ）若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和； （Ⅱ）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列 的前項和． 22．(2014江蘇)設(shè)數(shù)列的前項和為．若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“H數(shù)列”． （Ⅰ）若數(shù)列的前n項和(N)，證明: 是“H數(shù)列”； （Ⅱ）設(shè) 是等差數(shù)列，其首項，公差．若 是“H數(shù)列”，求的值； （Ⅲ）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“H數(shù)列”和，使得(N)成立． 23．（2013安徽）設(shè)數(shù)列滿足，，且對任意，函數(shù) ，滿足 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若，求數(shù)列

7、的前項和． 24．（2013廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足 且構(gòu)成等比數(shù)列． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有． 25．（2013湖北）已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列， 且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合； 若不存在，說明理由． 26．（2013江蘇）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和. 記，，其中為實數(shù). （Ⅰ） 若，且，，成等比數(shù)列，證明：； （Ⅱ） 若是等差數(shù)列，證明：． 27． (2012山東)已知等差數(shù)列的前5項和為105，且． （Ⅰ

8、）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和． 28．（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50％．預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元． （Ⅰ）用表示，并寫出與的關(guān)系式； （Ⅱ）若公司希望經(jīng)過（≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值（用表示）． 29．（2012浙江）已知數(shù)列的前項和為，且=，，數(shù)列滿足，．

9、 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和． 30．（2012山東）在等差數(shù)列中，， （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）對任意的，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前項和． 31．（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：． （Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值． 32．（2011天津）已知數(shù)列滿足， ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)為的前項和，證明 33．（2011天津）已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)證明：． 34．（2010新課

10、標(biāo)）設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和． 35．（2010湖南）給出下面的數(shù)表序列： 其中表（=1,2,3 ）有行，第1行的個數(shù)是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． （Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表（≥3）（不要求證明）； （Ⅱ）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，，記此數(shù)列為，求和： ． 答案部分 1．B【解析】解法一 因為()，所以 ，所以，又，所以等比數(shù)列的公比． 若，則， 而，所以， 與矛盾， 所以，所以，， 所以，

11、，故選B． 解法二 因為，， 所以，則， 又，所以等比數(shù)列的公比． 若，則， 而，所以 與矛盾， 所以，所以，， 所以，，故選B． 2．A【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且； 對命題， ①當(dāng)時，成立； ②當(dāng)時，根據(jù)柯西不等式， 等式成立， 則，所以成等比數(shù)列， 所以是的充分條件，但不是的必要條件． 3．A【解析】，，成等比數(shù)列，∴，即，解得，所以． 4．B【解析】∵在上單調(diào)遞增，可得， ，…，， ∴ = ∵在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 ∴，…，，， ，…， ∴ == = ∵在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得 因此． 5

12、．27【解析】所有的正奇數(shù)和()按照從小到大的順序排列構(gòu)成，在數(shù)列 中，前面有16個正奇數(shù)，即，．當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；……；當(dāng)時，= 441 +62= 503<，不符合題意；當(dāng)時，=484 +62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27． 6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以． 7．64【解析】由且成等比數(shù)列，得，解得，故． 8．【解析】設(shè)，則，由于，所以，故的最小值是． 因此，所以． 9．【解析】(1)由條件知：,． 因為對=1，2，3，4均成立， 即對=1，2，3，4均成立， 即11，13

13、，35，79，得． 因此，的取值范圍為． (2)由條件知：,． 若存在，使得(=2，3，···，+1)成立， 即(=2，3，···，+1)， 即當(dāng)時，滿足． 因為，則， 從而，，對均成立． 因此，取=0時，對均成立． 下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）． ①當(dāng)時，， 當(dāng)時，有，從而． 因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增， 故數(shù)列的最大值為． ②設(shè)，當(dāng)時，， 所以單調(diào)遞減，從而． 當(dāng)時，， 因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減， 故數(shù)列的最小值為． 因此，的取值范圍為． 10．【解析】（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時， 假設(shè)時，， 那么時，若，則，矛盾，故． 因此

14、所以 因此 （Ⅱ）由得 記函數(shù) 函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因為 所以得 由得 所以 故 綜上， ． 11．【解析】證明:（1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則， 從而，當(dāng)時， ， 所以， 因此等差數(shù)列是“數(shù)列”. （2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此， 當(dāng)時，，① 當(dāng)時，.② 由①知，，③ ，④ 將③④代入②，得，其中， 所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為. 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以， 所以數(shù)列是等差數(shù)列. 12．【解析】（Ⅰ）由已知， 兩式相減得到. 又由得到，故對所有都成立. 所以

15、，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列. 從而. 由成等差數(shù)列，可得，所以，故. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以雙曲線的離心率. 由解得.所以， 13．【解析】（1）由題意得：，則， 又當(dāng)時，由， 得， 所以，數(shù)列的通項公式為. （2）設(shè)，，. 當(dāng)時，由于，故. 設(shè)數(shù)列的前項和為，則. 當(dāng)時，， 所以，. 14．【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，則由已知條件得 化簡得 解得，． 故通項公式，即． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 設(shè)的公比為，則，從而． 故的前項和 ． 15．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d，由題意，由已知，有 消去d，整數(shù)得，又因

16、為＞0，解得，所以的通項公式為，數(shù)列的通項公式為. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）有 ,設(shè)的前n項和為，則 ， ， 兩式相減得， 所以． 16．【解析】(Ⅰ) 由已知，有 =(n≥2)，即(n≥2)， 從而，． 又因為，+1，成等差數(shù)列，即＋＝2(＋1)， 所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2． 所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故． (Ⅱ)由(Ⅰ)得， 所以＝． 17．【解析】（Ⅰ）由題意有， 即， 解得 或 故或 （Ⅱ）由，知，，故，于是 ， ① ． ② ①－②可得 ， 故． 18．【解析】（Ⅰ） 解得 （Ⅱ），

17、當(dāng)為偶數(shù)時 ． 19．【解析】（Ⅰ）由題意，，， 知，又由，得公比（舍去）， 所以數(shù)列的通項公式為， 所以， 故數(shù)列的通項公式為，； （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，， 所以； （ii）因為； 當(dāng)時，， 而， 得， 所以當(dāng)時，， 綜上對任意恒有，故． 20．【解析】（I）因為是遞增數(shù)列，所以。而， 因此又成等差數(shù)列，所以，因而， 解得 當(dāng)時，，這與是遞增數(shù)列矛盾。故. （Ⅱ）由于是遞增數(shù)列，因而，于是 ① 但，所以 . ② 又①，②知，，因此 ③ 因

18、為是遞減數(shù)列，同理可得，故 ④ 由③，④即知，。 于是 . 故數(shù)列的通項公式為． 21．【解析】（Ⅰ）點在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以 因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以 又，所以 （Ⅱ）由，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為 所以切線在軸上的截距為，從而，故 從而，， 所以 故． 22．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時， 當(dāng)時， ∴時，，當(dāng)時，，∴是“H數(shù)列”． （Ⅱ） 對，使，即 取得， ∵，∴，又，∴，∴． （Ⅲ）設(shè)的公差為d 令，對， ，對， 則，且為等差數(shù)列 的前n項和，令，則 當(dāng)時； 當(dāng)時； 當(dāng)時，

19、由于n與奇偶性不同，即非負(fù)偶數(shù)， 因此對，都可找到，使成立，即為“H數(shù)列”． 的前ｎ項和，令，則 ∵對，是非負(fù)偶數(shù)，∴ 即對，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列” 因此命題得證． 23．【解析】（Ⅰ）由， 所以， 是等差數(shù)列. 而，，，， （Ⅱ） 24．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，， （Ⅱ）當(dāng)時，， , 當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列. 構(gòu)成等比數(shù)列，，， 解得． 由（Ⅰ）可知， 是首項,公差的等差數(shù)列. 數(shù)列的通項公式為. （Ⅲ） 25．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則，. 由題意得 即 解得 故數(shù)列的通

20、項公式為． （Ⅱ）由（Ⅰ）有 . 若存在，使得，則，即 當(dāng)為偶數(shù)時，， 上式不成立； 當(dāng)為奇數(shù)時，，即，則. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的n的集合為． 26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題， ，， 是等差數(shù)列，首項為，公差為，，又成等比數(shù)列， ，，，，，， ，（）． （Ⅱ）由題，，，若是等差數(shù)列，則可設(shè)，是常數(shù)，關(guān)于恒成立．整理得： 關(guān)于恒成立．， ． 27．【解析】（Ⅰ）由已知得： 解得, 所以通項公式為. （Ⅱ）由，得，即. ∵， ∴是公比為49的等比數(shù)列， ∴． 28．【解析】（Ⅰ）由題意得， ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得

21、 ． 整理得　 ． 由題意， 解得． 故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4000元． 29．【解析】（Ⅰ）由=，得 當(dāng)=1時，； 當(dāng)2時，，. 由，得，. （Ⅱ）由（1）知， 所以， ， ，． 30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則 ，， 于是，即. （Ⅱ）對任意m∈，，則， 即，而，由題意可知， 于是 ， 即. 31．【解析】（Ⅰ）由題意知， 所以，從而 所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列． （Ⅱ）．所以， 從而 (*) 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知下證． 若

22、，則．故當(dāng)，，與（*）矛盾； 若，則．故當(dāng)，，與（*）矛盾； 綜上：故，所以． 又，所以是以公比為的等比數(shù)列，若， 則，于是，又由，得， 所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而， 所以． 32．【解析】（Ⅰ）由，可得 又， 當(dāng) 當(dāng) （Ⅱ）證明：對任意 ① ② ②-①，得 所以是等比數(shù)列。 （Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 故對任意 由①得 因此， 于是， 故 33．【解析】（Ⅰ）由可得 又 當(dāng)時，，由，，可得； 當(dāng)時，，可得； 當(dāng)時，，可得； （Ⅱ）證明：對任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入

23、①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （Ⅲ）證明：由（II）可得， 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時也成立.由④式得 從而 所以，對任意， 對于=1，不等式顯然成立. 所以，對任意 34．【解析】（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時， ．而 所以數(shù)列{}的通項公式為． （Ⅱ）由知 ① 從而 ② ①-②得 ． 即 ． 35．【解析】（Ⅰ）表4為 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別為4,

24、8,16,32. 它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．將結(jié)這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列. 將這一結(jié)論推廣到表，即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列． 簡證如下（對考生不作要求） 首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數(shù)列，其平均數(shù)為；其次，若表的第行，，…，是等差數(shù)列，則它的第行，，…，也是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表的第行中的數(shù)的平均數(shù)與行中的數(shù)的平均數(shù)分別是 ，． 由此可知，表各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列． （Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數(shù)是 由（Ⅰ）知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第行中的數(shù)的平均數(shù)是），于是表中最后一行的唯一一個數(shù)為.因此 ．(=1,2,3, …, )，故 ． 專心---專注---專業(yè)