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1、3.1.2 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)乘運算1.回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量b與非零向量a是否共線？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使b=a ,稱平面向量共線定理.2. 必修必修平面向量平面向量，平面向量的一個重要定理，平面向量的一個重要定理平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量量a，有且只

2、有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1、2，使，使a1e12e2.其中不共線向量其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組的一組基底基底回回 顧顧aOBb結(jié)論結(jié)論：空間空間任意兩個任意兩個向量向量都可都可平移平移到到同一個平面同一個平面內(nèi)內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量，成為同一平面內(nèi)的向量. .因此凡是涉及因此凡是涉及空間任意兩個向量空間任意兩個向量的問題，的問題，平面向平面向量量中有關(guān)結(jié)論仍中有關(guān)結(jié)論仍適用適用于它們于它們. .ba一、空間向量數(shù)乘運算一、空間向量數(shù)乘運算1.1.實數(shù)實數(shù) 與空間向量與空間向量 的乘積的乘積 仍然是一個向量仍然是一個向量. .當(dāng)當(dāng) 時，

3、時， 當(dāng)當(dāng) 時，時，與向量與向量 方向相同；方向相同；與向量與向量 方向相同；方向相同；是零向量是零向量. .aa00aaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，0a（1 1）方向：）方向：（2 2）大小：）大?。旱拈L度是的長度是 的長度的的長度的 倍倍. .a|a2.2.空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律 即： （）()( )()a babaaaaa 二、共線向量二、共線向量: :如果表示空間向量的有向線段所在如果表示空間向量的有向線段所在直線互直線互相平行或重合相平行或重合, ,則這些向量叫做共線向量則這些向量叫做共線向量( (或或平行向量平行向量),),記作記作ba/問題

4、問題2 2：平面向量中，：平面向量中，) 0(/bba.ab的充要條件是：存在的充要條件是：存在唯一的實數(shù)唯一的實數(shù) ，使，使能否推廣到空間向量中呢？能否推廣到空間向量中呢？問題問題1 1：若：若) 0(/aba則則ba,所在直線有那些位置關(guān)系所在直線有那些位置關(guān)系? ?)0(/bba)0(bba)0(/bba由此可判斷空間中兩直線由此可判斷空間中兩直線平行或三點共線問題平行或三點共線問題 共線向量定理共線向量定理: : 對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量 ， ， 的充要條件是存在唯一實數(shù)的充要條件是存在唯一實數(shù)， 使使ab(0).ab b )0(/bba)0(bba 如圖，如圖，l l 為

5、經(jīng)過已知點為經(jīng)過已知點A A且平行已且平行已知非零向量知非零向量 的直線，若點的直線，若點P P是直線是直線l l上任意一點，則上任意一點，則a aal/atAP 對空間任意一點對空間任意一點O,O,OAOPAP所以所以a tOAOPa tOAOP即即 若在若在l l上取上取 則有則有ABtOAOP 和都稱為空間直線的向量表示式，空間任和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量唯一決定意直線由空間一點及直線的方向向量唯一決定. .由由此可判斷空間任意三點共線此可判斷空間任意三點共線。a al lA AB BP PO O由由 知存在唯一的知存在唯一的t t, , 滿足滿

6、足aAB因為因為 ,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)t= t= 時，時，21)B(21OPOOA則有則有ABtOAOP進一步，進一步，OBOAOP_還可表示為：OPt t1-t1-tP P點為點為A,B A,B 的中點的中點a al lA AB BP PO O判定空間中三點判定空間中三點A A、B B、C C共線的常用方法：共線的常用方法：（1 1）只需得到存在實數(shù)）只需得到存在實數(shù) ，使，使BCABACkAB 或（2 2）對空間任意點）對空間任意點O O，存在實數(shù)，存在實數(shù)t,t,使使OBtOAtOC)1 (特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)t=1/2

7、t=1/2時，時，)(21OBOAOC此時，點此時，點C C恰為線段恰為線段ABAB的的中點中點A A、B B、P P三點共線三點共線ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxO32結(jié)論結(jié)論1:1:練習(xí)練習(xí)1.1.對于空間任意一點對于空間任意一點O O，下列命題正確的是：，下列命題正確的是：A.A.若，則若，則P P、A A、B B共線共線B.B.若，則若，則P P是是ABAB的中點的中點C.C.若，則若，則P P、A A、B B不共線不共線D.D.若，則若，則P P、A A、B B共線共線 OPOAtAB3 OPOAAB OPOAtAB OPOA ABA A、B B、P P三點共線

8、三點共線ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxOA AO OA AB BP POAM GEFCBDO分析分析: 證三點共線可證三點共線可嘗試嘗試用向量來分析用向量來分析.三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量任意三個向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于

9、這一平面內(nèi)的任意向量么對于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù) ， 使使 如果空間向量如果空間向量 與兩不共線向量與兩不共線向量 ， 共面，那么共面，那么可將三個向量平移到同一平面可將三個向量平移到同一平面 ，則有，則有 byxpapb那么什么情況下三個向量共面呢？那么什么情況下三個向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反過來，對空間任意兩個不共線的向量反過來，對空間任意兩個不共線的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , , 有什么有什么位置關(guān)系？位置關(guān)系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, a

10、x確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理共面向量定理：如果兩個向量：如果兩個向量 ， 不共線不共線，byxpabpab 則向量則向量 與向量與向量 ， 共面的充要共面的充要條件是條件是存在實數(shù)對存在實數(shù)對x, ,y使使abABPp 推論推論:空間一點空間一點P P位于平面位于平面ABCABC內(nèi)的充要條件是存在內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對x,yx,y使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abABPp 對空間任一點對空間任一點O,O,有有填空：填空：1-x-yxyACyABxOAOPC

11、C 式稱為空間平面式稱為空間平面ABCABC的向量表示式，空間中任意的向量表示式，空間中任意平面由空平面由空 間一點及兩個不共線的向量唯一確定間一點及兩個不共線的向量唯一確定. .由此可判斷空間任意四點共面由此可判斷空間任意四點共面P與與A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP(1)OPxOAyOBzOCxyz 1.下列下列說明正確的是：說明正確的是： (A)在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線(C)在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線(D)在

12、空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線2.下列說法正確的是：下列說法正確的是： (A)平面內(nèi)的任意兩個向量都共線平面內(nèi)的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面空間的任意兩個向量都共面(D)空間的任意三個向量都共面空間的任意三個向量都共面 1下列命題中正確的個數(shù)是() 若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 向量a、b、c共面即它們所在的直線共面 若ab，則存在惟一的實數(shù)，使ab. A1B2 C3 D0 解析：中若b0，則a與c不一定共線中共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的

13、直線不一定共面中若b0，a0，則不存在. 答案：D1522.已知點已知點M在平面在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點內(nèi)，并且對空間任意一點O， , 則則x的值為的值為( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 練習(xí)練習(xí)2.2.若對任一點若對任一點O O和不共線的三點和不共線的三點A A、B B、C C，且有，且有 則則x+y+zx+y+z=1=1是四點是四點P P、A A、B B、C C共面的（共面的（ ）),( RzyxOCzOByOAxOPA.A.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件B.B.充分不必要條件充分不必要條件 D. D.既不充分

14、也不必要條件既不充分也不必要條件得證得證.為什么為什么?解析：由共面向量定理知，要證明解析：由共面向量定理知，要證明P P、A A、B B、C C四點共面，只四點共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對（要證明存在有序?qū)崝?shù)對（x,yx,y）使得）使得ACyABxAP四點共面。從而共面且有公共點，不共線，所以，又所以所以即共面，因為PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,3131,33)()(332) 1 (OAOPOCOB3) 1 (例例1.1.已知已知A A、B B、C C三點不共線，對于平面三點不共線，對于平面ABCABC外的任外的任一點一點O

15、O，確定在下列各條件下，點，確定在下列各條件下，點P P是否與是否與A A、B B、C C一一定共面？定共面？OCOBOAOP 4)2(利用共面向量的推論是證明四點共面的依利用共面向量的推論是證明四點共面的依據(jù)據(jù)證明四點共面證明四點共面例例2例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，求證：BMNADC共面。、與CDABMN證明三個向量共面的常用方法：證明三個向量共面的常用方法：(1)設(shè)法證明其中設(shè)法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；(2)尋尋找平面找平面，證明這些向量與平面，證明這些向量與平面平行平行向量共面問題向量共面

16、問題【思路點撥】【思路點撥】利用向量共面的充要條件或向利用向量共面的充要條件或向量共面的定義來證明量共面的定義來證明(例例2 )如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD,從平從平面面AC外一點外一點O引向量引向量 , , , ,求證：求證：四點四點E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例2 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面從平面AC外一點外一點O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：求證：四點四點E、F、G、H共共面；面；BCDOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為為 AC

17、ABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代）代入入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 共線向量共線向量 共面向量共面向量定義定義向量所在直線互相平向量所在直線互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .定理定理推論推論運用運用判斷三點共線，或兩判斷三點共線，或兩直線平行直線平行判斷四點共線，或直線判斷四點共線，或直線平行于平面平行于平面) 0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP共面共面) 1(APyxOByOxO) 1(0zyxOCzOByOAxOP