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1、　一、對函數(shù)自變量的取值范圍一分為二 ? 例1（2010年高考全國卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明:. ? 分析 （1）略；（2）對自變量的取值范圍一分為二，則只要證：①當時，；②當時，. ? 證明? ①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以 ? ，所以，當且僅當時等號成立. ? ②當時，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，故當時，. ? 綜上可知. ? 點評? 對自變量的取值范圍一分為二實際上就是分類討論的思想. ? 例2(2011年高考浙江卷理科第22題)設函數(shù).（1）若為的極值點，求實數(shù)；（2）求實數(shù)的取值范圍，使

2、得對任意的，恒有成立. ? 分析 ?對于第(2)問，注意到，當時，不等式恒成立，因而問題等價于當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 由可分離參數(shù)，轉化為當時，不等式及都恒成立.于是問題轉化為求函數(shù)的最大值及函數(shù)的最小值，易求得的取值范圍是. ? 點評? 本題先將自變量的取值一分為二，再用分離參數(shù)法將函數(shù)一分為二. ? 二、對函數(shù)解析式一分為二成兩種類型的函數(shù) ? 例3 討論函數(shù)的零點個數(shù). ? 解析? 要討論函數(shù)的零點個數(shù)，按對數(shù)型和二次函數(shù)將該函數(shù)一分為二，則只要討論兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)即可.由于，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以.又時，；當時，.而，在同一坐標

3、系畫出這兩個函數(shù)的圖像如圖所示. ? ? 從圖像可知： ? （1）當即時，兩函數(shù)圖像只有一個公共點，則只有一個零點； ? （2）當即時，兩函數(shù)的圖像沒有公共點，則沒有零點； ? （3）當即時，兩函數(shù)圖像有兩個公共點，則有兩個零點. ? 　　例4? 求證:對任意的，都有. ? 分析? 設，利用導數(shù)求最小值，只要證明即可.易求得，然而很難求出的零點，故可考慮按指數(shù)、對數(shù)的形式將函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)，從這兩個函數(shù)的圖像和最值尋找解題契機. ? ? 解? 設，則只要證明即可.，當時，； ? 當時，，所以.因為， ? 當時，；當時，， ? 所以.因此，.因為兩個等號成立的條件分別是和，故兩個等號不能同時成立，所以.這兩個函數(shù)的圖像如圖所示. ? 三、將函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)之積 ? 例5（2011年湖南卷理科第22題）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）略. ? 解 因函數(shù)，故零點的集合就是函數(shù)在上零點集合之并.顯然有一個零點，又，由零存在性定理知，在上有零點，又在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點.綜上所述，函數(shù)有兩個零點. ? 例6（2010年江西高考題）等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（?? ） ? ??? ???????? ? 解 設，則，所以，所以，故選.