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1、四、對導函數一分為二成兩個函數之和 ? 例7 證明:對任意的正整數，不等式都成立. ? 分析? 對任意的正整數，要證不等式都成立，設，則只要證明當時，不等式即 恒成立.設，則只要證當時，恒成立即可. ? 證明 設.則當時， ，所以在上單調遞增，所以當時，，即，也就是恒成立.令，則，故對任意的正整數，不等式都成立. ? 點評 這里判斷導函數的符號時，其分子不能用因式分解法定號，我們將分子一分為二成兩個非負數之和，從而確定導函數的符號，使問題得以解決. ? 例8討論函數的零點個數. ? 解 ，注意到，且當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.又時，；當時，.由函數的圖像可

2、知： ? （1）當即時，函數的圖像與軸只有一個公共點，所以只有一個零點； ? （2）當即時，函數的圖像與軸沒有公共點，所以沒有零點； ? （3）當即時，函數的圖像與軸有兩個公共點，所以有兩個零點. ? 點評? 這里將導函數一分為二成兩個函數與之和，而這兩個函數具有相同的零點和相同的單調性，從而得出導函數零點和單調性，本解法充分體現(xiàn)了一分為二的對立與統(tǒng)一. ? 一分為二是普遍的，但不能作機械的理解.本文所舉案例中的函數的可分性從內容、形式及過程是多種多樣的，既可對自變量的取值范圍一分為二，也可將一個函數整體一分為二成兩個函數的和差積商，還可對其導函數或其局部一分為二.一分為二只是一種形式，正確地認識和把握一分為二，就既要看到矛盾雙方的對立和排斥，也要看到雙方的聯(lián)系和統(tǒng)一，以及在一定條件下的相互轉化，對立和統(tǒng)一才是一分為二的精髓.