《另辟蹊徑 解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《另辟蹊徑 解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問(wèn)題（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、另辟蹊徑 解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問(wèn)題 陜西省洋縣教研室 柯賢華 以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高．對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫(huà)出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來(lái)解決．由于先要畫(huà)出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)解決這一類題． 1 兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn) 數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒(méi)有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來(lái)探究，

2、這可作為解題的切入點(diǎn)。 1.1 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,). 圖1 證明 ： 如圖1，設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,). 1.2 平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 圖2 □ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點(diǎn)E． ∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(,

3、). 又∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)， 圖3 ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(,). ∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等． 2 一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí) 如圖3，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．答案有三種：以AB為對(duì)角線的□ACBD1，以AC為對(duì)角線的□ABCD2，以BC為對(duì)角線的□ABD3C． 3 兩類存在性問(wèn)題解題策略例析與反思 3.1 三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問(wèn)題 例1 已知拋物線y=x2-2x+a(a＜0）與y軸相交于

4、點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M.直線y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N. (1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M( ), N( )； (2)如圖4，將△NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積； (3)在拋物線y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由. 解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形ADCN=； (3)由已知條件易得A(0,a)、

5、C(0,-a)、N(,-).設(shè)P(m,m2-2m+a). ①當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（解題時(shí)熟練推導(dǎo)出），得： 圖4 ,∴. ∴P1(,-)； ②當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí)，得: ,∴(不合題意，舍去). ③當(dāng)以CN為對(duì)角線時(shí)，得: ,∴. ∴P2(-,). ∴在拋物線上存在點(diǎn)P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 反思：已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程（組）求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論.

6、 3.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問(wèn)題 圖5 例2 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點(diǎn). （1）求該拋物線的表達(dá)式； （2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為 頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo). 解 ：（1）易求拋物線的表達(dá)式為y=； (2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,t)；點(diǎn)P在拋物線上， 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,). 盡管點(diǎn)Q在y軸上，也是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了． ①當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m，

7、 ∴m=-4，∴P1(-4,7)； ②當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)； ③當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1). 綜上，滿足條件的點(diǎn)P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1). 反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上．設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式．該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式．本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒(méi)有用上，可以不設(shè)．另外，把在定直線

8、上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； （3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2+x-4； （2）s=-m2-4m(-4<

9、m<0)；s最大=4（過(guò)程略）； （3）盡管是直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這里也寫(xiě)出過(guò)程．由題意知O(0,0)、B(0,-4). 由于點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(m,m2+m-4). ①當(dāng)以O(shè)Q為對(duì)角線時(shí)， 圖6 ∴s=-2. ∴Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)； ②當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)， ∴s1=-4，s2=0(舍). ∴Q3(-4,4)； ③當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線時(shí)， ∴s1=4，s2=0(舍). ∴Q4(4,-4). 綜上，滿足條件的點(diǎn)Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4). 反思：該題中的點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)，就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了. 4 問(wèn)題總結(jié) 這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無(wú)論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）．這種解法，不必畫(huà)出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣．其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想. 4