《高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題課件 理（58頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第4講導數(shù)的熱點問題專題二函數(shù)與導數(shù)熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一利用導數(shù)證明不等式用導數(shù)證明不等式是導數(shù)的應用之一，可以間接考查用導數(shù)判定函數(shù)的單調性或求函數(shù)的最值，以及構造函數(shù)解題的能力.例例1已知函數(shù)f(x)(ln xk1)x(kR).(1)當x1時，求f(x)的單調區(qū)間和極值；解解f(x) xln xk1ln xk，當k0時，因為x1，所以f(x)ln xk0，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(1，)，無單調遞減區(qū)間，無極值；當k0時，令ln xk0，解得xek，當1xek時，f(x)ek時，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(1，ek)，單調遞增區(qū)間是(ek，)，在

2、區(qū)間(1，)上的極小值為f(ek)(kk1)ekek，無極大值.解答解答(2)若對于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范圍；解解由題意，f(x)4ln x0，即問題轉化為(x4)ln x(k1)x0，故g(x)0，所以g(x)在區(qū)間e，e2上單調遞增，證明思維升華(3)若x1x2，且f(x1)f(x2)，證明：x1x2e2k.證明證明因為f(x1)f(x2)，由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ek)上單調遞減，在區(qū)間(ek，)上單調遞增，且f(ek1)0.不妨設x1x2，則0 x1ekx2ek1，因為f(x)在區(qū)間(ek，)上單調遞增，因為x(0，ek)，所以ln xk0

3、，x20，所以x1x2e2k成立.所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，ek)上單調遞增，故h(x)h(ek)，思維升華思維升華用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2).對于減函數(shù)有類似結論.(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則對xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)證明f(x)g(x)，可構造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.跟蹤演練跟蹤演練1(2017全國)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；解答解解f

4、(x)的定義域為(0，)，設g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價于g(x)0，因為g(1)0，g(x)0，故g(1)0，當0 x1時，g(x)1時，g(x)0，g(x)單調遞增，所以x1是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e2f(x0)0；當x(x0，1)時，h(x)0.因為f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點.由f(x0)0，得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).因為xx0是f(x)在(0,1)上的最大值點，由e1(0,1)，f(e1)0，得f(x0)f(e1)e2.所以

5、e2f(x0)0)，定義h(x)maxf(x)，g(x)(1)求函數(shù)f(x)的極值；解答解解函數(shù)f(x)ax33x21, f(x)3ax26x3x(ax2)，a0，x10)的零點個數(shù).解答思維升華解解由(1)知，f(x)在(0，)上的最小值為h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上無零點. 又g(1)0，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有一個零點.設(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0 x1)，(x)在(0,1)上單調遞減.()當0 xx0時，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)f(x)且h(x)為減函數(shù).又h(x0)f(x0)g(x0)ln x00，h(x)

6、在(0，x0)上有一個零點；()當xx0時，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)g(x)且h(x)為增函數(shù)，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零點；從而h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有兩個零點， 綜上所述，當0a2時，h(x)無零點. 思維升華思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點問題，可轉化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點問題.(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢.跟蹤演練跟蹤演練2(2017屆云南曲靖一中月考)已知f(x)2xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間為 ，求函數(shù)g(x)的解析式

7、；解答解解g(x)3x22ax1，代入得a1，g(x)x3x2x2.解答(2)在(1)的條件下，求函數(shù)yg(x)的圖象在點P(1，g(1)處的切線方程；解解由(1)知，g(1)1，g(x)3x22x1，g(1)4，點P(1,1)處的切線斜率kg(1)4，函數(shù)yg(x)的圖象在點P(1,1)處的切線方程為y14(x1)，即4xy50.解答(3)已知不等式f(x)g(x)2恒成立，若方程aeam0恰有兩個不等實根，求m的取值范圍.解解由題意知，2xln x3x22ax1對x(0，)恒成立，當0 x0；當x1時，h(x)0，當x1時，h(x)取得最大值，h(x)maxh(1)2，a2.令(a)aea

8、，則(a)eaaeaea(a1)，(a)在2，1上單調遞減，在(1，)上單調遞增，當a時，(a)，方程aeam0恰有兩個不等實根，熱點三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題生活中的實際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標問題即關于這個變量的函數(shù)，然后通過研究這個函數(shù)的性質，從而找到變量在什么情況下可以達到目標最優(yōu).例例3(2017屆福建福州外國語學校期中)羅源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 )x萬元.假設橋墩等

9、距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；解答解解設需新建n個橋墩，(2)當m96米時，需新建多少個橋墩才能使余下工程的費用y最??？解答思維升華當0 x16時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,16)內為減函數(shù)；當16x0，f(x)在區(qū)間(16,96)內為增函數(shù)，故需新建5個橋墩才能使余下工程的費用y最小. 思維升華思維升華利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x).(2)求導：求函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最

10、值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實際問題作答.跟蹤演練跟蹤演練3圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.若凹槽的強度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設AB2x，BCy.解答(1)寫出y關于x的函數(shù)表達式，并指出x的取值范圍；解解易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為x.所以42x2yx，解答(2)求當x取何值時，凹槽的強度最大.解解依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有真題押題精練真題體驗(2017全

11、國)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調性；解解f(x)的定義域為(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a.當x(，ln a)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，)上單調遞增.解答(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點.當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；即f(ln a)0，故f(x)沒有零點；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個零

12、點.因此f(x)在(ln a，)有一個零點.綜上，a的取值范圍為(0,1).押題預測證明押題依據(jù)押題依據(jù)有關導數(shù)的綜合應用試題多考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調性、導數(shù)與不等式等基礎知識和基本方法，考查分類整合思想、轉化與化歸思想等數(shù)學思想方法.本題的命制正是根據(jù)這個要求進行的，全面考查了考生綜合求解問題的能力.押題依據(jù)已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函數(shù).(1)若0a1，證明：函數(shù)G(x)f(1x)g(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)；證明證明由題意知G(x)asin(1x)ln x，acos(1x)0，故函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù).證明證明證明由(1)知，當a1時，G(x)sin(1x)ln x在(0，1)上單調遞增.解答(3)設F(x)g1(x)mx22(x1)b，若對任意的x0，m0恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值.解解由F(x)g1(x)mx22(x1)bexmx22xb20，即F(x) min0.又h(x)F(x)ex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)單調遞增；又h(0)0，則必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(xiàn)(x)在(，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，又m0，則x0(0，ln 2)，m(x)在(0，ln 2)上單調遞增，m(x)2ln 2，又b為整數(shù)，最小整數(shù)b的值為2.