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1、附錄核心知識整合一、集合與常用邏輯用語知識必備1.集合的子集的個數(shù)(1)對于含有n個元素的集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n-1,2n-1,2n-2.2.集合中的兩個重要結論(1)AB=AAB.(2)AB=ABA.3.四種命題及其相互關系(1)(2)互為逆否命題的兩命題同真同假.(2)解決集合問題時,要注意根據(jù)集合元素的互異性進行檢驗;(3)A是B的充分不必要條件,可認為條件是A,結論是B,推理方向是從A到B,即由A能夠推出B,但由B不能推出A;A的充分不必要條件是B,可認為條件是B,結論是A,推理方向是從B到A,即由A不能夠推出B,但由B能夠推出A.(4)命題

2、的“否定”與“否命題”是兩個不同的概念,命題p的否定是否定命題所作的判斷,而“否命題”是對“若p,則q”形式的命題而言,既要否定條件也要否定結論.二、不等式知識必備1.解不等式的常見策略(1)解一元二次不等式的策略:先化為一般形式ax2+bx+c0(a0),再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集.(2)解簡單的分式不等式的策略:將不等式一邊化為0,再將不等式等價轉化為整式不等式(組)求解;(3)若已知一元二次不等式的解集,則可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求解其中的參數(shù)及相關問題.4.解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫出可行域;(2)根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定

3、其取得最優(yōu)解的點;(3)求出目標函數(shù)的最大值或者最小值.易忘提醒(1)解形如一元二次不等式ax2+bx+c0時,易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解,要注意分a0,a0進行討論.(3)求解線性規(guī)劃問題時,作圖一定要準確,邊界的虛、實要搞清,區(qū)域是否是封閉的一定要明確.三、函數(shù)的概念、圖象與性質及函數(shù)與方程知識必備1.函數(shù)的三要素定義域、值域和對應關系,其中值域被函數(shù)的定義域和對應關系完全確定,因此定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù).2.函數(shù)的圖象與性質見附表3.函數(shù)與方程(1)方程的根與函數(shù)零點的關系:由函數(shù)零點的定義,可知函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y=f

4、(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標.所以,方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.(2)函數(shù)零點的存在性:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)f(b)0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的實數(shù)根.易忘提醒 (1)求解與函數(shù)有關的問題,如值域、單調區(qū)間、判斷奇偶性,求極值、求最值等等,都必須注意定義域優(yōu)先的原則.實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外,還要使實際問題有意義.(2)分段函數(shù)的求值(解不等式)問題,必須依據(jù)條件準確地找出利

5、用哪一段求解.(3)求函數(shù)單調區(qū)間時,易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號“”和“或”,它們之間只能用“,”隔開或者用“和”字連接;單調區(qū)間不能用集合或不等式表示,必須用區(qū)間表示.(4)判斷函數(shù)的奇偶性時,要注意定義域必須關于原點對稱,有時還要對函數(shù)解析式化簡處理,但必須使定義域不受影響.(5)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性時,易忽視對底數(shù)的討論.(6)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且有f(a)f(b)0時,不能否定函數(shù)y=f(x)在(a,b)內有零點.函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”,對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的,在解決函數(shù)零點問題時要

6、注意這個問題.(3)各象限內的三角函數(shù)值符號為正的規(guī)律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.4.解三角形的類型及相應解法(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應先用余弦定理求c,再應用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a、b和A,應先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c,可應用余弦定理求A、B、C.(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;(

7、5)sin(A+B)=sin C;(6)cos(A+B)=-cos C;(7)sin Asin BabAB.易忘提醒(1)在已知兩邊和其中一邊的對角時,要注意解三角形的不確定性.(2)在解三角形時,不要忘記三角形內角和定理這一隱含條件,即A+B+C=.(2)錯位相減法:如果一個數(shù)列an的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列(公比為q)對應項相乘組成,把式子Sn=a1+a2+an兩邊同乘以公比q,得到qSn=a1q+a2q+anq,兩式錯位相減整理即可求出Sn.(4)分組求和法:將數(shù)列的各項重新分組,轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.易錯提醒(1)利用Sn與an的關系式求數(shù)列的通項時要注意an=Sn-

8、Sn-1成立的條件n2,同時不要忘記驗證a1;(2)判斷一個數(shù)列是否是等比數(shù)列時,不可忽視對公比q是否為1的討論.八、立體幾何1.直觀圖(1)空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測畫法.對斜二測畫法的規(guī)則可以記憶為:“平行要保持,橫長不變,縱長減半”.2.三視圖(1)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求:正俯一樣長,俯側一樣寬,正側一樣高.(2)三視圖排列規(guī)則:俯視圖放在正視圖的下面,長度與正視圖一樣;側視圖放在正視圖的右面,高度和正視圖一樣,寬度與俯視圖一樣.(3)一般地,若俯視圖中出現(xiàn)圓,則該幾何體可能是球或旋轉體;若俯

9、視圖是多邊形,則該幾何體一般是多面體;若正視圖和側視圖中出現(xiàn)三角形,則該幾何體可能為錐體.4.線面平行與垂直的判定定理、性質定理見附表5.面面平行與垂直的判定定理、性質定理見附表易忘提醒 (1)三視圖是根據(jù)正投影原理進行繪制,嚴格按照“長對正,高平齊,寬相等”的規(guī)則去畫,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的原分界線,且分界線和可視輪廓線都用實線畫出,不可見的輪廓線用虛線畫出,這一點很容易疏忽.(2)平面幾何中有些概念和性質,推廣到空間中不一定成立. 例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質在空間中就不成立.九、解析幾何知識必備1.直線的斜率

10、與直線方程、兩直線的位置關系(1)直線的斜率是直線傾斜角的正切值,傾斜角是90的直線斜率不存在.3.圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質見附表4.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程,若0,則直線與橢圓相交;若=0,則直線與橢圓相切;若0這一條件.2.導數(shù)幾何意義的應用(1)函數(shù)f(x)圖象上點P(x0,f(x0)處切線的斜率為f(x0),切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)過點P(x1,y1)作曲線y=f(x)的切線時,要先設出切點坐標(x0,f(x0),寫出切線方程y-f(x0)=f(x

11、0)(x-x0),再利用P在切線上解出x0,得切線方程.(3)已知切線方程求參數(shù)時,要注意切點(x0,y0)同時在曲線和切線上,且f(x0)等于切線的斜率.3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(1)求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟:確定函數(shù)f(x)的定義域;求導函數(shù)f(x);在函數(shù)f(x)的定義域內求不等式f(x)0或f(x)0的解集確定函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間,f(x)0(或f(x)0.(2)f(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,而不是充要條件.(3)存在性問題與恒成立問題容易混淆,它們既有區(qū)別又有聯(lián)系:若f(x)m恒成立,則f(x)maxm;若f(x)m恒成立,則f(x

12、)minm.若f(x)m有解,則f(x)minm;若f(x)m有解,則f(x)maxm.十一、推理與證明、復數(shù)知識必備1.解決合情推理問題時應注意(1)運用歸納推理得出一般結論時,要注意從等式、不等式的項數(shù)、次數(shù)、系數(shù)等多個方面進行綜合分析,歸納發(fā)現(xiàn)其一般結論.(2)若已給出的式子較少,規(guī)律不明顯時,可多寫出幾個式子,發(fā)現(xiàn)其中的一般結論.(3)進行類比推理時,要充分考慮已知對象性質的推理過程,然后類比推導類比對象的性質.2.復數(shù)的相關概念及運算法則(1)復數(shù)z=a+bi(a,bR)的分類z是實數(shù)b=0.z是虛數(shù)b0.z是純虛數(shù)a=0且b0.易忘提醒(1)在進行歸納推理時,要認真觀察、分析已給出

13、具體結論的特點,必要時再寫出幾個具體的結論,從而歸納得到一般性結論.(2)已知復數(shù)z=a+bi(a,bR)是純虛數(shù)時,切記是兩個條件,一是a=0;二是b0.十二、計數(shù)原理與概率知識必備1.解決排列組合問題的常用方法(1)每個元素都有附加條件時用列表法或樹形圖法;(2)特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排法;(3)相鄰問題捆綁法;(4)不相鄰問題插空法;(5)定序問題消序法;(6)排列組合綜合問題先選后排法;(7)“小集團”問題先整體后局部法;(8)正難則反、等價轉化法.2.解決二項式定理有關問題的常用方法(1)求解二項展開式中特定項,一般用通項公式、待定系數(shù)法求解.(2)求解二項展開式系數(shù)和等問題,一般用賦值法.(3)對于形式上接近二項展開式的代數(shù)式,要善于逆用二項式定理.